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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「高次方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓複素数の定義・計算
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↓同(3)
↓同(4)
↓複素数の対称式,値の代入
↓複素数のいろいろな問題
↓共役複素数
↓２次方程式の解の公式
↓同(2)
↓解と係数の関係
↓判別式
↓二直線を表す方程式
↓剰余の定理-現在地
↓同(2)
↓同(3)
↓試験問題(剰余の定理)
↓因数定理
↓高次方程式
↓3次方程式の解と係数の関係
↓同(2)
↓１の虚数３乗根ω
実係数方程式，有理係数方程式

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【剰余の定理 I 】（要点）
　多項式P(x)を１次式x−aで割った余りはP(a)に等しい。

多項式の割り算では、割る式よりも次数が低くなったときに余りとする。割る式よりも次数が高いときや割る式と次数が同じときはまだ計算の途中だと考えなければならない。
　例1の計算で、右のような段階では2x+3は割る式x−1と同じ次数の１次式だから、この割り算はまだ終わっておらず計算の途中である。したがって、2x+3は余りではなく、上の例のように求めなければならない。

== 図1 ==

例１のような割り算では、割り算が1階建てで終わるとは限らず２階建て以上になることがある。このような場合には、右図２のように預金を２回以上に分けて引き出しているだけだから、商としてxと2に分けて計算せずにQ=x+2でまとめて計算すると、残高RがA−BQで求められる。

■剰余の定理で注意すべき点

• 多項式を１次式で割ったときの余りは、割り算しなくても求めることができる。
• 剰余の定理は強力であるが、求まるのは「余り」だけで「商」は求まらない…便利さと引き換えに重要なものを犠牲にしている
• １次式で割ったときに限る…２次式、３次式で割った余りはそのままでは求まらない。
• この定理はx−aで割った余りを与えるもので、x+aで割った余りを求めるにはP(−a)を計算しなければならない。
• この定理ではxの係数が1である１次式x−aで割ったときの余りが求められ、xの係数が1でない１次式ax+bで割ったときの余りを求めるには、後で登場する剰余の定理II　を使わなければならない。

※　剰余の定理を初めて学ぶとき、「速く理解しよう」とか「能率よく理解しよう」などと考えると、おそらく身に着かない。少なくとも30分はこの定理を牛のように反芻する必要がある。特に、鉛筆やマウスを持ってスラスラと片付けようなどと考えるのは無理。
　この定理は抽象的な論理でできているので、これを理解するには鉛筆もマウスも離して「腕組みをする」のが一番

【剰余の定理 I 】
　多項式P(x)を１次式x−aで割った余りはP(a)に等しい。

　この定理はx−aで割ったときの余りを与えていることに注意しなければならない。
　例えばx−1で割ったときの余りを求めるためには、 P(1)を計算するとよい。
　またx+1で割ったときの余りを求めるためには、 x−(−1)と考えてP(−1)を計算するとよい。

*** 上の証明のツボ==応用問題にも登場する考え方 ***

　上の式(1)において与えられた多項式P(x)から余りRを求めるために
R=P(x)−(x−a)Q(x)
を使おうとしても、商Q(x)が分からないため、立ち往生してしまう。
　この商Q(x)は正体がつかめないお化け（お化けのＱ太郎･･･昭和の時代の有名キャラクター）なので、値を求めようとしても無駄である。
　ところが、Q(x)の値が全く分からないときでも、これを「消す」方法が１つある。それは0を掛けるのである。すなわち、
0×Q(x)
の形になるようにうまくxの値を選べば、Q(x)が分からなくてもこれを消すことができる。
　(x−a)Q(x)の式の形に注意すると、そのようなxの値が１つだけあることが分かる。x−aが0となる値、すなわちx=aを代入するのである。
P(x)=(x−a)Q(x)+R xにx=aを代入すると
P(a)=(a−a)Q(a)+R
P(a)=0×Q(a)+R
P(a)=R
となって分からない値Rが与えられた式P(x)の値で表される。

(1) P(x)=x2+2x+3をx−1で割ったときの余りは、

(2) f(x)=2x3−x+5をx−2で割ったときの余りは、

多項式に名前を付けて使うときは多項式polynomialの頭文字を使ってP(x)が使われることが多いが、一般の関数と同じようにf(x) , g(x)などもよく使われる。

(3) P(x)=x2+2x+3をx+1で割ったときの余りは、

(4) f(x)=2x3−x+5をx+2で割ったときの余りは、

【剰余の定理 II 】（要点）
　多項式P(x)を１次式ax+bで割った余りはP( − .ban)に等しい。

　この定理II は上に述べた定理I が１次式x−aで割ったときの余りしか求められない（すなわちxの係数が１のときしか対応できない）のに対して、xの係数が１でないときにも適用できるように拡張したものである。

※　定理I と比較すると見かけの符号が逆になっていることに注意

多項式P(x)を１次式ax+bで割ったとき、商をQ(x)、余りをRとおくと、
P(x)=(ax+b)Q(x)+R …(1)
が成り立つ。

この式において、値が分からないQ(x)を消すためには、Q(x)にかけてあるax+bの値が0となるようなxの値を代入すればよい。
ax+b=0を解くとx= − .ban

(1)式にx= − .banを代入すると
P( − .ban)=(a( − .ban)+b)Q( − .ban)+R
P( − .ban)=(−b+b)Q( − .ban)+R
P( − .ban)=0×Q( − .ban)+R
すなわち
P( − .ban)=R …(2)
になり、余りRがP( − .ban)に等しいことが示される。■証明終り■

1.　多項式P(x)=2x2−3x+4を１次式2x+1で割ったときの

余りはP(x)のxに−.12nを代入すると求めることができる。

2.　多項式P(x)=2x2−3x+4を１次式2x−3で割ったときの

余りはP(x)のxに.32nを代入すると求めることができる。

　剰余の定理I において というとき、aが整数という前提はどこにも使っていない。したがって、正確に言えば剰余の定理I はaが分数や無理数であっても成り立つことになる。
　そうすると、 ことになる。

　このように考えると、剰余の定理II においてはP( − .ban)は
ax+bで割ったときの余りを表すことになり、剰余の定理I

においてはP( − .ban)はx+.banで割ったときの余りを表すことになる。
　これらの話は矛盾しない。
　というのは，上の例1において、P(x)=2x2−3x+4を１次式

2x+1で割ったとき余りはP( − .12n)=6となるが、実際に割り算をしてみると
2x2−3x+4=(2x+1)(x−2)+6
になる。
他方で、P(x)=2x2−3x+4を１次式x+ .12nで割ったとき余りは

P( − .12n)=6となるが、これは

2x2−3x+4=(x+ .12n)(2x−4)+6
を表している。

　一般に、多項式の割り算において割る式を定数倍したとき、商はその定数で割ったものになるが余りは変わらない。

　したがって、P( − .ban)を剰余の定理II の内容として「ax+bで割ったときの余り」と考えてもよく、剰余の定理I の内容として

「x+.banで割ったときの余り」と考えてもよいことになる。
（他の例）
2x2−x+1=(2x−3)(x+1)+4

2x2−x+1=(x− .32n)(2x+2)+4
となるから、2x2−x+1を2x−3で割ったときの余りとx− .32nで割ったときの余りは等しい。

(A)　次の答案において、「２次式で割ったときの余り」を求めているのだから、余りは割る式（２次）よりも次数が低く１次または定数になる。したがって、余りはax+bとおける。（このa,bの値を求めるとよい。もしa=0なら、余りは定数になる。）

(B)　次の例のように、割る式が(x−1)(x−2)のように因数分解できるときはQ(x)に掛けてある式が２つあることになるから、0×Q(x)のようにQ(x)に0を掛けて消すことのできる値が２つ見つかる。（この例ではx=1とx=2）
　割る式が(x−1)2のような重解型であったり、x2+1のような虚数解型であるときはやっかいな問題になるが、この例のように異なる２つの実数解がある型のときは、２つの値を代入することによって、(2)(3)のように連立方程式が得られる。（未知数が２個だから方程式が２個作れれば、連立方程式として解ける。）

例1
　多項式P(x)=x3−2x2+x+7を２次式x2−3x+2で割ったときの余りを求めよ。

例2
　多項式x3−x2+ax+bをx−1で割ると2余り、x−2で割ると3余るとき、a, bの値を求めよ。

例3
　多項式P(x)をx−1で割ると2余り、x+3で割ると−6余るとき、P(x)をx2+2x−3で割ったときの余りを求めよ。

例4
　多項式P(x)を(x−1)(x+2)で割ると3x−1余るとき、P(x)をx−1で割ったときの余りを求めよ。

例5
　多項式P(x)をx2−3x+2で割るとx+1余り、x2−4x+3で割ると2x余るとき、P(x)をx2−5x+6で割ったときの余りを求めよ。

【２次式で割ったときの余り】
a≠bとする．
整式f(x)をx−aで割ったときの余りがpになり
整式f(x)をx−bで割ったときの余りがqになるとき，
整式f(x)を(x−a)(x−b)で割ったときの余りは
$p{\displaystyle \frac{x-b}{a-b}}+q{\displaystyle \frac{x-a}{b-a}}$
に等しい．

≪この式の作り方≫
xにaを代入したときは第２項が消える（分子が０になる）ようになっていて，第１項はp以外の分数の分母と分子が同じになる（分数として１になる）ようにしてある．
xにbを代入したときは第１項が消える（分子が０になる）ようになっていて，第２項はq以外の分数の分母と分子が同じになる（分数として１になる）ようにしてある．

　この形になっていると，x=aを代入したとき第２項が消え，x=bを代入したとき第１項が消えるから，計算が楽になるから．
　この式で「すべての１次式が表せるのか？」という疑問については保留にしたまま後で考える．

【例6】
　整式f(x)をx−1で割ると3余り、x−2で割ると1余るとき、f(x)を(x−1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。

上記の【例3】
　多項式P(x)をx−1で割ると2余り、x+3で割ると−6余るとき、P(x)をx2+2x−3で割ったときの余りを求めよ。

【３次式で割ったときの余り】
a, b, cは互いに異なる数とする．
整式f(x)をx−aで割ったときの余りがp
整式f(x)をx−bで割ったときの余りがq
整式f(x)をx−cで割ったときの余りがr
になるとき，
整式f(x)を(x−a)(x−b)(x−c)で割ったときの余りは
$p{\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}}+q{\displaystyle \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}}+r{\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}}$
に等しい．

≪この式の作り方≫
xにaを代入したときは第２項と第３項が消える（分子が０になる）ようになっていて，第１項はp以外の分数の分母と分子が同じになる（分数として１になる）ようにしてある．
xにbを代入したときは第１項と第３項が消える（分子が０になる）ようになっていて，第２項はq以外の分数の分母と分子が同じになる（分数として１になる）ようにしてある．
xにcを代入したときは第１項と第２項が消える（分子が０になる）ようになっていて，第３項は以外の分数の分母と分子が同じになる（分数として１になる）ようにしてある．

　この形になっていると，x=aを代入したとき第２項，第３項が消え，x=bを代入したとき第１項，第３項が消え，x=cを代入したとき第１項，第２項が消えるから，計算が楽になるから．
　この式で「すべての２次式が表せるのか？」という疑問については保留にしたまま後で考える．

【例7】
　整式f(x)をx+1で割ると6余り，x−1で割ると2余り，x−2で割ると3余るとき，f(x)を(x+1)(x−1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。

【例8】
　整式f(x)をx−1で割ると−2余り，x−2で割ると−1余り，x−3で割ると4余るとき，f(x)を(x−1)(x−2)(x−3)で割ったときの余りを求めよ。

答は下の選択肢のうちで正しいものをクリック．（暗算では無理です．必ず計算用紙で計算してから答えてください．）

【問題１】
　整式f(x)をx+3で割ると−5余り，x−3で割ると7余るとき，f(x)を(x+3)(x−3)で割ったときの余りを求めよ。

x+2 x−2 2x+1 2x−1

$p{\displaystyle \frac{x-b}{a-b}}+q{\displaystyle \frac{x-a}{b-a}}$
にa=−3, b=3, p=−5, q=7を代入すると
$-5{\displaystyle \frac{x-3}{-3-3}}+7{\displaystyle \frac{x+3}{3+3}}={\displaystyle \frac{5}{6}}(x-3)+{\displaystyle \frac{7}{6}}(x+3)=2x+1$

（余りをmx+nとおく通常の答案では）
f(x)=(x+3)(x−3)Q(x)+mx+nとおくと
f(−3)=−3m+n=−5…(1)
f(3)=3m+n=7…(2)
(2)−(1)より
6m=12
m=2
(1)に代入
n=1
だから 2x+1

【問題２】
　整式f(x)をx−1で割ると割り切れ，x−2で割ると3余るとき，f(x)を(x−1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。

x+3 x−3 3x+3 3x−3

$p{\displaystyle \frac{x-b}{a-b}}+q{\displaystyle \frac{x-a}{b-a}}$
にa=1, b=2, p=0, q=3を代入すると
$0{\displaystyle \frac{x-2}{1-2}}+3{\displaystyle \frac{x-1}{2-1}}=3(x-1)=3x-3$

（余りをmx+nとおく通常の答案では）
f(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+mx+nとおくと
f(1)=m+n=0…(1)
f(2)=2m+n=3…(2)
(2)−(1)より
m=3
(1)に代入
n=−3
だから 3x−3

【問題３】
　整式f(x)をx−2で割ると1余り，x+3で割ると6余るとき，f(x)を(x−2)(x+3)で割ったときの余りを求めよ。

x+3 −x+3 3x−1 3x+3

$p{\displaystyle \frac{x-b}{a-b}}+q{\displaystyle \frac{x-a}{b-a}}$
にa=2, b=−3, p=1, q=6を代入すると
$1{\displaystyle \frac{x+3}{2+3}}+6{\displaystyle \frac{x-2}{-3-2}}={\displaystyle \frac{1}{5}}(x+3)-{\displaystyle \frac{6}{5}}(x-2)$
$=-{\displaystyle \frac{5}{5}}x+{\displaystyle \frac{15}{5}}=-x+3$

（余りをmx+nとおく通常の答案では）
f(x)=(x−2)(x+3)Q(x)+mx+nとおくと
f(2)=2m+n=1…(1)
f(−3)=−3m+n=6…(2)
(1)−(2)より
5m=−5
m=−1
(1)に代入
n=3
だから −x+3

【問題４】
　整式f(x)をx−1で割ると2余り，x−2で割ると4余り，x−3で割る8余るとき，f(x)を(x−1)(x−2)(x−3)で割ったときの余りを求めよ。

x2+x+2 x2+x−2 x2−x+2 x2−x−2

$p{\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}}+q{\displaystyle \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}}+r{\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}}$
にa=1, b=2, c=3, p=2, q=4, r=8を代入すると
$2{\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}}+4{\displaystyle \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}}+8{\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}}$
$=(x-2)(x-3)-4(x-1)(x-3)+4(x-1)(x-2)$
$=(x^2-5x+6)-4(x^2-4x+3)+4(x^2-3x+2)$
$=x^2-x+2$


（余りをlx2+mx+nとおく通常の答案では）
f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)Q(x)+lx2+mx+nとおくと
f(1)=l+m+n=2…(1)
f(2)=4l+2m+n=4…(2)
f(3)=9l+3m+n=8…(3)
この連立方程式(1)(2)(3)を解くと
l=1, m=−1, n=2
だから x2−x+2

【問題５】
　整式f(x)をx−1で割ると1余り，x+1で割ると−3余り，x−2で割ると割り切れるとき，
f(x)を(x−1)(x+1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。

x2+2x x2−2x −x2+2x −x2−2x

$p{\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}}+q{\displaystyle \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}}+r{\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}}$
にa=1, b=−1, c=2, p=1, q=−3, r=0を代入すると
$1{\displaystyle \frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)}}-3{\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)}}+0{\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{(3-1)(3+1)}}$
$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1)(x-2)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1)(x-2)$
$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-x-2)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-3x+2)$
$=-x^2+2x$


（余りをlx2+mx+nとおく通常の答案では）
f(x)=(x−1)(x+1)(x−2)Q(x)+lx2+mx+nとおくと
f(1)=l+m+n=1…(1)
f(−1)=l−m+n=−3…(2)
f(2)=4l+2m+n=0…(3)
この連立方程式(1)(2)(3)を解くと
l=−1, m=2, n=0
だから −x2+2x

重解のときの解き方も載せて欲しい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この頁の下の方を見てください．

例題８の解答の中間式で係数２が抜けてます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最近加筆した部分なので，入力ミスがまだ他の読者にバレていなかったようです．訂正しました．