余弦定理の２次方程式

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「三角比と図形」（正弦定理，余弦定理など）について，このサイトには次の教材があります．
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↓正弦定理（解説）
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↓余弦定理（解説）
↓三辺→角
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センター問題(3)

■余弦定理の２次方程式

《解説》
□
　２辺a, bの長さと角Aの大きさが与えられているとき，△ABCの他の要素を求める問題は，

により，正弦定理を用いて角Bを求めるのが第一手と考えるのが基本です.

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \to \sin B = \frac{b \sin A}{a}

□
　しかし，ここでは，２辺a, bの長さと角Aの大きさから辺cの長さを求める他の方法を紹介します.

a, b, Aが与えられているとき，
余弦定理　a2=b2+c2−2bccosA
を辺cについての２次方程式と見てcを求めることができます.
⇒　c2−(2b cos A)c+(b2−a2)=0

【例】

a = 2, b = \sqrt{6}, A = 45^{\circ}

のとき辺cの長さを求めなさい.

(答案)　
　角Ａを用いた余弦定理から２次方程式を作ると，
a2=b2+c2−2bc cosA
$4 = 6 + c^{2} - 2 \sqrt{6} \times c \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$c^{2} - 2 \sqrt{3} c + 2 = 0$
解の公式から $c = \sqrt{3} \pm 1$ ・・・(答)

※２次方程式の解は，通常２個あります．
２つとも三角形の辺の長さを表しているか，1つだけが答となるかは，三角形ができるかどうかで判断します.
　もし，２次方程式の解が

c = 1 \pm \sqrt{3}

となった場合には，

c = 1 + \sqrt{3}

だけが答です.（

c = 1 - \sqrt{3}

では三角形はできないからです.）

《問題》　△ABCにおいて次の問に答えなさい．（暗算では無理ですので別途計算用紙を使ってください）（各々右の選択肢をクリック）
１ a=7, b=5, A=60° のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3 \sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2} \pm 1$ ， $\sqrt{3} \pm 1$ 上記以外
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ に代入 $49 = 25 + c^{2} - 2 \times 5 \times c \times \frac{1}{2}$ c2−5c−24=0 (c−8)(c+3)=0 c=8, −3 c>0によりc=8
２ a=7, b=5, A=120° のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3 \sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2} \pm 1$ ， $\sqrt{3} \pm 1$ 上記以外
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ に代入 $49 = 25 + c^{2} - 2 \times 5 \times c \times (- \frac{1}{2})$ c2+5c−24=0 (c+8)(c−3)=0 c=−8, 3 c>0によりc=3
３ $c = \sqrt{31}, a = 5, C = 60^{\circ}$ のとき辺bの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3 \sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2} \pm 1$ ， $\sqrt{3} \pm 1$ 上記以外
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ に代入 $31 = 25 + b^{2} - 2 \times 5 \times b \times \frac{1}{2}$ b2−5b−6=0 (b+1)(b−6)=0 b=−1, 6 b>0によりb=6
４ $a = \sqrt{2}, c = \sqrt{6}, A = 30^{\circ}$ のとき辺bの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3 \sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2} \pm 1$ ， $\sqrt{3} \pm 1$ 上記以外
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ に代入 $2 = b^{2} + 6 - 2 \times b \times \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $b^{2} - 3 \sqrt{2} b + 4 = 0$ $(b - 2 \sqrt{2}) (b - \sqrt{2}) = 0$ （解の公式で解いてもよい） $b = \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$ （答は２つある）
５ $b = \sqrt{7}, c = 4, B = 30^{\circ}$ のとき辺aの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3 \sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2} \pm 1$ ， $\sqrt{3} \pm 1$ 上記以外
$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a \cos B$ に代入 $7 = 16 + a^{2} - 2 \times 4 \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $a^{2} - 4 \sqrt{3} a + 9 = 0$ $(a - 3 \sqrt{3}) (a - \sqrt{3}) = 0$ （解の公式で解いてもよい） $a = \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}$ （答は２つある）

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