内接円の半径

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「三角比と図形」（正弦定理，余弦定理など）について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓正弦定理（解説）
↓正弦定理（問題）
↓分数型の方程式

↓余弦定理（解説）
↓三辺→角
↓余弦定理の2次方程式

↓筆算だけで解く問題(1)
↓筆算だけで解く問題(2)
↓最大角・最小角
↓ヘロンの公式
↓内接円の半径

↓形状問題
↓証明問題

↓三角形を解く
↓センター問題(1)
↓センター問題(2)
センター問題(3)

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== 内接円の半径 ==
《解説》
■三角形の内接円の半径の大きさは，面積と関係付けることができます.

　三角形の内接円の半径をｒとおく.
　三角形を右図のように3つに分けると，

と表せることが分かります.

　さらに，
$\frac{a+ b + c}{2}=s$
とおくと

$S=rs$

となります.

■三角形の面積は，いろんな求め方があります.そこで，ヘロンの公式などを用いて三角形の面積を求めておくと，内接円の半径が求まります.

【ヘロンの公式】
三辺の長さがa , b , cである三角形の面積Sを求めるには

まず、s= .

a+b+c2nnnnnを求めておき

次に、S= .

√s(s−a)(s−b)(s−c)√nnnnnnnnnnnnnni …(1)
とします。

(1)はS= .

14n.

√(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)√nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnni …(2)

と書くこともできますが、教科書では通常(1)の形で書かれています。

　右図のように三角形の面積は，何通りも表し方があります．
　そこで，

ヘロンの公式で求めた面積

が，

内接円の半径で表した面積

と等しいはずだということを使うと内接円の半径が求まります．

【例】
　三角形の３辺の長さが，それぞれ13,14,15のとき，この三角形の内接円の半径を求めなさい.

（答案）
$s=\frac{13+ 14 + 15}{2}=21$
ヘロンの公式により
$S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$
$=\sqrt{3\times 7\times 2^3\times 7 \times 2\times 3}=\sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2}$
$=2^2\times 3 \times 7=84$
ここで
$S$ $=$ $r$ $s$
だから
$84$ $=$ $r$ $\times$ $21$
ゆえに
$r=4$ …(答)

《問題1》
　三角形の３辺の長さが次のように与えられているとき，この三角形の内接円の半径を求めなさい.

間違ったとき［？］をクリックすると解説が出ます．

（1）
３，４，５

1 $\frac{1}{2}$ 2 $\frac{3}{2}$ 3 [?]

はじめに、ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。

s= .

a+b+c2nnnnn=6を求めておき

S=.

√6(6−3)(6−4)(6−5)√nnnnnnnnnnnnnnnni= 6とします。

次に、S=rsを利用すると
6=6r　⇒　r=1

（2）
９，１０，１７

1 2 3 4 5 6 [?]

はじめに、ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。

s= .

9+10+172nnnnnnn=18を求めておき

S=.

√18(18−9)(18−10)(18−17)√nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnni=36とします。

次に、S=rsを利用すると
36=18r　⇒　r=2

（3）
１１，１３，２０

1 2 3 4 5 6 [?]

はじめに、ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。

s= .

11+13+202nnnnnnnn=22を求めておき

S=.

√22(22−11)(22−13)(22−20)√nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnni=66とします。

次に、S=rsを利用すると
66=22r　⇒　r=3

（4）
１５，２６，３７

1 2 3 4 5 6 [?]

はじめに、ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。

s= .

15+26+372nnnnnnnn=39を求めておき

S=.

√39(39−15)(39−26)(39−37)√nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnni=156とします。

次に、S=rsを利用すると
156=39r　⇒　r=4
（答が順に1，2，3，4となってしまったのは単なるジョークです。）

《問題2》
　次の三角形の内接円の半径を求めなさい.

（1）
ａ＝８，ｂ＝３，Ｃ＝60°

[?]

　高校の数学で内接円の半径が簡単に求められるのは
S=rs
の関係式です。

S= .

ab·sinC2nnnnnnから面積S=6.

√3√niが求められます。

余弦定理c2=a2+b2−2ab·cosCからc=7→s=.

8+3+72nnnnn=9が求められます。
これらをS=rsに代入すると

√3√ni=9r　⇒　r= .

23n.

√3√ni

（2）
b=15，ｃ＝7，A=60°

[?]

　高校の数学で内接円の半径が簡単に求められるのは
S=rs
の関係式です。

S= .

bc·sinA2nnnnnnから面積S=.

1054nnn.

√3√niが求められます。

余弦定理a2=b2+c2−2bc·cosAから

a=13→s=.

13+15+72nnnnnnn= .

352nnが求められます。

これらをS=rsに代入すると

1054nnn.

√3√ni= .

352nnr　⇒　r= .

32n.

√3√ni

（3）
ｃ＝３，ａ＝５，Ｂ＝120°

[?]

　高校の数学で内接円の半径が簡単に求められるのは
S=rs
の関係式です。

S= .

ca·sinB2nnnnnnから面積S=.

154nn.

√3√niが求められます。

余弦定理b2=c2+a2−2ca·cosBから

b=7→s=.

3+5+72nnnnn= .

152nnが求められます。

これらをS=rsに代入すると

154nn.

√3√ni= .

152nnr　⇒　r= .

12n.

√3√ni

（4）
ａ＝５，ｂ＝16，Ｃ＝120°

[?]

　高校の数学で内接円の半径が簡単に求められるのは
S=rs
の関係式です。

S= .

ab·sinC2nnnnnnから面積S=20.

√3√niが求められます。

余弦定理c2=a2+b2−2ab·cosCから

c=19→s=.

5+16+192nnnnnnn= 20が求められます。

これらをS=rsに代入すると

20.

√3√ni=20r　⇒　r=.

√3√ni

《問題３》

　三角形ＡＢＣにおいて
(ＣＡ＋ＡＢ)：(ＢＣ＋ＣＡ)：(ＡＢ＋ＢＣ)＝５：６：７である.
(1)　sinＡを求めよ.

$\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{5}}{4}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$ [?]

(1) (b+c):(a+b):(c+a)=5:6:7からa:b:cが求められます。（比率のみ）

(b+c):(a+b):(c+a)=5:6:7よりb+c=5k , a+b=6k , c+a=7k
この連立方程式を解くとa=4k , b=2k , c=3k

a:b:cが分かれば、余弦定理の変形によりcosAが求められ、これによりsinAが求められます。

余弦定理の変形：cosA= .

b2+c2−a22bcnnnnnnn= − .

14n

⇒ sinA(>0)=.

√1−cos2A√nnnnnnni=.

√1−(−.

14n)2√nnnnnnni= .

√15√nni4nnn

(2)　三角形ＡＢＣの内接円と外接円の半径の比を求めよ.

（昭和女子大入試問題からの引用）

5:13 5:16 11:12 11:13 [?]

(2) 外接円の半径Rは正弦定理.

asinAnnnn=2Rによって求められます。

4k.

√15√nni4nnnnnn=2R　⇒　R=.

√15√nni15nnnnk

内接円の半径はS=rsによって求められます。ここで面積は、ヘロンの公式によって求めます。

a=4k , b=2k , c=3kからs=.

4k+2k+3k2nnnnnnnn= .

9k2nn

S= .

√s(s−a)(s−b)(s−c)√nnnnnnnnnnnnnni= .

√15√nni4nnnnk2 ⇒ S=rsより

r= .

√15√nni6nnnk

以上により、r:R= .

√15√nni6nnnk : .

√15√nni15nnnnk=5:16

（参考）
　△ABCについて
内接円の半径をr，外接円の半径をR，面積をS，３辺の長さの和の半分を $s=\frac{a+ b+ c}{2}$ とするとき，これらについて成り立つ関係（まとめ）

(1) ２辺とその間の角で面積を表す
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$
(2)　３辺と外接円の半径で面積を表す

$S=\frac{abc}{4R}$

正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=2R$ から
$\sin A=\frac{a}{2R}$
これを(1)に代入すると
$S=\frac{1}{2}bc\cdot\frac{a}{2R}=\frac{abc}{4R}$

(3)　３辺の長さの和と内接円の半径で面積を表す

$S=\frac{1}{2}(a+ b+ c)r=rs$

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