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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「高次方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓複素数の定義・計算
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓複素数の対称式,値の代入-現在地
↓複素数のいろいろな問題
↓共役複素数
↓２次方程式の解の公式
↓同(2)
↓解と係数の関係
↓判別式
↓二直線を表す方程式
↓剰余の定理
↓同(2)
↓同(3)
↓試験問題(剰余の定理)
↓因数定理
↓高次方程式
↓3次方程式の解と係数の関係
↓同(2)
↓１の虚数３乗根ω
実係数方程式，有理係数方程式

【対称式の値】
　x2+y2, x2y+xy2などのように文字x, yを入れ替えても式の値が変わらないものを対称式といいます．
　２文字x, yの対称式の値を求めるときは，基本対称式x+yとxyで表すようにすると，簡単になり，間違いにくくなります．

【例題１】
x=2+.√3√nii, y=2−.√3√niiのとき，.yxn+.xynの値を求めてください．

「力まかせに代入」するのではなく，基本対称式x+yとxyで表すようにします．

x2+y2=(x+y)2−2xy
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y)((x+y)2−3xy)
.1xn+.1yn=.x+yxynnn

【例題２】
x=.1+.√3√nii2nnnnn, y=.1−.√3√nii2nnnnnのとき，x3+y3の値を求めてください．

問題１
x=.3+.√3√nii2nnnnnn, y=.3−.√3√nii2nnnnnnのとき，次の式の値を求めてください．

−9 −8 −7 −6 −5 −4

−3 −2 −1 0 1 2 3

4 5 6 7 8 9

問題２
x=.−1+.√3√nii2nnnnnnn, y=.−1−.√3√nii2nnnnnnnのとき，次の式の値を求めてください．

−9 −8 −7 −6 −5 −4

−3 −2 −1 0 1 2 3

4 5 6 7 8 9

問題３
x=..√5√ni+.√3√nii2nnnnnnn, y=..√5√ni−.√3√nii2nnnnnnnのとき，次の式の値を求めてください．

−9 −8 −7 −6 −5 −4

−3 −2 −1 0 1 2 3

4 5 6 7 8 9

.√2√ni .√3√ni .√5√ni .√6√ni

(1) x=.3+.√7√nii2nnnnnnが満たす方程式を作る．
(2) 方程式の左辺で割り算して商と余りに分ける．
(3) 求めるべき式の次数を下げてから代入する．

この変形では⇒のところで同値関係が崩れていることに注意．すなわち， ならばx2−3x+4=0は成り立ちますが，x2−3x+4=0ならば，必ずしもとは言えず，の場合もあります．
通常，２乗すれば同値関係が崩れます．
それゆえに，x2−3x+4=0の左辺は求める式の次数を下げることには利用できますが，それだけでは答案は完成できず，どちらの解であるのかを使わなければならないことがあります．
たとえば，ならば，途中までは同じ答案になりますが，最後にxの値を代入したときに結果が変わります．

x2−3x+4が0になるのなら，この変形は0で割っているのではないかという疑問について
(2)の変形は「恒等式としての変形で，どのようなxに対しても成り立ちます．」すなわち，(2)において「割り算」ではなく掛け算の式を見る限り，矛盾はありません．

x4−x3+x2+x+9はつねに2x−3に等しいと言えるのかという疑問について
⇒そんなことはありません．この変形ができるのはx2−3x+4=0すなわちまたはのときだけです．他の値については他の式を使わなければなりません．

この変形は，次の割り算の結果を「割り算の原理」：A÷:B=Q...R ⇔ A=BQ+Rによって，掛け算と足し算で書き直したものです．
x2+2x+3

x2−3x+4 ) x4−x3+x2+x+9
x4−3x3+4x2

2x3−3x2+x
2x3−6x2+8x

3x2−7x+9
3x2−9x+12

2x−3

問題４
x=.3−.√5√nii2nnnnnnのとき，2x3−8x2+13x−7の値を
求めたい．次の問いに答えてください．

【選択肢】 2x2+6x+7=0 2x2−6x+7=0

x2+3x+1=0 x2−3x+1=0

【選択肢】 商はx−1，余りは0

商はx+1，余りはx−1

商は2x−2，余りは5x−2

商は2x−2，余りは5x−6

【選択肢】 −4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4

問題５
x=2+.√3√niiのとき，x3−2x2+11の値を求めたい．次の問いに答えてください．

【選択肢】 x2=1+4.√3√nii x2−4x+1=0

x2−4x+7=0 x2+4x+1=0

商はx−6，余りは23x+17

商はx−6，余りは17x+53

商はx+2，余りは7x+9

商はx+2，余りはx−3

【選択肢】 −3 −3+.√3√nii −1+.√3√nii 2+.√3√nii

間違いの指摘です 白い四角の二つ目のところで割り算の説明をしていますが 「この変形は，次の割り算の結果を「割り算の原理」：A÷:B=Q...R ⇔ A=BR+Rによって，掛け算と足し算で書き直したものです．」のところで A=BR+RではなくA=BQ+Rの間違いだと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスでしたので訂正しました．

問題1～3でyが抜けています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．