![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Ⅱの「高次方程式」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓複素数の定義・計算 ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓複素数の対称式,値の代入 ↓複素数のいろいろな問題 ↓共役複素数 ↓2次方程式の解の公式 ↓同(2) ↓解と係数の関係 ↓判別式 ↓二直線を表す方程式 ↓剰余の定理 ↓同(2) ↓同(3) ↓試験問題(剰余の定理) ↓因数定理 ↓高次方程式-現在地 ↓3次方程式の解と係数の関係 ↓同(2) ↓1の虚数3乗根ω 実係数方程式,有理係数方程式 |
■解説 ○ n 次の多項式 P(x) を用いて,P(x)=0 の形に書くことのできる方程式を n 次方程式という. ○ 3 次以上の方程式を高次方程式という. ○ このページでは,「因数定理を用いて因数分解で解ける3次方程式」を扱う.
【 因数定理 】
多項式 P(x) について P(a)=0 ならば, P(x) は x−a で割り切れる.( x−a を因数にもつ.) |
(参考)
一般に,係数が実数である 3 次方程式の解は,
(ア)実数,実数,実数 (イ)実数,虚数,虚数 のいずれかになる.(これ以外の組合わせ[実数,実数,虚数][虚数,虚数,虚数]はない. 重解をもつ場合は,アに含まれる. ![]() |
【 因数定理 II 】
(解説)多項式 P(x) について P( ![]() 上の「II」は高校生が使いやすいように,かみ砕いて述べたもので,理論的には「因数定理」だけでよい.(その訳は以下に述べる.) (因数定理←) 「剰余の定理:多項式 P(x) を x−a で割った余りは P(a) に等しい.」を用いると, (因数定理II←) 因数定理や剰余の定理において,定数 a の値は,整数に限られず,分数でも小数でも無理数でも(さらに広げて虚数でも)よい. ![]() となるから,P( ![]() ![]() ところで,例えば ![]() のように,x− ![]() そこで,x− ![]() ![]() |
上の「因数定理II」の証明で納得できないときは,次の[別の証明]を見るとよい. まず,「剰余の定理」は次のように証明される: 「剰余の定理」の復習 多項式 P(x) を1次式で割ったときの余りを求めるとき,1次式で割るのだから余りは定数項になる.そこで商を Q(x),余りを R とおくと[ax−b で割ったときの剰余の定理II] 多項式 P(x) を1次式 ax−b で割ったときの余りを求めるとき,1次式で割るのだから余りは定数項になる.そこで商を Q(x),余りを R とおくと[ ax−b で割ったときの因数定理 II ]別の証明 上で述べた「剰余の定理II」により,P(x) を ax−b |
例題1
3次方程式 x3+x2+x−3=0 を解け. 答案 f(x)=x3+x2+x−3 とおくと f(1)=1+1+1−3=0 だから …(*1) f(x) は x−1 で割り切れる. 割り算を行うと f(x)=(x−1)(x2+2x+3) …(*2) (x−1)(x2+2x+3)=0 より x=1 ,−1± ![]() 【 この問題では 】
x3+x2+x−3=(x−a)(x2+bx+c) ならば a は 3 の約数(符号は正負あり:±1,±3) ![]() x3+・・・ + p=(x−a)(x2+・・・+c) ならば a は p の約数(符号は正負あり) 正負を考えて p の約数に順に当たっていけば「いずれ見つかる」 |
(舞台裏から) (*1) なぜ f(1) を思いつくのか? はっきり言って,「一発で当てる方法はない」.ある程度は「まぐれ当たり」 もし,x3+x2+x−3=(x−a)(x2+bx+c) の形に因数分解できる(係数は整数)とすれば,ac=3 になるはずなので,a は3の約数(正負の符号あり).(*2) この式はどうやって出てくるのか? (*3) 3次式から1次の因数を1つ見つけると残りは2次 残りは2次なので,2次方程式にすれば「解の公式」で直ちに解ける. |
※ 次の問題は,因数分解の結果が (2x−3)(x2+x+1) となる問題である.このような問題では,整数値 a をどんなに探しても,f(a)=0 にはならない.また,残り2つの解は虚数なのでこれも通常は思いつかない. したがって,f( ![]() f( ![]()
例題2
3次方程式 2x3−x2−x−3=0 を解け. 答案 f(x)=2x3−x2−x−3 とおくと f( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() だから f(x) は 2x−3 で割り切れる. 割り算を行うと f(x)=(2x−3)(x2+x+1) (2x−3)(x2+x+1)=0 より x= ![]() ![]() |
|
(舞台裏から) f( ![]() もし, 2x3−x2−x −3=(ax −b)(cx2+dx+e) の形( a , b , c , d , e は整数 )に因数分解できるとすれば,
【 一般に 】
px3+・・・ +q=(ax−b)(mx2+・・・+n) ならば a は p の約数,b は q の約数として f(± ![]() |
|
【 要約 】
f(x)=px3+・・・ +q の因数分解 ⇒ f(± ![]() ※ 整数や分数を用いて因数分解できる3次方程式はこの方法で対応できる. ※ 次のような3次方程式は,ここで紹介した方法では解けない.x3−2.32 x2+ ![]() ![]() |
※「やり直す」で,別の係数の問題に変ります. ■問題1 次の方程式を解け. |
■問題2 次の方程式を解け. |
![]() ![]() |
■このサイト内のGoogle検索■ |