二次方程式の解の公式

...(�ｰ�｣迚�)繝｡繝九Η繝ｼ縺ｫ謌ｻ繧�
*** 遘醍岼 ***
謨ｰ竇�繝ｻ�｡謨ｰ竇｡繝ｻ�｢謨ｰ竇｢鬮伜穀繝ｻ螟ｧ蟄ｦ蛻晏ｹｴ蠎ｦ
*** 蜊伜� ***
蠑上→險ｼ譏�轤ｹ縺ｨ逶ｴ邱�蜀�霆瑚ｷ｡縺ｨ鬆伜沺荳芽ｧ帝未謨ｰ
謖�焚髢｢謨ｰ蟇ｾ謨ｰ髢｢謨ｰ蠕ｮ蛻�荳榊ｮ夂ｩ榊�螳夂ｩ榊�
鬮俶ｬ｡譁ｹ遞句ｼ�謨ｰ蛻�貍ｸ蛹門ｼ上→謨ｰ蟄ｦ逧�ｸｰ邏肴ｳ�
蟷ｳ髱｢繝吶け繝医Ν 遨ｺ髢薙�繧ｯ繝医Ν 遒ｺ邇��蟶�

窶ｻ鬮俶�｡謨ｰ蟄ｦ竇｡縺ｮ縲碁ｫ俶ｬ｡譁ｹ遞句ｼ上阪↓縺､縺�※�後％縺ｮ繧ｵ繧､繝医↓縺ｯ谺｡縺ｮ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻ｼ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ｪ縺ｩ縺ｮ讀懃ｴ｢縺九ｉ逶ｴ謗･譚･縺ｦ縺励∪縺｣縺溘�縺ｧ縲悟燕謠舌→縺ｪ縺｣縺ｦ縺�ｋ蜀�ｮｹ縺悟�縺九ｉ縺ｪ縺�阪→縺�≧蝣ｴ蜷医ｄ縲後％縺ｮ鬆√�蛻�°縺｣縺溘′繧ゅ▲縺ｨ蠢懃畑蝠城｡後ｒ隕九◆縺�阪→縺�≧蝣ｴ蜷医��御ｻ悶�鬆√ｒ隕九※縺上□縺輔＞��縲縺檎樟蝨ｨ蝨ｰ縺ｧ縺呻ｼ�

竊�隍�ｴ�謨ｰ縺ｮ螳夂ｾｩ繝ｻ險育ｮ�
竊�蜷�(2)
竊�蜷�(3)
竊�蜷�(4)
竊�隍�ｴ�謨ｰ縺ｮ蟇ｾ遘ｰ蠑�,蛟､縺ｮ莉｣蜈･
竊�隍�ｴ�謨ｰ縺ｮ縺�ｍ縺�ｍ縺ｪ蝠城｡�
竊�蜈ｱ蠖ｹ隍�ｴ�謨ｰ

竊��呈ｬ｡譁ｹ遞句ｼ上�隗｣縺ｮ蜈ｬ蠑�-迴ｾ蝨ｨ蝨ｰ
竊�蜷�(2)
竊�隗｣縺ｨ菫よ焚縺ｮ髢｢菫�
竊�蛻､蛻･蠑�
竊�莠檎峩邱壹ｒ陦ｨ縺呎婿遞句ｼ�

竊�蜑ｰ菴吶�螳夂炊
竊�蜷�(2)
竊�蜷�(3)
竊�隧ｦ鬨灘撫鬘�(蜑ｰ菴吶�螳夂炊)
竊�蝗�謨ｰ螳夂炊

竊�鬮俶ｬ｡譁ｹ遞句ｼ�
竊�3谺｡譁ｹ遞句ｼ上�隗｣縺ｨ菫よ焚縺ｮ髢｢菫�
竊�蜷�(2)
竊��代�陌壽焚�謎ｹ玲�ｹﾏ�
螳滉ｿよ焚譁ｹ遞句ｼ擾ｼ梧怏逅�ｿよ焚譁ｹ遞句ｼ�

← PC用は別頁

【解説】
【二次方程式の解の公式 I 】
　２次方程式 ax2+bx+c=0　( a≠0 )の解は

x=.

−b±.

√b2−4ac√nnnnnni2annnnnnnnnnnn
です．

（証明）：見るだけでよい･･･全部理解するには高校の数学Ｉ程度の文字式変形能力を要します

a x^{2} + b x + c = 0

(a \neq 0)

…(1)のとき

≪変形の方針≫

(x + A)^{2} = B

…(2)
の形になれば

x + A = \pm \sqrt{B}

…(3)
のように変形できて

x = - A \pm \sqrt{B}

…(4)
のように解けるから，(1)→(2)→(3)→(4)の形に変形することを目指す．

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}

(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a} = 0

(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

…(2)ができた！

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

…(3)ができた！

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

…(4)［完成］！

※２次方程式を「解の公式を使って解く」とは，上記の証明を１回ずつ行うのではなく，(1)から入ったら直ちに結果の(4)から出てくるという使い方を言います．

※それぞれの数値係数に対して上記の変形を行うのは大変なので，上記の変形に身代わり地蔵として代表で苦労してもらって，他の人は楽な結果だけを使うということで，別の言い方をすれば労力・時間に関して「エコ」な方法でやるということです．

※　これを使えばどんな２次方程式でも解けます．通常 a , b , c として実数を考えますが， a , b , c が複素数の場合でもこの公式で解けます．
※　根号内：判別式 D=b2−4ac が負の場合は，虚数単位 i を用いて表わします．
例

√−5√nni =.

√5√ni i
.

√−4√nni =.

√4√ni i=2i

［例］

(1)　2x²+5x+1=0 を解くには

a=2 , b=5 , c=1　を解の公式に代入します．

x=.

−5±.

√52−4 · 2 · 1√nnnnnnnnni2·2nnnnnnnnnnnnnnn=.

−5±.

√17√nni4nnnnnnnn

(2)　x²−3x+5=0 を解くには

a=1 , b=−3 , c=5　を解の公式に代入します．

x=.

3±.

√32−4 · 1 · 5√nnnnnnnnni2·1nnnnnnnnnnnnnn=.

3±.

√−11√nnni2nnnnnnn=.

3±.

√11√nnii2nnnnnnn

(3)　2x²−7x+3=0 を解くには

a=2 , b=−7 , c=3　を解の公式に代入します．

x=.

7±.

√72−4 · 2 · 3√nnnnnnnnnni2·2nnnnnnnnnnnnnn=.

7±.

√25√nni4nnnnnnn=.

7±54nnnn

※上の(1)(2)の例のように,分けてもそれ以上簡単にならないものは分けなくてもよいが，この例(3)のように分ければ簡単になるものは分けなければならない．

x=3, .

12n

【二次方程式の解の公式 II 】
　２次方程式 ax2+2b’x+c=0　( a≠0 )の解は

x=.

−b’±.

√b’ 2−ac√nnnnnniannnnnnnnnnnn
です．

（証明）
解の公式 I より

x=.

−2b’±.

√4b’ 2−4ac√nnnnnnnni2annnnnnnnnnnnnn =.

2(−b’±.

√b’ 2−ac√nnnnnnni )2annnnnnnnnnnnnnn

　　=.

−b’±.

√b’ 2−ac√nnnnnniannnnnnnnnnnn

となって，必ず２で約分できるので，約分した結果を公式とします．（公式Ｉよりも小さい数字で計算できるので，間違いにくくなります）
※　b’ として，x の係数の半分の数字を使っていることに注意．（2b’ が b）
［例］

(1)　3x²+4x−5=0 を解くには

a=3 , b'=2 , c=−5を解の公式に代入します．

x=.

−2±.

√22+3·5√nnnnnni3nnnnnnnnnnn=.

−2±.

√19√nni3nnnnnnn

(2)　5x²−6x+3=0 を解くには

a=5 , b'=−3 , c=3 を解の公式に代入します．

x=.

3±.

√32−3·5√nnnnnni5nnnnnnnnnnn=.

3±.

√−6√nni5nnnnnn=.

3±.

√6√nii5nnnnnn

解を求めるプログラム

○　教科書や授業でよく使われる形

[↑ヘルプ] [問題をする↓]

問題　次の２次方程式の解として正しいものを右の選択肢から選び，その番号をクリックせよ．[ 第1問 / 全6問中 ]
[次の問題]

3x2+5x+1=0　　

1.　　　x=.

5±.

√37√nni6nnnnnnn

2.　　　x=.

−5±.

√37√nni6nnnnnnnn

3.　　　x=.

5±.

√13√nni6nnnnnnn

4.　　　x=.

−5±.

√13√nni3nnnnnnnn

5.　　　x=.

−5±.

√13√nni6nnnnnnnn

6.　　　x=.

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／17.5.30］

通信制高校で学んでいる７６歳の男性（老人）です。６０年近く学問と遠ざかっていて数学Ⅱは難解ですが、解の公式の解説を見てよく理解でき又、虚数単位の計算もあり、助かりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／16.12.21］

解を求めるプログラムで分数や小数の2次方程式が解けない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正負の整数を入力して［解を求める］と書いてあるのだから，正負の整数になるようにするのです．
　読者がカチンと来るか，当然だと思うかは分かりませんが，その頁は高校生向けの頁で，分数や小数係数なら分母を払うとか10倍，100倍，...すれば簡単に整数係数になります．

【分数の例1】
$\frac{x^2}{2}+ \frac{2}{3}x-\frac{5}{6}=0$ の場合
両辺に6を掛ける
$3x^2+ 4x-5=0$
【分数の例2】
$-\frac{3}{4}x^2 -\frac{4}{3}x + \frac{5}{2}=0$ の場合
両辺に12を掛ける
$-9x^2 -16x + 30=0$

【小数の例1】
$0.3x^2 + 0.2x-0.5=0$ の場合
両辺に10を掛ける
$3x^2 + 2x -5=0$
【小数の例2】
$0.3x^2 + 0.2x-0.05=0$ の場合
両辺に100を掛ける
$30x^2 + 20x -5=0$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／16.11.9］

２次方程式（１）について教科書ではｂ二乗ー４ac≧０　の時とありましたがどういう意味かわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校の数学Ⅱの教科書では，複素数を習ってから２次方程式の解の公式を習うので，解の公式についてb2−4ac≧0という制限は必要なく，b2−4ac<0の場合でも成り立ちます．だから，数学Ⅱの教科書には解の公式がb2−4ac≧0の場合だけ成り立つとは書いてありません．
　実際には，解の公式の説明が終わってから，判別式D=b2−4acの説明をするときに，

(1)　D=b2−4ac>0のとき異なる２つの実数解を持つ
(2)　D=b2−4ac=0のとき異なる実数の重解を持つ
(3)　D=b2−4ac<0のとき異なる２つの虚数解を持つ

と書いてあるはずです．さらに，これらのうちで(1)でも(2)でも実数解になるからこれらをまとめて書くとb2−4ac≧0となります．

笆�縺薙�繧ｵ繧､繝亥�縺ｮGoogle讀懃ｴ｢笆�

笆ｳ縺薙�繝壹�繧ｸ縺ｮ蜈磯�ｭ縺ｫ謌ｻ繧銀無縲� 繧｢繝ｳ繧ｱ繝ｼ繝磯∽ｿ｡縲�
… 縺薙�繧｢繝ｳ繧ｱ繝ｼ繝医�謨呎攝謾ｹ蝟��蜿り�↓縺輔○縺ｦ縺�◆縺�縺阪∪縺�

笆�縺薙�鬆√↓縺､縺�※�瑚憶縺�園�梧が縺�園�碁俣驕輔＞縺ｮ謖�遭�後◎縺ｮ莉悶�諢滓Φ縺後≠繧後�騾∽ｿ｡縺励※縺上□縺輔＞��

笳区枚遶�縺ｮ蠖｢繧偵＠縺ｦ縺�ｋ諢滓Φ縺ｯ蜈ｨ驛ｨ隱ｭ縺ｾ縺帙※繧ゅｉ縺｣縺ｦ縺�∪縺呻ｼ�
笳区─諠ｳ縺ｮ蜀�〒�後←縺ｮ蝠城｡後′縺ｩ縺�〒縺ゅ▲縺溘°繧呈ｭ｣遒ｺ縺ｪ譁�ｫ�縺ｧ莨昴∴縺ｦ縺�◆縺�縺�◆謾ｹ蝟�ｦ∵悍縺ｫ蟇ｾ縺励※縺ｯ�悟庄閭ｽ縺ｪ髯舌ｊ蟇ｾ蠢懊☆繧九ｈ縺�↓縺励※縺�∪縺呻ｼ趣ｼ遺ｻ縺ｪ縺奇ｼ梧判謦�噪縺ｪ譁�ｫ�縺ｫ縺ｪ縺｣縺ｦ縺�ｋ蝣ｴ蜷医��後◎繧後ｒ蜈ｬ髢九☆繧九→遲��□縺代〒縺ｪ縺剰ｪｭ閠�ｂ隱ｭ繧縺薙→縺ｫ縺ｪ繧翫∪縺吶�縺ｧ�梧治逕ｨ縺励∪縺帙ｓ�趣ｼ�

雉ｪ蝠上↓蟇ｾ縺吶ｋ蝗樒ｭ斐�荳ｭ蟄ｦ迚医�縺薙�鬆��碁ｫ俶�｡迚医�縺薙�鬆�縺ｫ縺ゅｊ縺ｾ縺�