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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「高次方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓複素数の定義・計算
↓同(2)-現在地
↓同(3)
↓同(4)
↓複素数の対称式,値の代入
↓複素数のいろいろな問題
↓共役複素数
↓２次方程式の解の公式
↓同(2)
↓解と係数の関係
↓判別式
↓二直線を表す方程式
↓剰余の定理
↓同(2)
↓同(3)
↓試験問題(剰余の定理)
↓因数定理
↓高次方程式
↓3次方程式の解と係数の関係
↓同(2)
↓１の虚数３乗根ω
実係数方程式，有理係数方程式

【虚数単位iの定義】
　x2=−1の１つの解.√−1√nniを虚数単位といい、iで表します。
すなわち
i=.√−1√nni …(1)
i2=−1 …(2)

(1)　−.√−1√nni=−i
(2)　.√−2√nni=.√2×(−1)√nnnnnnni=.√2√ni.√−1√nni=.√2√nii
(3)　.√−3√nni=.√3×(−1)√nnnnnnni=.√3√ni.√−1√nni=.√3√nii
(4)　.√−4√nni=.√4×(−1)√nnnnnnni=.√4√ni.√−1√nni=2i
(5)　.√−0.1√nnnni=.√0.1×(−1)√nnnnnnnni=.√0.1√nnni.√−1√nni=.√0.1√nnnii
(6)　$\sqrt{-\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}\times (-1)}=\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{-1}=\sqrt{\frac{2}{3}}i$

※　負の数のルートについて，次のようなものは必ずしも等しいとはいえません．
※　次の変形規則が自由に使えるのは，a>0, b>0の場合であり，それ以外の場合は必ずしも成り立つとは限りません．
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},{\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$
（解説）
$a>0,b>0$のとき
$a>0,b>0$のとき

.√−2√nni×.√−3√nni=.√2√nii×.√3√nii=.√6√nii2 =−.√6√ni
.√(−2)×(−3)√nnnnnnnnni=.√6√ni
になります．

(1) .√−5√nni
解説

5i −5i .√5√nii −.√5√nii ±.√5√nii

負の数のルートを取り除いて代わりに正の数のルートと虚数単位iを付けます．
.√−5√nni=.√5√nii
※負の数のルート.√−5√nni=.√5√niiは，x2=−5の２つある解のうちの一方を表しており，両方を表している訳ではありません．もう一方は−.√−5√nni=−.√5√niiになります．

(2) .√−9√nni
解説

9i −9i 3i −3i

負の数のルートを取り除いて代わりに正の数のルートと虚数単位iを付けます．
.√−9√nni=.√9√nii
正の数のルートについては，中学校以来の計算規則に従って計算します．
.√9√nii=3i

(3) .√−12√nnni
解説

12i −12i ±2.√3√nii 2.√3√nii

負の数のルートを取り除いて代わりに正の数のルートと虚数単位iを付けます．
.√−12√nnni=.√12√nnii
正の数のルートについては，中学校以来の計算規則に従って計算します．
.√12√nnii=.√22·3√nnnii=2.√3√nii

(4) −.√−18√nnni
解説

18i −18i 3.√2√nii −3.√2√nii ±3.√2√nii

負の数のルートの部分を虚数単位iで表し，他の部分はそのままにします．
−.√−18√nnni=−.√18√nnii
正の数のルートについては，中学校以来の計算規則に従って計算します．
−.√18√nnii=−.√2·32√nnnii=−3.√2√nii

(5) .√−8√nni.√−27√nnni
解説

6.√6√nii −6.√6√ni ±6.√6√nii 216i −216i

負の数のルートを「各々」虚数単位iで表します．（根号の中を先に計算してはいけません．）
.√−8√nni.√−27√nnni=(.√8√nii)(.√27√nnii)
正の数のルートについては，中学校以来の計算規則に従って計算します．
(2.√2√nii)(3.√3√nii)=6.√6√nii2
虚数単位iの計算規則に従って虚数単位i2を−1に変えます．
6.√6√nii2=−6.√6√ni

【複素数の定義】
　a+bi　（a , bは実数）の形の数を複素数といい、aを実部、bを虚部という。（２つの要素から成り立っている数･･･複素数）
　複素数のうちで、特にb=0のものを実数という。
例　5+0iすなわち5は実数
　これに対してb≠0のものを虚数という。
例　5−3iは虚数
　複素数のうちで、特にa=0のものを純虚数という。
例　0+3iすなわち3iは純虚数

【複素数の計算規則】
(1)虚数単位iを含んだ式の和差積商は，普通の文字式におけるaやxと同じように，係数をまとめて簡単にしたり，展開，約分など行うことができます．
それでは，虚数単位の定義はどうなったのかと心配になりますが，普通の文字とは次の点が異なります．

(2)虚数単位i2が登場したら−1に書き換えます．（登場するたびに書き換えてもよく，まとめて書き換えてもよい．）

(1+2i)+(3+4i)=4+6i
(1+2i)−(5+7i)=−4−5i
(1+2i)(1−3i)=1−i−6i2=1−i+6=7−i

分母がa+bi ⇒ 分母分子にa−biを掛ける．
分母がa−bi ⇒ 分母分子にa+biを掛ける．

.2.√2√ninn=.2×.√2√ni.√2√ni×.√2√ninnnnnn=.2.√2√ni2nnn=.√2√ni
と同様にして .1in=.ii×innn=.i−1nn=−i
（※iで割ることが符号を変えることと同じ結果になり，奇妙に見えますが，

i2=−1だから.1in=−i

が成り立ちます．）

.11+.√2√ninnnn=.1−.√2√ni(1+.√2√ni)(1−.√2√ni)nnnnnnnnnnnn=.1−.√2√ni1−2nnnn=.1−.√2√ni−1nnnn=−1+.√2√ni
と同様にして .11+innn=.1−i(1+i)(1−i)nnnnnnnn=.1−i1−i2nnnn=.1−i2nnn
（i2=−1に注意）

※一般には，分母を２乗にしても実数にはできません．分母を実数にするためには，分母a+biの虚部の符号が逆のa−bi（共役複素数）を掛けなければなりません．
.12+3innnn=.2+3i(2+3i)2nnnnnnn=.2+3i4+12i+9i2nnnnnnnnn=.2+3i−5+12innnnnn ←× .12+3innnn=.2−3i(2+3i)(2−3i)nnnnnnnnnn=.2−3i4−9i2nnnnn=.2−3i4+9nnnn=.2−3i13nnnn ←○

※正確に言えば
.1+3i2nnnn のような分数は，複素数としてa+bi (a, bは実数)の形で「実部と虚部に分けて表す」と .12n+.32ni（a=.12n, b=.32nということ） になりますが，「いつでも分けられる」ということが分かるので，最終形として .1+3i2nnnn は許容されます．

※これに対して， .21+3innnnや.1in のような式をそのまま放置しておいてはいけません．これらの式では，実部と虚部が分かりません．

(1) (1−3i)−(2−5i)
解説

−3+2i −1+2i −1−8i −3−8i

13+11i −13−11i

(1−3i)−(2−5i)=1−3i−2+5i=−1+2i

(2) (2+3i)(1−i)
解説

3+2i −1+5i 5+i 5−5i

普通の文字式と同様に展開します．
(2+3i)(1−i)=2−2i+3i−3i2
i2を−1に書き換えます．
2−2i+3i−3i2=2−2i+3i+3=5+i

(3) (1−i)2
解説

0 2i −2i 2−2i

普通の文字式と同様に展開します．
(1−i)2=1−2i+i2
i2を−1に書き換えます．
1−2i+i2=1−2i−1=−2i

(4) i3+i4+i5+i6
解説

0 2 4 2i 4i

i2ずつ束にします．
i2×i+i2×i2+i2×i2×i+i2×i2×i2
i2を−1に書き換えます．
(−1)×i+(−1)×(−1)+(−1)×(−1)×i+(−1)×(−1)×(−1)=−i+1+i−1=0

(5) .3−2iinnnn
解説

1 2+3i 3+2i −2+3i −2−3i

分母分子にiを掛けます．
.3−2iinnnn=.(3−2i)ii2nnnnnnn=.3i−2i2−1nnnnnn
i2を−1に書き換えます．
.3i+2−1nnnn=−2−3i

(6) .2+4i1+innnn

解説

2+4i 3+i 6+2i 6−2i

分母分子に1−iを掛けます．
.2+4i1+innnn=.(2+4i)(1−i)(1+i)(1−i)nnnnnnnnn=.2−2i+4i−4i21−i2nnnnnnnnn
i2を−1に書き換えます．
.6+2i2nnnn=3+i

【複素数の相等】
a, b, c, dが実数のとき

○　２つの複素数が等しいのは，実部も虚部も等しいときに限る．
a+bi=c+di ⇔ a=cかつb=d…(1)
○　特に，
a+bi=0 ⇔ a=0かつb=0…(2)

（※複素数の等式１つは，実部と虚部に分けた１組の連立方程式と同じ値打があるということです．）

(1)を使って，両辺の実部と虚部をそれぞれ比較すれば得られます．
ただし，(1)から(2)，(2)から(1)のどちらも導けますので，(2)でやってもかまいません．
たとえば，
x+3i=4+yi
⇔(x−4)+(3−y)i=0
⇔x−4=0かつ3−y=0
⇔x=4かつy=3
とすれば(2)で考えていることになります．

(1) x+4i=5+yi
解説

x=5, y=4 x=4, y=5 x=5, y=4i x=4i, y=5

実部の比較からx=5，虚部の比較からy=4となります．
（なお，yi=4iという答案をよく見かけますが，iを取り除いた形で答えるようにしましょう．）

(2) 3x+yi+(6−i)=0
解説

x=2, y=1 x=2, y=−1

x=−2, y=1 x=−2, y=−1

(3x+6)+(y−1)i=0⇔3x+6=0かつy−1=0
⇔x=−2かつy=1

(3) (−2+i)x+(3−i)y=−7+3i
解説

x=2, y=1 x=2, y=−1

x=−2, y=1 x=−2, y=−1

(−2x+3y)+(x−y)i=−7+3i
(A)+(B)×2
−2x+3y=−7
+)2x−2y=6
y=−1
(B)に代入:x=2

(4) (x+yi)(2−3i)=−7−9i
解説

x=1, y=3 x=1, y=−3

x=−1, y=3 x=−1, y=−3

2x−3xi+2yi−3yi2=−7−9i
(2x+3y)+(−3x+2y)i=−7−9i
(A)×2−(B)×3
4x+6y=−14
−)−9x+6y=−27
13x=13
x=1
(A)に代入:y=−3

【問題４】　（実係数方程式の虚数解）
　x=2−iが２次方程式x2+ax+b=0の解となるように実数a, bの値を定めてください．
（下の選択肢から選んでください.）
解説

a=4, b=5 a=4, b=−5

a=−4, b=5 a=−4, b=−5

慣れていないと難しい問題に見えますが，x=2−iが２次方程式x2+ax+b=0の解だから，代入すると成り立つはずです．
(2−i)2+a(2−i)+b=0
ここでa, bが実数だから，複素数の相等を使えば，係数比較の問題となります．
4−4i+i2+2a−ai+b=0
(3+2a+b)+(−a−4)i=0
(B)より
a=−4
(A)に代入:b=5

【問題５】　（実係数方程式の虚数解）
　x=1+iが３次方程式x3+ax+b=0の解となるように実数a, bの値を定めてください．
（下の選択肢から選んでください.）
解説

a=2, b=4 a=2, b=−4

a=−2, b=4 a=−2, b=−4

x=1+iが３次方程式x3+ax+b=0の解だから，代入すると成り立つはずです．
(1+i)3+a(1+i)+b=0
ここでa, bが実数だから，複素数の相等を使えば，係数比較の問題となります．
⇔1+3i+3i2+i3+a+ai+b=0
⇔1+3i−3−i+a+ai+b=0
⇔(−2+a+b)+(2+a)i=0
(B)より
a=−2
(A)に代入:b=4

【問題６】　（複素係数方程式の実数解）
　２次方程式x2+(a+2i)x−(4+8i)=0が実数解をもつように実数aの値を定めてください．
（下の選択肢から選んでください.）
解説

a=2 a=−2 a=3 a=−3 a=4 a=−4

実数a, xに対して，x2+(a+2i)x−(4+8i)=0が成り立つのだから，複素数の相等を使えば，係数比較の問題となります．
x2+ax+2xi−4−8i=0
⇔(x2+ax−4)+(2x−8)i=0
(B)より
x=4
(A)に代入:a=−3

「√{2×(－1)}=√2√－1」と「次の変形規則が自由に使えるのは，a>0, b>0の場合であり，それ以外の場合は必ずしも成り立つとは限りません√a√b=√ab」が少し気になりました 自由に使ってないのかもわかりませんが、a,bの少なくとも一方が正であれば良いような気がします 「√{2×(－1)}=√2√－1」が成り立つ根拠となるものはどこを見たら良いでしょうか 分数の方を計算してみると分母が鬼門なので、少なくともb>0であれば掛け算も分数も良さそうです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．注意深く読んでもらっているということがよくわかります．
ご質問の場合については，その通り少なくとも一方が正なら成り立ちます．東京図書の教科書には，
(1) a>0, b>0 (2) a>0, b<0 (3) a<0, b>0 (4) a<0, b<0 の各場合について
(A) ${\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}}$　 (B) ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}}$
のどれが成り立つか一覧表を作りなさい．という問題が出ています．その問題は深く考えさせる良問だと思う．
私の教材で「次の変形規則が自由に使えるのは，a>0, b>0の場合であり，それ以外の場合は必ずしも成り立つとは限りません．」とは，成り立つ場合と成り立たない場合があるということです．いわゆる部分否定です．とりあえずにっこり笑って「安全に変形できる」のは，「両方とも正の場合」ということで，それ以外は正誤様々です．