最大角，最小角

　△ＡＢＣの３辺がＢＣ＝ｘ²-ｘ+1，ＣＡ＝x²-2x，AB=2ｘ-1で表されている.
(1)　３つの辺の大小関係を調べよ.

(1)

(備考)
三角形の成立条件

　ａ＞0・・・(1)
　ｂ＞0・・・(2)
　ｃ＞0・・・(3)
　ａ＋ｂ＞ｃ・・・(4)
　ｂ＋ｃ＞ａ・・・(5)
　ｃ＋ａ＞ｂ・・・(6)

のうち，(4)(5)(6)から(1)(2)(3)が導かれるので，（例えば(4)(5)の辺々を加えるとｃ＞0となり(3)を得るなど）
三角形の成立条件としては(4)(5)(6)で必要十分です.

　三角形の成立条件より
（ｘ²-ｘ+1）＋（x²-2x）＞（2ｘ-1）・・<1>
（x²-2x）＋（2ｘ-1）＞（ｘ²-ｘ+1）・・<2>
（2ｘ-1）＋（ｘ²-ｘ+1）＞（x²-2x）・・<3>
<1><2><3>よりｘ＞2
このとき，
(ｘ²-ｘ+1)-(x²-2x)＝ｘ＋1＞0
（x²-2x）-（2ｘ-1）＝x²-4x+1の符号から
　２＜ｘ＜２＋√3のとき（x²-2x）＜（2ｘ-1）
　２＋√3＜ｘのとき（2ｘ-1）＜（x²-2x）
（ｘ²-ｘ+1）-（2ｘ-1）＝ｘ2-3ｘ+2＝(ｘ-1)(ｘ-2)＞0
以上より
2＜ｘ＜2+√3のとき
（x²-2x）＜（2ｘ-1）＜（ｘ²-ｘ+1）
ｘ＝2+√3のとき
（x²-2x）＜（2ｘ-1）＝（ｘ²-ｘ+1）
2＋√3＜ｘのとき
（2ｘ-1）＜（x²-2x）＜（ｘ²-ｘ+1）

《問題1》　　三角形の３辺の長さが，次のように与えられているとき，この三角形の最大角を求めなさい.
(1) 　１７，１５，８	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
cosA= ==0⇒A=90°
(2) 　５，１６，１９	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
cosC= = = − ⇒ C=120°
(3) 　３５，４３，１３	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
cosB= = = − ⇒ B=120°
(4) 　 $1$ \( 1 \)， $\sqrt{2}$ \( \sqrt{2} \)， $\sqrt{5}$ \( \sqrt{5} \)	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
cosC= = = − ⇒ C=135°

《問題２》　　三角形の３辺の長さが，次のように与えられているとき，この三角形の最小角を求めなさい.
(1) 　 $3\sqrt{3}$ \( 3\sqrt{3} \)， $\sqrt{7}$ \( \sqrt{7} \)， $4$ \( 4 \)	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
cosB= = ⇒ B=30°
(2) 　 $3+ \sqrt{3}$ \( 3+ \sqrt{3} \), $2\sqrt{3}$ \( 2\sqrt{3} \), $3\sqrt{2}$ \( 3\sqrt{2} \)	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
cosB= = = ⇒ B=45°

《問題３》 1 　△ＡＢＣにおいて，sinＡ：sinＢ：sinC＝５：６：７とする.最大角をθとするとき，cosθ＝［　　］である. （日本工大入試問題からの引用）	左の空欄を埋めると， $\frac{1}{3}$ \( \dfrac{1}{3} \) $\frac{2}{3}$ \( \dfrac{2}{3} \) $\frac{1}{5}$ \( \dfrac{1}{5} \) $\frac{2}{5}$ \( \dfrac{2}{5} \) $\frac{3}{5}$ \( \dfrac{3}{5} \) $\frac{4}{5}$ \( \dfrac{4}{5} \)
cosθ=cosC= = =
2 　三角形の３つの高さを各々４，９，６とするとき，最小角の余弦は.	左の空欄を埋めると， $\frac{5}{13}$ \( \dfrac{5}{13} \) $\frac{14}{27}$ \( \dfrac{14}{27} \) $\frac{29}{54}$ \( \dfrac{29}{54} \) $\frac{101}{108}$ \( \dfrac{101}{108} \)

3 　△ＡＢＣの３辺がＢＣ＝ｘ²-ｘ+1，ＣＡ＝x²-2x，AB=2ｘ-1で表されている. (1)　３つの辺の大小関係を調べよ. (1) (備考) 三角形の成立条件　ａ＞0・・・(1) 　ｂ＞0・・・(2) 　ｃ＞0・・・(3) 　ａ＋ｂ＞ｃ・・・(4) 　ｂ＋ｃ＞ａ・・・(5) 　ｃ＋ａ＞ｂ・・・(6) のうち，(4)(5)(6)から(1)(2)(3)が導かれるので，（例えば(4)(5)の辺々を加えるとｃ＞0となり(3)を得るなど）三角形の成立条件としては(4)(5)(6)で必要十分です. 　三角形の成立条件より（ｘ²-ｘ+1）＋（x²-2x）＞（2ｘ-1）・・<1> （x²-2x）＋（2ｘ-1）＞（ｘ²-ｘ+1）・・<2> （2ｘ-1）＋（ｘ²-ｘ+1）＞（x²-2x）・・<3> <1><2><3>よりｘ＞2 このとき， (ｘ²-ｘ+1)-(x²-2x)＝ｘ＋1＞0 （x²-2x）-（2ｘ-1）＝x²-4x+1の符号から　２＜ｘ＜２＋√3のとき（x²-2x）＜（2ｘ-1）　２＋√3＜ｘのとき（2ｘ-1）＜（x²-2x）（ｘ²-ｘ+1）-（2ｘ-1）＝ｘ2-3ｘ+2＝(ｘ-1)(ｘ-2)＞0 以上より 2＜ｘ＜2+√3のとき（x²-2x）＜（2ｘ-1）＜（ｘ²-ｘ+1）ｘ＝2+√3のとき（x²-2x）＜（2ｘ-1）＝（ｘ²-ｘ+1） 2＋√3＜ｘのとき（2ｘ-1）＜（x²-2x）＜（ｘ²-ｘ+1） (2)　△ＡＢＣの最大の内角はいくらか. （静岡大入試問題からの一部引用） 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

4 　３辺の長さがx²+2x+4，x²-4，4x+4である三角形の最大角を求めよ. （桃山学院大学入試問題からの引用）	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°