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≪剰余の定理≫
多項式P(x)をx−αで割ったときの余りはP(α)に等しい．

【例１】
P(x)=x2+2をx−1で割ったときの余りは
P(1)=12+2=3に等しい．
【例２】
P(x)=x2+2をx+2で割ったときの余りは
P(−2)=(−2)2+2=6に等しい．

　多項式の割り算では，余りが割る式と同じ次数ではまだ計算の途中とみなす．余りは必ず割る式よりも次数が低くなっていなければならない．

　だから，次の割り算のように「係数が分数になっても」余りの次数を下げなければならない．

　右の例では，整数係数の多項式を整数係数の多項式で割ったときに，商も余りも有理数（分数）の係数になっている．

上記の(1)の例の通り

(A)の整数係数の多項式割り算で商や余りが有理数になる例は上記(1)の例の通りであるが，
一般に割り算の係数の計算は和差積商の四則計算で行われるため，
(B)の場合，有理数は和差積商について閉じている（有理数の和差積商は有理数）であるから，有理係数多項式の割り算では商も余りも有理係数になる．
(C)でも，実数は和差積商について閉じているから，実係数多項式の割り算で虚数係数の商や余りが登場することはない．

【例３】
P(x)=x2+x+2を$x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$で割ったときの余りは
$P(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+2={\displaystyle \frac{7}{4}}$に等しい．
【例４】
P(x)=x2+x+2を$2x+1$で割ったときの余りをRとおくと
$P(x)=(2x+1)Q(x)+R$と書けるから
$P(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+2={\displaystyle \frac{7}{4}}$
【例３】は
$x^2+x+2=(2x+1)({\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}})+{\displaystyle \frac{7}{4}}$
となることを表しており
【例４】は
$x^2+x+2=(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})+{\displaystyle \frac{7}{4}}$
となることを表している．
したがって，これらで割ったとき，余りは等しいが商は２倍になっている．

【例題１】
整数係数の多項式f(x)をx4−4で割ると余りがx3−3になる．
このときf(x)をx2−2で割ったときの余りを求めよ．

【例題２】
整数係数の多項式f(x)をx−1で割ると割り切れ，x2+x+1で割ると−x−2余るとき，f(x)をx3−1で割ったときの余りを求めよ．

【類題１】
整数係数の多項式f(x)をx4+x2+1で割るとx3+1余るとき，f(x)をx2+x+1で割った余りを求めよ．

x4+x2+1=(x2+1)2−x2=(x2+x+1)(x2−x+1)
だから，S(x)を有理係数多項式として
f(x)=(x2+x+1)(x2−x+1)S(x)+x3+1…(1)
と書ける．
x2+x+1=0の１つの解を$\omega (\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}})$で表すと
$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$
ω2+ω+1=0
ω3=1
(1)式にx=ωを代入すると
f(ω)=(ω2+ω+1)(ω2−ω+1)S(ω)+ω3+1=2…(2)

f(x)をx2+x+1で割った余りをax+b（a,bは有理数，T(x)は有理係数多項式）とおくと
f(x)=(x2+x+1)T(x)+ax+b…(3)
(3)式にx=ωを代入すると
f(ω)=(ω2+ω+1)T(ω)+aω+b=aω+b…(4)

(2)(4)を比較すると
${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}a+b=2$
$(-{\displaystyle \frac{a}{2}}a+b)+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}a}{2}}i=2$
だから
$-{\displaystyle \frac{a}{2}}a+b=2$
${\displaystyle \frac{\sqrt{3}a}{2}}=0$
ゆえに，a=0, b=2
求める余りは2…（答）
※割り算実行で行うときは次のような答案になる．
f(x)=(x2+x+1)(x2−x+1)S(x)+x3+1をx2+x+1で割ったとき，(x2+x+1)(x2−x+1)S(x)の部分は割り切れるから，余りはx3+1を割った部分から出てくる．

右図のように割り算を実行すれば，余りは2…（答）

【類題２】
整数係数の多項式f(x)をx2+x+1で割るとx+1余り，x2−x+1で割るとx−1余るとき，f(x)をx4+x2+1で割った余りを求めよ．

x4+x2+1=(x2+1)2−x2=(x2+x+1)(x2−x+1)
だから，S(x)を有理係数多項式，a,b,cdを有理数として
f(x)=(x2+x+1)(x2−x+1)S(x)+ax3+bx2+cx+d…(1)
とおける．
x2+x+1=0の１つの解を$\omega (\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}})$で表すと
$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$
ω2+ω+1=0
ω3=1
(1)式にx=ωを代入すると
f(ω)=aω3+bω2+cω+d
=a+b(−ω−1)+cω+d
=(c−b)ω+(a−b+d)
これがω+1に等しいのだから
c−b=1, a−b+d=1…(2)

x2−x+1=0の１つの解を$\alpha (\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}})$で表すと
$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}$
α2−α+1=0
α3=−1
(1)式にx=αを代入すると
f(α)=aα3+bα2+cα+d
=−a+b(α−1)+cα+d
=(b+c)α+(−a−b+d)
これがα−1に等しいのだから
b+c=1, −a−b+d=−1…(3)

(2)(3)からa=1, b=0, c=1, d=0
求める余りはx3+x…（答）
※割り算実行で行うときは次のような答案になる．
x4+x2+1=(x2+1)2−x2=(x2+x+1)(x2−x+1)
だから，S(x)を有理係数多項式，a,b,cdを有理数として
f(x)=(x2+x+1)(x2−x+1)S(x)+ax3+bx2+cx+d…(1)
とおける．

f(x)=(x2+x+1)(x2−x+1)S(x)+ax3+bx2+cx+dをx2+x+1で割ったとき，(x2+x+1)(x2−x+1)S(x)の部分は割り切れるから，余りはax3+bx2+cx+dを割った部分から出てくる．

右図のように割り算を実行すれば，余りは(c−b)x+(d−b+a)
これがx+1に等しいのだから
c−b=1, d−b+a=1
…(2)

f(x)=(x2+x+1)(x2−x+1)S(x)+ax3+bx2+cx+dをx2−x+1で割ったとき，(x2+x+1)(x2−x+1)S(x)の部分は割り切れるから，余りはax3+bx2+cx+dを割った部分から出てくる．

右図のように割り算を実行すれば，余りは(c+b)x+(d−b−a)
これがx−1に等しいのだから
c+b=1, d−b−a=−1
…(3)

(2)(3)からa=1, b=0, c=1, d=0
求める余りはx3+x…（答）

【入試問題】
(1)　$\sqrt[3]{2}$が無理数であることを証明せよ．
(2)　P(x)は有理数を係数とするxの多項式で，$P(\sqrt[3]{2})=0$を満たしているとする．このときP(x)はx3−2で割り切れることを証明せよ．

(1)　$\sqrt{2}$が無理数であることの証明は教科書にも出ている基本なので，それを思い出しながら証明すればよい．
　その証明のポイントは
$\sqrt{2}={\displaystyle \frac{m}{n}}$（$m,n$は整数で互いに素）と仮定すると，「$m,n$とも２の倍数となる」という形で矛盾を示すところにある．

省略可能だと思われるが，ていねいに書いてもよい．
m=2k+1（kは整数）ならば，
m3=2(4k3+6k2+3k)+1となって，m3が２の倍数にならないからである

(D)より
$(\sqrt[3]{2}{)}^2=-{\displaystyle \frac{b\sqrt[3]{2}+c}{a}}$
$=(-{\displaystyle \frac{b}{a}})\sqrt[3]{2}-{\displaystyle \frac{c}{a}}$
このように$(\sqrt[3]{2}{)}^2$が$\sqrt[3]{2}$と有理係数を用いて表されると矛盾を生じることを以下に示す．

$(\sqrt[3]{2}{)}^2=s\sqrt[3]{2}+t$（s, tは有理数）とおくと
両辺に$\sqrt[3]{2}$を掛けると
$2=s(\sqrt[3]{2}{)}^2+t\sqrt[3]{2}$$=s(s\sqrt[3]{2}+t)+t\sqrt[3]{2}$
$(s^2+t)\sqrt[3]{2}=2-st$
$\sqrt[3]{2}={\displaystyle \frac{2-st}{s^2+t}}$
左辺は無理数で右辺は有理数だから矛盾

(E)より
$\sqrt[3]{2}=-{\displaystyle \frac{c}{b}}$
左辺は無理数，右辺は有理数だから矛盾

【類題３】
　P(x)を整数係数の３次式とし，１の虚数３乗根の１つをωとする．
　P(ω)=0となることは，P(x)をx−1で割ったときの余りが３の倍数となるための何条件になるか．理由をつけて述べよ．

P(x)は整数係数の３次式だから
P(x)=ax3+bx2+cx+d（a,b,c,dは整数）…(1)
とおける．
（→）
ωは１の虚数３乗根の１つだから
ω≠1
ω2+ω+1=0…(2)
ω3=1…(3)
P(ω)=aω3+bω2+cω+d
=a+b(−ω−1)+cω+d
=(c−b)ω+(a−b+d)=0
a,b,c,dは整数だから
c−b=0, a−b+d=0…(4)
(4)よりc=b, d=b−aになるから
P(x)=ax3+bx2+bx+b−a
=a(x3−1)+b(x2+x+1)
=a(x−1)(x2+x+1)+b(x2+x+1)
このとき
P(1)=3b（bは整数）
となるから，３の倍数となる

（←）
P(x)=a(x−1)(x2+x+1)+3
を考えてみると，P(1)=3は３の倍数であるがP(ω)=0にはならない．

以上から，十分条件であるが必要条件ではない．