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【剰余の定理 I】
　整式P(x)を１次式x−aで割ったときの余りはP(a)に等しい

○剰余の定理を使えば割り算をしなくても「余り」が求められます．ただし，剰余の定理を使っても「商」は求められません．

※この定理では，「x−aで割ったときの余りはP(a)に等しい」という形になっているので，「x+aで割ったときの余りはP(−a)に等しい」というように，見かけの符号を逆に読まなければならないことに注意

【例】
（解答）
12+1=2
（解答）
(−1)2−3×(−1)+4=8
（解答）
23+1=9

【剰余の定理 II】
　整式P(x)を１次式ax+b（ただしa≠0）で割ったときの余りは$P(-{\displaystyle \frac{b}{a}})$に等しい

○剰余の定理Ⅰではxの係数が1である場合にだけ余りが求められましたが，剰余の定理Ⅱを使えばxの係数が1に限られず一般の１次式ax+bで割ったときの余りも求めることができます．

※この定理では，「ax+bで割ったときの余りは$P(-{\displaystyle \frac{b}{a}})$に等しい」という形になっているので，見かけの符号を剰余の定理Ⅰとは逆に読まなければならないことに注意

【例】
（解答）
$(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+1={\displaystyle \frac{5}{4}}$
（解答）
$({\displaystyle \frac{2}{3}}{)}^2+1={\displaystyle \frac{13}{9}}$

※（より深く理解するために）
　剰余の定理Ⅰを，ごく自然に使えば「x−aで割ったときの余りはP(a)」という場合にaは整数に見えますが，実際には分数でも（無理数でも，虚数でも）かまいません．
　そうすると，たとえば$P({\displaystyle \frac{1}{2}})$というような値は，剰余の定理Ⅰで解釈すれば，$x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$で割ったときの余りを表しているように見えます．
　また，剰余の定理Ⅱで解釈すれば2x−1で割ったときの余りを表しているように見えます．
　これは矛盾ではなく，どちらで解釈してもかまいません．実は$x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$で割ったときの余りと2x−1で割ったときの余りは等しく，商が異なるだけです．

　次のように対応しています．
上記の【例】(1)では
$x^2+1=(2x+1)({\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}})+{\displaystyle \frac{5}{4}}$
$x^2+1=(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})+{\displaystyle \frac{5}{4}}$
上記の【例】(2)では
$x^2+1=(3x-2)({\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{9}})+{\displaystyle \frac{13}{9}}$
$x^2+1=(x-{\displaystyle \frac{2}{3}})(x+{\displaystyle \frac{2}{3}})+{\displaystyle \frac{13}{9}}$

(1)　P(x)=x2+2x−4をx−1で割った余りを求めてください．
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(2)　P(x)=x3+2をx+2で割った余りを求めてください．
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(3)　P(x)=x3−x−1をx−2で割った余りを求めてください．
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(4)　P(x)=2x2−3x+4をx+1で割った余りを求めてください．
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(1)　P(x)=x2+2x−3を2x−1で割った余りを求めてください．
$-{\displaystyle \frac{35}{9}}$ $-{\displaystyle \frac{11}{9}}$ $-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{7}{4}}$ 0 1 3 4

(2)　P(x)=2x2−x+3を2x+1で割った余りを求めてください．
$-{\displaystyle \frac{35}{9}}$ $-{\displaystyle \frac{11}{9}}$ $-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{7}{4}}$ 0 1 3 4

(3)　P(x)=2x2−x+3を$x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$で割った余りを求めてください．
$-{\displaystyle \frac{35}{9}}$ $-{\displaystyle \frac{11}{9}}$ $-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{7}{4}}$ 0 1 3 4

(4)　P(x)=x2+2x−3を3x−2で割った余りを求めてください．
$-{\displaystyle \frac{35}{9}}$ $-{\displaystyle \frac{11}{9}}$ $-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{7}{4}}$ 0 1 3 4

(5)　P(x)=x2+2x−3を$x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$で割った余りを求めてください．
$-{\displaystyle \frac{35}{9}}$ $-{\displaystyle \frac{11}{9}}$ $-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{7}{4}}$ 0 1 3 4