解の公式

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「高次方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓複素数の定義・計算
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓複素数の対称式,値の代入
↓複素数のいろいろな問題
↓共役複素数

↓２次方程式の解の公式
↓同(2)-現在地
↓解と係数の関係
↓判別式
↓二直線を表す方程式

↓剰余の定理
↓同(2)
↓同(3)
↓試験問題(剰余の定理)
↓因数定理

↓高次方程式
↓3次方程式の解と係数の関係
↓同(2)
↓１の虚数３乗根ω
実係数方程式，有理係数方程式

== 解の公式 ==
　次の2次方程式の解を求めて下さい．

【問題1】

2 x^{2} - 5 x - 1 = 0

解答を見る

２次方程式の解の公式
（Ⅰ）　

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

⇓

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

に対して
　

a = 2, b = - 5, c = - 1

を代入します

x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{4}

= \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}

･･･（答）

→解答を隠す←

【問題2】

3 x^{2} - 4 x - 5 = 0

解答を見る

２次方程式の解の公式
（Ⅱ）
　

a x^{2} + 2 b^{'} x + c = 0 (a \neq 0)

⇓

x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{b^{'}^{2} - a c}}{a}

に対して
　

a = 3, b^{'} = - 2, c = - 5

を代入します

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 15}}{3}

= \frac{2 \pm \sqrt{19}}{3}

･･･（答）

→解答を隠す←

【問題3】

x^{2} + 5 = 0

解答を見る

２次方程式の解の公式
（Ⅱ）
　

a x^{2} + 2 b^{'} x + c = 0 (a \neq 0)

⇓

x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{b^{'}^{2} - a c}}{a}

に対して
　

a = 1, b^{'} = 0, c = 5

を代入します

x = \frac{0 \pm \sqrt{- 5}}{1}

= \pm \sqrt{5} i

･･･（答）

※右に示した公式による解き方の他に，もっと簡単に

x^{2} = a \to x = \pm \sqrt{a}

と考えてもよい

→解答を隠す←

【問題4】

x^{2} - 7 x + 11 = 0

解答を見る

２次方程式の解の公式
（Ⅰ）
　

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

⇓

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

に対して
　

a = 1, b = - 7, c = 11

を代入します

x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2}

= \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}

･･･（答）

→解答を隠す←

【問題5】

x^{2} + 6 x + 2 = 0

解答を見る

２次方程式の解の公式
（Ⅱ）
　

a x^{2} + 2 b^{'} x + c = 0 (a \neq 0)

⇓

x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{b^{'}^{2} - a c}}{a}

に対して
　

a = 1, b^{'} = 3, c = 2

を代入します

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 2}}{1}

= - 3 \pm \sqrt{7}

･･･（答）

→解答を隠す←

【問題6】

x^{2} = - 4

解答を見る

２次方程式の解の公式
（Ⅱ）
　

a x^{2} + 2 b^{'} x + c = 0 (a \neq 0)

⇓

x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{b^{'}^{2} - a c}}{a}

に対して
　

a = 1, b^{'} = 0, c = 4

を代入します

x = \frac{0 \pm \sqrt{- 4}}{1}

= \pm \sqrt{2} i

･･･（答）

※右に示した公式による解き方の他に，もっと簡単に

x^{2} = a \to x = \pm \sqrt{a}

と考えてもよい

→解答を隠す←

【問題7】

2 x^{2} + \sqrt{3} x + 2 = 0

解答を見る

２次方程式の解の公式
（Ⅰ）
　

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

⇓

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

に対して
　

a = 2, b = \sqrt{3}, c = 2

を代入します
※係数が無理数

\sqrt{3}

の場合でも，解の公式が使える

x = \frac{- \sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 16}}{4}

= \frac{- \sqrt{3} \pm \sqrt{13} i}{4}

･･･（答）

→解答を隠す←

【問題8】

4 x^{2} - 8 x + 3 = 0

解答を見る

２次方程式の解の公式
（Ⅱ）
　

a x^{2} + 2 b^{'} x + c = 0 (a \neq 0)

⇓

x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{b^{'}^{2} - a c}}{a}

に対して
　

a = 4, b^{'} = - 4, c = 3

を代入します

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{4}

x = \frac{4 \pm 2}{4}

分ければ簡単になる式は，分けて答えなければならない

x = \frac{6}{4}, \frac{2}{4}

x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}

･･･（答）

※この問題は，因数分解で解いてもよい

(2 x - 3) (2 x - 1) = 0

x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}

･･･（答）

→解答を隠す←

【問題9】

2 x^{2} - (2 \sqrt{2} - 1) x - \sqrt{2} = 0

解答を見る

２次方程式の解の公式
（Ⅰ）
　

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

⇓

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

に対して
　

a = 2, b = - (2 \sqrt{2} - 1), c = - \sqrt{2}

を代入します
※係数が無理数の場合でも，解の公式が使える

x = \frac{2 \sqrt{2} - 1 \pm \sqrt{(2 \sqrt{2} - 1)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4}

= \frac{2 \sqrt{2} - 1 \pm \sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 1 + 8 \sqrt{2}}}{4}

= \frac{2 \sqrt{2} - 1 \pm \sqrt{9 + 4 \sqrt{2}}}{4}

= \frac{2 \sqrt{2} - 1 \pm \sqrt{9 + 2 \sqrt{8}}}{4}

二重根号の外し方：和が9で積が8となる２数は8と1
⇒

\sqrt{8} + \sqrt{1}

= \frac{2 \sqrt{2} - 1 \pm (2 \sqrt{2} + 1)}{4}

= \frac{4 \sqrt{2}}{4}, - \frac{2}{4}

= \sqrt{2}, - \frac{1}{2}

･･･（答）

この問題は，因数分解によって解く方が簡単になる
原式から

(x - \sqrt{2}) (2 x + 1) = 0

x = \sqrt{2}, - \frac{1}{2}

･･･（答）

→解答を隠す←

【問題10】

4 x^{2} - 4 \sqrt{3} x + 3 = 0

解答を見る

２次方程式の解の公式
（Ⅱ）
　

a x^{2} + 2 b^{'} x + c = 0 (a \neq 0)

⇓

x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{b^{'}^{2} - a c}}{a}

に対して
　

a = 4, b^{'} = - 2 \sqrt{3}, c = 3

を代入します

x = \frac{2 \sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 12}}{4}

x = \frac{\sqrt{3}}{2}

(重解)･･･(答)

\pm 0

となる場合は，重解になる

※この問題は，因数分解で解いてもよい

(2 x - \sqrt{3})^{2} = 0

x = \frac{\sqrt{3}}{2}

(重解)･･･(答)

→解答を隠す←

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