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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「高次方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓複素数の定義・計算
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓複素数の対称式,値の代入
↓複素数のいろいろな問題
↓共役複素数
↓２次方程式の解の公式
↓同(2)
↓解と係数の関係
↓判別式
↓二直線を表す方程式
↓剰余の定理
↓同(2)
↓同(3)
↓試験問題(剰余の定理)
↓因数定理-現在地
↓高次方程式
↓3次方程式の解と係数の関係
↓同(2)
↓１の虚数３乗根ω
実係数方程式，有理係数方程式

因数定理による因数分解

** 前のページの復習 **
【剰余の定理1】
整式P(x)をx−aで割った余りはP(a)に等しい．
【剰余の定理2.1】
整式P(x)を$x-{\displaystyle \frac{b}{a}}$で割った余りは$P({\displaystyle \frac{b}{a}})$に等しい．
【剰余の定理2.2】
整式P(x)をax−bで割った余りは$P({\displaystyle \frac{b}{a}})$に等しい．

例えば，$P(x)=x^2-2$のとき，
$P(\sqrt{2})=2-2=0$で，余り0，つまり割り切れるが，それは$P(x)=x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$に対応している．

例えば，$P(x)=2x^2+x+2$のとき，
$P({\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+2=3$であるが，この余り3は$x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$で割った余りでもあり，2x−1で割った余りでもある．次の例から分かるように「余りは等しい」からである．（「商は2倍だけ違う」）
$P(x)=2x^2+x+2=(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})(2x+2)+3$
$=(2x-1)(x+1)+3$

【因数定理1】
整式P(x)についてP(a)=0が成り立つならば，P(x)はx−aで割り切れる．
【因数定理2.1】
整式P(x)について$P({\displaystyle \frac{b}{a}})=0$が成り立つならば，P(x)は$x-{\displaystyle \frac{b}{a}}$で割り切れる．
【因数定理2.2】
整式P(x)について$P({\displaystyle \frac{b}{a}})=0$が成り立つならば，ax−bで割り切れる．

【例題１】　次の式を因数分解してください．
$x^3+2x^2-x-2$

　因数定理を使って因数分解するには，与えられた整式をP(x)とおいて，適当な整数aに
a=1, 2, 3, ···, −1, −2, −3, ···を代入して，ちょうど０になるものを探します．
　そういう意味では，人聞きひとぎきがよくないですが，「因数分解は，ある程度はまぐれ当たりねらいです」．運が良ければ，速く当たり，運が悪ければ，なかなか当たりません．

$x^2+3x+2$
$x-1\overline{)x^3+2x^2-x-2}$
$x^3-x^2$
$\overline{3x^2-x}$
$3x^2-3x$
$\overline{2x-2}$
$2x-2$
$\bar{0}$

残りが2次式になると，和と積を考える因数分解とか，たすき掛けの因数分解などを使って，さらに行けるところまで行けばよい

　因数定理には「まぐれ当たり」の要素がありますが，全くのデタラメではありません．もう少し，効果的に「当てる」方法があります．整数係数で因数分解できる限り，もし
$P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
$=(Ax+B)(C{x}^2+Dx+E)$
のように因数分解できるのなら，少なくとも次の関係が成り立ちます．
AC=a
BE=d
　したがって，「Aはaの約数」「Bはdの約数」でなければならない．
　$Ax+B$で割り切れる ⇔ $P(-{\displaystyle \frac{B}{A}})=0$

【例題２】　次の式を因数分解してください．
$x^3-4x^2+x+6$

$x^3$の係数が１，定数項が6だから
±（分子は6の約数=1,2,3,6）/（分母は1）
すなわち，±1, ±2,±3,±6のうちのどれかで合うはずです．

$x^2-5x+6$
$x+1\overline{)x^3-4x^2+x+6}$
$x^3+x^2$
$\overline{-5x^2+x}$
$-5x^2-5x$
$\overline{6x+6}$
$6x+6$
$\bar{0}$

　因数定理を使った因数分解のポイントは，因数を見つけたら，割り算によって次数が下げられるところにあります．
　しかし，因数が全部見つかったら，割り算も省略できます．

【例題３】　次の式を因数分解してください．
$x^3+3x^2-x-3$

$x^3$の係数が１，定数項が−3だから
±（分子は3の約数=1,3）/（分母は1）
すなわち，±1,±3;のうちのどれかで合うはずです．

※※ややこしい話＝早合点禁物※※
　【重要】にまとめたことは
整数係数の多項式が，「整数係数で因数分解できるときは」
の中に合うものがあるはずだ，ということで，必ず整数係数に因数分解できることを保証するわけではない．
すなわち，整数係数に因数分解できない場合には，何も言えない．
【例】
$P(x)=x^2-2$に対して$P(\pm 1),P(\pm 2)$のどれも０にはならない．実際には，$P(x)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$になり，整数係数では因数分解できない．
【例】
$P(x)=x^3-2x^2+3x-4$のように適当に作った３次式や４次式の多くは整数係数の１次式で因数分解できない．
⇒ しかし，心配はいらない．なぜなら，そういう問題が「因数分解しなさい」という問題で出題されることはないからである．（できない問題を出題したら，問題が間違っていることになる）

(1)
$x^3-3x^2-10x+24$

解説 やり直す

(x−1)(x+1)(x+2) (x+1)(x−2)(x−3) (x−2)(x+3)(x−4) (x+2)(x−3)(x−4)

$P(x)=x^3-3x^2-10x+24$とおくと
$P(2)=8-12-20+24=0$だから
P(x)はx−2で割り切れる．
割り算を行うと
$x^3-3x^2-10x+24=(x-2)(x^2-x-12)$
$=(x-2)(x+3)(x-4)$…（答）

(2)
$x^3+11x^2+39x+45$

解説 やり直す

(x−3)(x+3)(x−5) (x+1)(x−3)(x−15) (x+2)(x+3)(x+4) (x+3)2(x+5)

$P(x)=x^3+11x^2+39x+45$とおくと
$P(-3)=-27+99-117+45=0$だから
P(x)はx+3で割り切れる．
割り算を行うと
$x^3+11x^2+39x+45=(x+3)(x^2+8x+15)$
$=(x+3)(x+3)(x+5)$
$=(x+3{)}^2(x+5)$…（答）

(3)
$2x^3+x^2-13x+6$

解説 やり直す

(x−2)(x−3)(2x+1) (x−2)(x+3)(2x−1) (x+2)(x−3)(2x−1) (x+2)(x−3)(2x+1)

$P(x)=2x^3+x^2-13x+6$とおくと
$P(2)=16+4-26+6=0$だから
P(x)はx−2で割り切れる．
割り算を行うと
$2x^3+x^2-13x+6=(x-2)(2x^2+5x-3)$
$=(x-2)(x+3)(2x-1)$…（答）

(4)
$3x^3+10x^2-9x-4$

解説 やり直す

(x−1)(x+4)(3x−1) (x−1)(x+4)(3x+1) (x+1)(x+4)(3x−1) (x+1)(x+4)(3x+1)

$P(x)=3x^3+10x^2-9x-4$とおくと
$P(1)=3+10-9-4=0$だから
P(x)はx−1で割り切れる．
割り算を行うと
$3x^3+13x^2-9x-4=(x-1)(3x^2+13x+4)$
$=(x-1)(x+4)(3x+1)$…（答）

　通常，単に「因数分解せよ」という場合は，係数に「整数または分数」を使った範囲で（すなわち有理数の範囲で）因数分解することが求められています．特に断り書きがなければ，無理数や複素数を係数に使った因数分解は要求されません．
【例1】$x^3+x^2-2x-2$を因数分解せよ．
$(x+1)(x^2-2)$…（答）
【例2】$x^3+x^2-2x-2$を実数の範囲で因数分解せよ．
$(x+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$…（答）
【例3】$x^3-x^2+2x-2$を因数分解せよ．
$(x-1)(x^2+2)$…（答）
【例4】$x^3-x^2+2x-2$を複素数の範囲で因数分解せよ．
$(x-1)(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i)$…（答）

　係数に「整数または分数」を使った範囲で（すなわち有理数の範囲で）因数分解する場合に，次のような問題が出されたとき，$x^2-x+1$の方は有理係数では因数分解できないので，$P(-{\displaystyle \frac{1}{3}})$を見つけない限り，問題は解けません．
$3x^3-2x^2+2x+1=(3x+1)(x^2-x+1)$
　すでに述べた通り，±(1の約数)/(3の約数)の組合せの中にこの分数があります．

【例題４】　次の式を因数分解してください．
$3x^3-2x^2+2x+1$

$x^3$の係数が3，定数項が1だから
±（分子は1の約数）/（分母は3の約数）
すなわち，±1, ±1/3 のうちのどれかで合うはずです．

$x^2-x+1$
$3x+1\overline{)3x^3-2x^2+2x+1}$
$3x^3+x^2$
$\overline{-3x^2+2x}$
$-3x^2-x$
$\overline{3x+1}$
$3x+1$
$\bar{0}$

(1)
$2x^3+x^2+x-1$

解説 やり直す

$(2x-1)(x^2-x+1)$ $(2x+1)(x^2+x-1)$ $(2x-1)(x^2+x+1)$ $(2x+1)(x^2-x-1)$

$P(x)=2x^3+x^2+x-1$とおくと
$P({\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-1=0$だから
P(x)は2x−1で割り切れる．
割り算を行うと
$2x^3+x^2+x-1=(2x-1)(x^2+x+1)$…（答）

(2)
$2x^3+x^2-x+3$

解説 やり直す

$(2x+3)(x^2-x+1)$ $(2x+3)(x^2+x-1)$ $(2x-3)(x^2-x+1)$ $(2x-3)(x^2-x-1)$

$P(x)=2x^3+x^2-x+3$とおくと
$P(-{\displaystyle \frac{3}{2}})=-{\displaystyle \frac{27}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}+3=0$だから
P(x)は2x+3で割り切れる．
割り算を行うと
$(2x+3)(x^2-x+1)$…（答）

　４次式を因数分解するときに，因数を１つ求めて割り算をしても，商はまだ３次式です．さらに，因数定理を使って割り算をすれば，２次式まで次数を下げられますが，この方法では因数定理を２回，割り算を２回行うことになり，計算量が多くなります．
　このような場合，初めに因数を２つ見つけるようにして，１回で２次下げる方がよいでしょう．

【例題５】　次の式を因数分解してください．
$x^4-x^3-7x^2+x+6$

$x^4$の係数が1，定数項が6だから
±（分子は6の約数）/（分母は1の約数）
すなわち，±1, ±2,±3,±6 のうちのどれかで合うはずです．

$x^2-x-6$
$x^2-1\overline{)x^4-x^3-7x^2+x+6}$
$x^4-x^2$
$\overline{-x^3-6x^2+x}$
$-x^3+x$
$\overline{-6x^2+6}$
$-6x^2+6$
$\bar{0}$

(1)
$x^4+3x^3-3x^2-7x+6$

解説 やり直す

$(x-1{)}^2(x+2)(x+3)$ $(x+1{)}^2(x-2)(x-3)$ $(x-1{)}^2(x+2)(x-3)$ $(x+1{)}^2(x-2)(x+3)$

$P(x)=x^4+3x^3-3x^2-7x+6$とおくと
$P(1)=1+3-3-7+6=0$
$P(-2)=16-24-12+14+6=0$だから
P(x)は$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$で割り切れる．
割り算を行うと
$x^4+3x^3-3x^2-7x+6=(x-1)(x+2)(x^2+2x-3)$
$=(x-1)(x+2)(x-1)(x+3)$
$=(x-1{)}^2(x+2)(x+3)$…（答）

(2)
$6x^4-7x^3+12x^2-x-2$

解説 やり直す

$(2x-1)(3x-1)(x^2-x+2)$ $(2x-1)(3x+1)(x^2-x+2)$ $(2x+1)(3x-1)(x^2-x+2)$ $(2x+1)(3x+1)(x^2-x+2)$

$P(x)=6x^4-7x^3+12x^2-x-2$とおくと
$P({\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{7}{8}}+3-{\displaystyle \frac{1}{2}}-2=0$
$P(-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{2}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-2=0$だから
P(x)は$(2x-1)(3x+1)=6x^2-x-1$で割り切れる．
割り算を行うと
$6x^4-7x^3+12x^2-x-2$
$=(2x-1)(3x+1)(x^2-x+2)$…（答）

(3)
$4x^4-8x^3+17x^2-13x-12$

解説 やり直す

$(2x-1)(2x-3)(x^2-x-4)$ $(2x+1)(2x-3)(x^2-x+4)$ $(2x-1)(2x+3)(x^2-x-4)$ $(2x+1)(2x+3)(x^2-x+4)$

$P(x)=4x^4-8x^3+17x^2-13x-12$とおくと
$P(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=0$
$P({\displaystyle \frac{3}{2}})=0$だから
P(x)は$(2x+1)(2x-3)=4x^2-4x-3$で割り切れる．
割り算を行うと
$4x^4-8x^3+17x^2-13x-12$
$=(2x+1)(2x-3)(x^2-x+4)$…（答）

問題2の(2)で、正解と思われる(2X+3)(X^2-X+1)を選ぶとXになります。なお解説は間違ってません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最近アップしたばかりのページですが，突っ込みどころ満載のボケネタを混ぜたわけではない．紛らわしい選択肢を作っているうちに，管理人が罠にかかったということです．やはり，点検は他人が一番のようで，訂正しました．