• ３次方程式，４次方程式には解の公式があるが，高校では扱わない．（カルダノの公式，フェラリの公式）
• ５次以上の方程式には解の公式を作ることはできない．（ガロア）
  　これは「５次方程式は解けない」ということではない．「５次以上の方程式の解を『有限回の変形操作で』解くことはできない」ということで，具体的な数値で係数が与えられた５次，６次，...方程式でも『無限回の変形操作=無限級数を用いれば』解くことができる．
  
  ※気になる人は，wxMaxima（←リンク）を使って，５次，６次方程式を解いてみるとよい．
  方程式→高次方程式の解を求める→空欄を埋める
  【例】
  　x^5+1=0 → ５個の解が根号を用いて示される．
  　x^6-2*x^5+3=0 → ６個の解が各々小数点以下第15位まで示される．
  
• 一般に n 次方程式には複素数の範囲で（重解も数えると） n 個の解が存在する（代数学の基本定理：ガウス）．

一般に，係数が実数である 3 次方程式の解は，
　（ア）実数，実数，実数
　（イ）実数，虚数，虚数
のいずれかになる．（これ以外の組合わせ［実数，実数，虚数］［虚数，虚数，虚数］はない．
　重解をもつ場合は，アに含まれる． ◎　以下で説明する３次方程式の解き方は，１つの実数解を因数定理で見つけ，次数を下げて２次方程式にし，残りは解の公式で解くというのが主な流れとなる．）

　多項式 P(x) を１次式で割ったときの余りを求めるとき，１次式で割るのだから余りは定数項になる．そこで商を Q(x)，余りを R とおくと P(x)=(x−a)Q(x)+R と書ける．R を求めたいのであるが，この等式において Q(x) は単なる記号で実際の式の中身は分からないから，R を求めるためには，この Q(x) が消えるようにすれなよい．
　 Q(x) には x−a が掛けられているので，x−a がちょうど 0 になるような x の値を選べば，Q(x) がどんな式になるのかが分からなくても，消去できる．そこで x=a を代入すると， P(a)=(a−a)Q(a)+R すなわち P(a)=R になり，余り R が P(a) に等しいことが証明された．

　多項式 P(x) を１次式 ax−b で割ったときの余りを求めるとき，１次式で割るのだから余りは定数項になる．そこで商を Q(x)，余りを R とおくと P(x)=(ax−b)Q(x)+R と書ける．

　x=.ban を代入すると，

P( .ban)=(a·.ban−b)Q( .ban)+R

P( .ban)=0·Q( .ban)+R

P( .ban)=R

ゆえに，余り R は P( .ban) に等しい．

　上で述べた「剰余の定理II」により，P(x) を ax−b

で割ったとき， P( .ban)=0 ⇔ ax−b で割り切れる．

もし，x3+x2+x−3=(x−a)(x2+bx+c) の形に因数分解できる（係数は整数）とすれば，ac=3 になるはずなので，a は３の約数（正負の符号あり）．
⇒ a=1 ,−1, 3 ,−3 でやってみて f(a)=0 となるものを探す．
（答案は清書としてうまくいったものを見せますが，舞台裏では（運が悪ければ）３回も泣いている．）

次のように割り算をして，（割り切れるのは分かっている）商を書く．

　割り切れる場面では，次のように暗算でもできる．
　x3+x2+x−3=(x−1)(x2+bx+c) になるとすれば，定数項 −3 から，c=3
２次の係数(=1)から b−1=1 → b=2

残りは２次なので，２次方程式にすれば「解の公式」で直ちに解ける．

f( .32n)=0 を見つける方法は？

もし， 2x3−x2−x −3=(ax −b)(cx2+dx+e) の形（ a , b , c , d , e は整数 ）に因数分解できるとすれば，
ac=2 , be=3 となるので，a は 2 の約数（±1，±2），b は 3 の約数（±1，±3）になる．

　したがって，f(±.11n), f(±.31n), f(±.12n), f(±.32n) の

８個の中に f( .ban)=0 となるものがある．
　いずれ見つかるので「早いか遅いかの違いだけ」となる．
　

【 一般に 】
　px3+･･･ +q=(ax−b)(mx2+･･･+n) ならば
a は p の約数，b は q の約数として f(±.ban)=0 となるものがある．