余弦定理の２次方程式

■余弦定理の２次方程式

《解説》
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　２辺a, bの長さと角Aの大きさが与えられているとき，△ABCの他の要素を求める問題は，

により，正弦定理を用いて角Bを求めるのが第一手と考えるのが基本です.
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}$ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}$ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}$

□
　しかし，ここでは，２辺a, bの長さと角Aの大きさから辺cの長さを求める他の方法を紹介します.

a, b, Aが与えられているとき，
余弦定理　a2=b2+c2−2bccosA
を辺cについての２次方程式と見てcを求めることができます.
⇒　c2−(2b cos A)c+(b2−a2)=0

【例】
$a=2, b=\sqrt{6}, A=45^{\circ}$ のとき辺cの長さを求めなさい.

(答案)　
　角Ａを用いた余弦定理から２次方程式を作ると，
a2=b2+c2−2bc cosA
$4=6+ c^2-2\sqrt{6}\times c \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$c^2-2\sqrt{3}c + 2=0$ $ c^2-2\sqrt{3}c+2=0 $
解の公式から $c=\sqrt{3}\pm 1$ $ c=\sqrt{3}\pm 1 $・・・(答)

※２次方程式の解は，通常２個あります．
２つとも三角形の辺の長さを表しているか，1つだけが答となるかは，三角形ができるかどうかで判断します.
　もし，２次方程式の解が $c=1\pm \sqrt{3}$ となった場合には，
$c=1+ \sqrt{3}$ だけが答です.（ $c=1- \sqrt{3}(\lt 0)$ では三角形はできないからです.）

《問題》　△ABCにおいて次の問に答えなさい．（暗算では無理ですので別途計算用紙を使ってください）（各々右の選択肢をクリック）
１ a=7, b=5, A=60° のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $， $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $2\sqrt{2}$ $ \color{blue}{2\sqrt{2}} $ $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $または $3\sqrt{3}$ $ \color{blue}{3\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} $， $\sqrt{3}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} $ 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ $ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A $に代入 $49=25+ c^2-2\times 5\times c\times \frac{1}{2}$ c2−5c−24=0 (c−8)(c+3)=0 c=8, −3 c>0によりc=8
２ a=7, b=5, A=120° のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $， $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $2\sqrt{2}$ $ \color{blue}{2\sqrt{2}} $ $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $または $3\sqrt{3}$ $ \color{blue}{3\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} $， $\sqrt{3}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} $ 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ $ a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A $に代入 $49=25+ c^2-2\times 5\times c\times (-\frac{1}{2})$ c2+5c−24=0 (c+8)(c−3)=0 c=−8, 3 c>0によりc=3
３ $c=\sqrt{31},a=5,C=60^{\circ}$ $ c=\sqrt{31},a=5,C=60^{\circ} $ のとき辺bの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $， $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $2\sqrt{2}$ $ \color{blue}{2\sqrt{2}} $ $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $または $3\sqrt{3}$ $ \color{blue}{3\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} $， $\sqrt{3}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} $ 上記以外
$c^2=a^2+ b^2-2ab\cos C$ $ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C $に代入 $31=25+ b^2-2\times 5\times b\times \frac{1}{2}$ b2−5b−6=0 (b+1)(b−6)=0 b=−1, 6 b>0によりb=6
４ $a=\sqrt{2},c=\sqrt{6},A=30^{\circ}$ のとき辺bの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $， $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $2\sqrt{2}$ $ \color{blue}{2\sqrt{2}} $ $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $または $3\sqrt{3}$ $ \color{blue}{3\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} $， $\sqrt{3}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} $ 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ $ a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A $に代入 $2=b^2 + 6-2\times b\times \sqrt{6}\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $b^2-3\sqrt{2}b+ 4=0$ $ b^2-3\sqrt{2}b+ 4=0 $ $(b-2\sqrt{2})(b-\sqrt{2})=0$ $ (b-2\sqrt{2})(b-\sqrt{2})=0 $（解の公式で解いてもよい） $b=\sqrt{2},\hspace{5px}2\sqrt{2}$ $ b=\sqrt{2},\hspace{5px}2\sqrt{2} $（答は２つある）
５ $b=\sqrt{7},c=4,B=30^{\circ}$ $ b=\sqrt{7},c=4,B=30^{\circ} $ のとき辺aの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $， $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $2\sqrt{2}$ $ \color{blue}{2\sqrt{2}} $ $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $または $3\sqrt{3}$ $ \color{blue}{3\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}$ $ \color{blue}{\sqrt{2}} $または $\sqrt{3}$ $ \color{blue}{\sqrt{3}} $ $\sqrt{2}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} $， $\sqrt{3}\pm 1$ $ \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} $ 上記以外
$b^2=c^2+ a^2-2ca\cos B$ $ b^2=c^2+a^2-2ca\cos B $に代入 $7=16 + a^2-2\times 4\times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $a^2-4\sqrt{3}a+ 9=0$ $ a^2-4\sqrt{3}a+9=0 $ $(a-3\sqrt{3})(a-\sqrt{3})=0$ $ (a-3\sqrt{3})(a-\sqrt{3})=0 $（解の公式で解いてもよい） $a=\sqrt{3},3\sqrt{3}$ $ a=\sqrt{3},\hspace{5px}3\sqrt{3} $（答は２つある）

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《問題》　△ABCにおいて次の問に答えなさい．（暗算では無理ですので別途計算用紙を使ってください）（各々右の選択肢をクリック）
１ a=7, b=5, A=60° のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)， $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $2\sqrt{2}$ \( \color{blue}{2\sqrt{2}} \) $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \)または $3\sqrt{3}$ \( \color{blue}{3\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} \)， $\sqrt{3}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} \) 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ \( a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \)に代入 $49=25+ c^2-2\times 5\times c\times \frac{1}{2}$ c2−5c−24=0 (c−8)(c+3)=0 c=8, −3 c>0によりc=8
２ a=7, b=5, A=120° のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)， $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $2\sqrt{2}$ \( \color{blue}{2\sqrt{2}} \) $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \)または $3\sqrt{3}$ \( \color{blue}{3\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} \)， $\sqrt{3}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} \) 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ \( a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A \)に代入 $49=25+ c^2-2\times 5\times c\times (-\frac{1}{2})$ c2+5c−24=0 (c+8)(c−3)=0 c=−8, 3 c>0によりc=3
３ $c=\sqrt{31},a=5,C=60^{\circ}$ \( c=\sqrt{31},a=5,C=60^{\circ} \) のとき辺bの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)， $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $2\sqrt{2}$ \( \color{blue}{2\sqrt{2}} \) $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \)または $3\sqrt{3}$ \( \color{blue}{3\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} \)， $\sqrt{3}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} \) 上記以外
$c^2=a^2+ b^2-2ab\cos C$ \( c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \)に代入 $31=25+ b^2-2\times 5\times b\times \frac{1}{2}$ b2−5b−6=0 (b+1)(b−6)=0 b=−1, 6 b>0によりb=6
４ $a=\sqrt{2},c=\sqrt{6},A=30^{\circ}$ のとき辺bの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)， $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $2\sqrt{2}$ \( \color{blue}{2\sqrt{2}} \) $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \)または $3\sqrt{3}$ \( \color{blue}{3\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} \)， $\sqrt{3}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} \) 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ \( a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A \)に代入 $2=b^2 + 6-2\times b\times \sqrt{6}\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $b^2-3\sqrt{2}b+ 4=0$ \( b^2-3\sqrt{2}b+ 4=0 \) $(b-2\sqrt{2})(b-\sqrt{2})=0$ \( (b-2\sqrt{2})(b-\sqrt{2})=0 \)（解の公式で解いてもよい） $b=\sqrt{2},\hspace{5px}2\sqrt{2}$ \( b=\sqrt{2},\hspace{5px}2\sqrt{2} \)（答は２つある）
５ $b=\sqrt{7},c=4,B=30^{\circ}$ \( b=\sqrt{7},c=4,B=30^{\circ} \) のとき辺aの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)， $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $2\sqrt{2}$ \( \color{blue}{2\sqrt{2}} \) $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \)または $3\sqrt{3}$ \( \color{blue}{3\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}$ \( \color{blue}{\sqrt{2}} \)または $\sqrt{3}$ \( \color{blue}{\sqrt{3}} \) $\sqrt{2}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{2}\pm 1} \)， $\sqrt{3}\pm 1$ \( \color{blue}{\sqrt{3}\pm 1} \) 上記以外
$b^2=c^2+ a^2-2ca\cos B$ \( b^2=c^2+a^2-2ca\cos B \)に代入 $7=16 + a^2-2\times 4\times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $a^2-4\sqrt{3}a+ 9=0$ \( a^2-4\sqrt{3}a+9=0 \) $(a-3\sqrt{3})(a-\sqrt{3})=0$ \( (a-3\sqrt{3})(a-\sqrt{3})=0 \)（解の公式で解いてもよい） $a=\sqrt{3},3\sqrt{3}$ \( a=\sqrt{3},\hspace{5px}3\sqrt{3} \)（答は２つある）