内接円の半径

← PC用は別頁

← PC用は別頁

== 内接円の半径 ==
《解説》
■三角形の内接円の半径の大きさは，面積と関係付けることができます.

　三角形の内接円の半径をｒとおく.
　三角形を右図のように3つに分けると，

と表せることが分かります.

　さらに，
$\frac{a+ b + c}{2}=s$
とおくと

$S=rs$

となります.

■三角形の面積は，いろんな求め方があります.そこで，ヘロンの公式などを用いて三角形の面積を求めておくと，内接円の半径が求まります.

【ヘロンの公式】
三辺の長さがa , b , cである三角形の面積Sを求めるには

まず、s= を求めておき

次に、S= …(1)
とします。

(1)はS= …(2)

と書くこともできますが、教科書では通常(1)の形で書かれています。

　右図のように三角形の面積は，何通りも表し方があります．
　そこで，

ヘロンの公式で求めた面積

が，

内接円の半径で表した面積

と等しいはずだということを使うと内接円の半径が求まります．

【例】
　三角形の３辺の長さが，それぞれ13,14,15のとき，この三角形の内接円の半径を求めなさい.

（答案）
$s=\frac{13+ 14 + 15}{2}=21$
ヘロンの公式により
$S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$
$=\sqrt{3\times 7\times 2^3\times 7 \times 2\times 3}=\sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2}$
$=2^2\times 3 \times 7=84$
ここで
$S$ $=$ $r$ $s$
だから
$84$ $=$ $r$ $\times$ $21$
ゆえに
$r=4$ …(答)

《問題1》
　三角形の３辺の長さが次のように与えられているとき，この三角形の内接円の半径を求めなさい.

間違ったとき［？］をクリックすると解説が出ます．

（1）
３，４，５

1 $\frac{1}{2}$ 2 $\frac{3}{2}$ 3 [?]

はじめに、ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。

s= =6を求めておき

S== 6とします。

次に、S=rsを利用すると
6=6r　⇒　r=1

（2）
９，１０，１７

1 2 3 4 5 6 [?]

はじめに、ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。

s= =18を求めておき

S==36とします。

次に、S=rsを利用すると
36=18r　⇒　r=2

（3）
１１，１３，２０

1 2 3 4 5 6 [?]

はじめに、ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。

s= =22を求めておき

S==66とします。

次に、S=rsを利用すると
66=22r　⇒　r=3

（4）
１５，２６，３７

1 2 3 4 5 6 [?]

はじめに、ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。

s= =39を求めておき

S==156とします。

次に、S=rsを利用すると
156=39r　⇒　r=4
（答が順に1，2，3，4となってしまったのは単なるジョークです。）

《問題2》
　次の三角形の内接円の半径を求めなさい.

（1）
ａ＝８，ｂ＝３，Ｃ＝60°

[?]

　高校の数学で内接円の半径が簡単に求められるのは
S=rs
の関係式です。

S= から面積S=6が求められます。

余弦定理c2=a2+b2−2ab·cosCからc=7→s==9が求められます。
これらをS=rsに代入すると

6=9r　⇒　r=

（2）
b=15，ｃ＝7，A=60°

[?]

　高校の数学で内接円の半径が簡単に求められるのは
S=rs
の関係式です。

S= から面積S=が求められます。

余弦定理a2=b2+c2−2bc·cosAから

a=13→s== が求められます。

これらをS=rsに代入すると

= r　⇒　r=

（3）
ｃ＝３，ａ＝５，Ｂ＝120°

[?]

　高校の数学で内接円の半径が簡単に求められるのは
S=rs
の関係式です。

S= から面積S=が求められます。

余弦定理b2=c2+a2−2ca·cosBから

b=7→s== が求められます。

これらをS=rsに代入すると

= r　⇒　r=

（4）
ａ＝５，ｂ＝16，Ｃ＝120°

[?]

　高校の数学で内接円の半径が簡単に求められるのは
S=rs
の関係式です。

S= から面積S=20が求められます。

余弦定理c2=a2+b2−2ab·cosCから

c=19→s== 20が求められます。

これらをS=rsに代入すると

20=20r　⇒　r=

《問題３》

　三角形ＡＢＣにおいて
(ＣＡ＋ＡＢ)：(ＢＣ＋ＣＡ)：(ＡＢ＋ＢＣ)＝５：６：７である.
(1)　sinＡを求めよ.

$\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{5}}{4}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$ [?]

(1) (b+c):(a+b):(c+a)=5:6:7からa:b:cが求められます。（比率のみ）

(b+c):(a+b):(c+a)=5:6:7よりb+c=5k , a+b=6k , c+a=7k
この連立方程式を解くとa=4k , b=2k , c=3k

a:b:cが分かれば、余弦定理の変形によりcosAが求められ、これによりsinAが求められます。

余弦定理の変形：cosA= = −

⇒ sinA(>0)===

(2)　三角形ＡＢＣの内接円と外接円の半径の比を求めよ.

（昭和女子大入試問題からの引用）

5:13 5:16 11:12 11:13 [?]

(2) 外接円の半径Rは正弦定理=2Rによって求められます。

=2R　⇒　R=k

内接円の半径はS=rsによって求められます。ここで面積は、ヘロンの公式によって求めます。

a=4k , b=2k , c=3kからs==

S= = k2 ⇒ S=rsより

r= k

以上により、r:R= k : k=5:16

（参考）
　△ABCについて
内接円の半径をr，外接円の半径をR，面積をS，３辺の長さの和の半分を $s=\frac{a+ b+ c}{2}$ とするとき，これらについて成り立つ関係（まとめ）

(1) ２辺とその間の角で面積を表す
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$
(2)　３辺と外接円の半径で面積を表す

$S=\frac{abc}{4R}$

正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=2R$ から
$\sin A=\frac{a}{2R}$
これを(1)に代入すると
$S=\frac{1}{2}bc\cdot\frac{a}{2R}=\frac{abc}{4R}$

(3)　３辺の長さの和と内接円の半径で面積を表す

$S=\frac{1}{2}(a+ b+ c)r=rs$

このページの先頭の解説図

(携帯版)...メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る