１の虚数３乗根ω

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== １の虚数３乗根ω ==
◇１の虚数３乗根ωとは◇
○　x3=1 の虚数解を１の３乗根といい，ωで表わす．
　　（ x3=1 の解のうち，実数解 x=1 でないものを１の虚数３乗根といい，ωで表わす．）
○　具体的に x3=1 を解くと次のようになる．

x3−1=0 ⇔ (x−1)(x2+x+1)=0

⇔ x=1 , .−1±.√3√nii2nnnnnnnn

虚数解は x=.−1±.√3√nii2nnnnnnnn

（注）　これら２つの虚数解のうちどちらをωとするか決まっている訳ではない．すなわち，勝手に

ω=.

−1−.

√3√nii2nnnnnnnn

と決めて問題を解くのはよくない．

ω=.

−1+.

√3√nii2nnnnnnnn

の場合でも成り立つ答案が求められる．

○　以下に示すように，ω4+ω2 の値を求めるなどの問題において，

ω=.

−1−.

√3√nii2nnnnnnnn

と，

ω=.

−1+.

√3√nii2nnnnnnnn

の両方を代入して「力まかせに」「単純計算主義で」解決する方法は薦められない．

　【ポイント】：ω3=1 かつ ω≠1 から，ωが満たす式を作り，これらの変形で処理するというのが定石となっている．すなわち，

【要約】
１の虚数３乗根の１つをωとするとき　　ω3=1 （ ω≠1 ）···(A)
　　ω2+ω+1=0 ···(B) が成り立つ．

　式の数を最小限に減らすと，(B)だけで１の虚数３乗根という定義を満たすことができるが，
　式(A)を見ると，左辺が3次式で右辺が定数（0次式）となっている．この式を使えば一挙に次数を３次下げることができ，この式はいわば「特急券」として重宝できる．　
　　例　ω6=ω3ω3=1
　式(B)は ω2=−ω−1 と見ると，２次式を１次式に次数を下げることができる，いわば「急行券」となっている．
　　例　　ω3=ω2ω=(−ω−1)ω=−ω2−ω
　　　　=−(−ω−1)−ω=1
　無理数や複素数の複雑な値の代入計算によく使う方法（余りに代入する方法）： ω2+ω+1=0 で割った余りに代入する方法をとれば，この単調な繰り返し作業をまとめて行うことができる．*

　　例*　　2ω3+5ω2+5ω+5= =0 (ω2+ω+1) 商(2ω+3)+ 余り2=2

（覚え方）　　ω3=1 ···(特急券)
　　ω2+ω+1=0 ···(急行券) 「特急券」と「急行券」を両方とも使って，次数を下げる．

例題１
　１の虚数３乗根の１つをωとするとき，ω4+ω2+1 の値を求めよ．
（答案）
　原式=ωω3+ω2+1=ω+ω2+1=0
例題２
　１の虚数３乗根の１つをωとするとき，ω100+ω50+1 の値を求めよ．
（答案）
　原式=ω(ω3)33+ω2(ω3)16+1=ω+ω2+1=0

■問題１　…　（ω計算の基本練習）
　１の虚数３乗根の１つをωとするとき，次の式の値を求めよ．

[ 1問 / 全5問中 ] [採点する] [やり直す] [次の問題]

■問題２　…　（少しむずかしい）
　　

[ 1問 / 全4問中 ] [採点する] [やり直す] [次の問題]

■問題３　…　（少しむずかしい）
　

ω

を１の３乗根の１つとするとき，次の式の値を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

ω^{7} + \frac{1}{ω^{7}}

解説やり直す

1 2

\frac{1}{2}

−1 −2

- \frac{1}{2}

ω^{7} = ω^{6} \times ω = (ω^{3})^{2} \times ω = 1^{2} \times ω = ω

だから

ω^{7} + \frac{1}{ω^{7}} = ω + \frac{1}{ω}

…(*1)

※次の変形も考えられる

ω + \frac{1}{ω} = ω + \frac{ω^{2}}{ω^{3}}

= ω + ω^{2}

= - 1

ここで（上の教材で「急行券」と書いてある式）

ω^{2} + ω + 1 = 0

の両辺を

ω

で割ると

ω + 1 + \frac{1}{ω} = 0

ω + \frac{1}{ω} = - 1

…(*2)
(*2)→(*1)

ω^{7} + \frac{1}{ω^{7}} = - 1

…（答）

→閉じる←

(2)

ω^{8} + \frac{1}{ω^{8}}

解説やり直す

1 2

\frac{1}{2}

−1 −2

- \frac{1}{2}

ω^{8} = ω^{6} \times ω^{2} = (ω^{3})^{2} \times ω^{2} = 1^{2} \times ω^{2} = ω^{2}

だから

ω^{8} + \frac{1}{ω^{8}} = ω^{2} + \frac{1}{ω^{2}}

= ω^{2} + \frac{ω}{ω^{3}}

= ω^{2} + ω

= - 1

…（答）

→閉じる←

(3)
nが正の整数のとき

ω^{n} + \frac{1}{ω^{n}}

の値は
ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，2
イ）n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，(次の値から選んでください)

解説やり直す

1 2

\frac{1}{2}

−1 −2

- \frac{1}{2}

ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，

ω^{n} = (ω^{3})^{k} = 1^{k} = 1

だから

ω^{n} + \frac{1}{ω^{n}} = 1 + 1 = 2

イ）i) n=3k+1 (k=1, 2, 3, …)のとき，

ω^{n} = ω^{3 k + 1} = (ω^{3})^{k} \times ω = 1^{k} \times ω = ω

だから

ω^{n} + \frac{1}{ω^{n}} = ω + \frac{1}{ω} = ω + \frac{ω^{2}}{ω^{3}} = ω + ω^{2} = - 1

　ii) n=3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，

ω^{n} = ω^{3 k + 2} = (ω^{3})^{k} \times ω^{2} = 1^{k} \times ω^{2} = ω^{2}

だから

ω^{n} + \frac{1}{ω^{n}} = ω^{2} + \frac{1}{ω^{2}} = ω^{2} + \frac{ω}{ω^{3}} = ω^{2} + ω = - 1

したがって，
n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，−1…（答）

→閉じる←

(4)

\frac{ω^{10}}{ω^{10} + 1}

の値に等しいものを次の中から選んでください

解説やり直す

1 −1

ω

- ω

ω^{2}

- ω^{2}

ω^{10} = (ω^{3})^{3} \times ω = 1^{3} \times ω = ω

だから

\frac{ω^{10}}{ω^{10} + 1} = \frac{ω}{ω + 1}

ここで

ω^{2} + ω + 1 = 0

だから

ω + 1 = - ω^{2}

したがって

\frac{ω}{ω + 1} = \frac{ω}{- ω^{2}} = - \frac{1}{ω} = - \frac{ω^{2}}{ω^{3}} = - ω^{2}

…（答）

→閉じる←

(5)

\frac{ω^{11}}{ω^{11} + 1}

の値に等しいものを次の中から選んでください

解説やり直す

1 −1

ω

- ω

ω^{2}

- ω^{2}

ω^{11} = (ω^{3})^{3} \times ω^{2} = 1^{3} \times ω^{2} = ω^{2}

だから

\frac{ω^{11}}{ω^{11} + 1} = \frac{ω^{2}}{ω^{2} + 1}

ここで

ω^{2} + ω + 1 = 0

だから

ω^{2} + 1 = - ω

したがって

\frac{ω^{2}}{ω^{2} + 1} = \frac{ω^{2}}{- ω} = - ω

…（答）

→閉じる←

(6)
nが正の整数のとき

\frac{ω^{n}}{ω^{2 n} + 1}

の値は
ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，

\frac{1}{2}

イ）n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，(次の値から選んでください)

解説やり直す

1 −1

ω

- ω

ω^{2}

- ω^{2}

ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，

ω^{n} = (ω^{3})^{k} = 1^{k} = 1

だから

\frac{ω^{n}}{ω^{2 n} + 1} = \frac{1}{2}

イ）i) n=3k+1 (k=1, 2, 3, …)のとき，

ω^{n} = ω^{3 k + 1} = (ω^{3})^{k} \times ω = 1^{k} \times ω = ω

だから

\frac{ω^{n}}{ω^{2 n} + 1} = \frac{ω^{n}}{(ω^{n})^{2} + 1} = \frac{ω}{ω^{2} + 1} = \frac{ω}{- ω} = - 1

　ii) n=3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，

ω^{n} = ω^{3 k + 2} = (ω^{3})^{k} \times ω^{2} = 1^{k} \times ω^{2} = ω^{2}

だから

\frac{ω^{n}}{ω^{2 n} + 1} = \frac{ω^{n}}{(ω^{n})^{2} + 1} = \frac{ω^{2}}{ω^{4} + 1} = \frac{ω^{2}}{ω + 1} = \frac{ω^{2}}{- ω^{2}} = - 1

したがって，
n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，−1…（答）

→閉じる←

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／18.9.30］

すみません💦ω17+1/ω17-1=ってなんになりますか？分数になると分からなくなる、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．当教材にある問題については，質問に答えますが，各自の宿題などについては原則として回答していません．
　そこで，尋ねられた問題に答えずに，尋ねられていない問題に答えて，各自の答は各自で考えてもらうことがあります．
$\omega^{19}+\frac{1}{\omega^{19}}$ の値を求めたい場合
そのページの用語で［特急券］を使うと，
$\omega^{19}=\omega^{18}\times\omega=(\omega^3)^6\times\omega=1\times\omega=\omega$
$\omega^{19}+\frac{1}{\omega^{19}}=\omega+\frac{1}{\omega}$
次に，そのページの用語で［急行券］を使うと
$\omega^{2}+\omega+ 1=0$ より
$\omega+ 1+ \frac{1}{\omega}=0$
$\omega+\frac{1}{\omega}=-1$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／18.7.28］

問題1ー5のkは何故はずれるんですか？ωの6k乗は1の2k乗になるんじゃないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「特急券」は使いましたか？ω3=1だからω3k=(13)k=1k=1, ω6k=(13)2k=12k=1だよね．他に何か言う必要ありますか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／17.12.09］

非常にわかりやすい練習問題があるのは高評価
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／17.6.14］

最初に因数分解をすれば良いということが分かれた
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[１の虚数３乗根ωについて／17.3.14］

教科書を学校に忘れて演習問題を解けずに困っていたのですが、これを見ながらだと演習問題を解くことができました！要点だけをまとめていて、とっても見やすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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