余弦定理

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≪余弦定理≫（解説）

***■はじめに***…この頁を学習すると、何ができるようになるのか

■三平方の定理の拡張…（中学校の数学との関係）

図1

　右図1のような直角三角形については、 a2=b2+c2 …（1）が成り立ちます。（三平方の定理）
　では、図2のように∠Aが90°でないときには、この定理はどんな形になるのでしょうか。

図2

　図2のようにb , cの値が変わらずに、∠Aが90°よりも小さくなると、図1のときと比べてaの値は小さくなるはずです。 a2=b2+c2−|??| …（2）　また、∠Aが90°よりも大きくなると、図1のときと比べてaの値は大きくなるはずです。 a2=b2+c2+|??| …（3）　この頁を学習すると、|??|に入る式が分かり、直角三角形でない場合でも第3の辺aの長さを求めることができるようになります。

■三角形の合同条件・決定条件との関係…（中学校の数学との関係）

図3

　図3、図4のような三角形において、二辺（b , c）とその間の角（A）が与えられると三角形は決まります。（三角形の合同条件・決定条件）

図4

　中学校ではこの「決まる」という定性的な性質までを習いますが、ではそれは「幾ら」になるのかという定量的な取り扱いまでは行いません。
　この頁を学習すると、二辺（b , c）とその間の角（A）から第3の辺（a）の長さを計算で求めることができるようになります。

図5

　三角形の合同条件・決定条件には、この他「3辺が与えられると三角形は決まる」というのもあります。
　これによれば、3辺の長さが与えられれば、3つの角度もすべて決まるはずですので、「3辺の長さ」→「3つの角の大きさ」という計算ができるはずになります。
　この頁を学習すると、「3辺の長さ」から「3つの角の大きさ」を計算することができるようになります。

（参考）
　余弦定理において、∠A>90°のとき a2=b2+c2+|??| …（3）の+|??|の部分は、次のように足し算になります。

　例えば、上の【例1】においてA=120°のとき、cosA=−1/2になりますので、

　a2=52+32−2×5×3× (−1/2)
　　　=52+32+15

***■１***　余弦定理

　△ABCについて次の関係式が成り立ちます。

a2=b2+c2−2bc cosA …(A) b2=c2+a2−2ca cosB …(B) c2=a2+b2−2ab cosC …(C)

※ (A)だけ覚えればよく、残り2つはお互いの関係から分かります。 (自分)2=(他人)2+(他人)2−2(他人)(他人) cos親子

【例1】
b=5, c=3 , A=120°のとき、aを求めるには
a2=52+32−2×5×3× cos120°=49
a=7 (>0) …（答）

【余弦定理(A)の証明】

b, c , Aが与えられているとき、直角三角形AHCの3辺の長さが求まるので、HB , HCの値から三平方の定理を使って BCを求めます。

図6

　図6において、頂点Cから辺ABに引いた垂線をCHとする。
　△AHCは直角三角形だから、
　　

　→ CH=b sinA
　　

　→ AH=b cosA → BH=c−b cosA
　△BCHは直角三角形だから、三平方の定理により
　　a2=(b sinA)2+(c−b cosA)2
　　　=b2sin2A+c2−2bc cosA+b2cos2A
　　　=b2(sin2A+cos2A)+c2−2bc cosA
　　　=b2+c2−2bc cosA

∠Aが90°よりも大きいときは、上の証明でcosA<0となるが同様にして示すことができます。また、∠A=90°のときは、cosA=0となり、三平方の定理によりa2=b2+c2が成り立ちます。■
(B)(C)についても同様にして示されます。

【例2】
　△ABCにおいて、b=2 , c=3 , A=60°のとき、aを求めてください。

（解答）
　a2=22+32−12 cos60°=4+9−6=7

　これはまだ答ではありません！
余弦定理から出てくるのはa2の値なので、その正の平方根を求めて答にします。

　a= (>0) …（答）

【例3】
　△ABCにおいて、a=7 , b=8 , C=120°のとき、cを求めてください。

（解答）
　c2=82+72−2·56 cos120°=169
　c=13 (>0) …（答）

【余弦定理を理解するために前提となる事柄】
　「余弦」とは三角関数のうちのcosθの値のことで、余弦定理を使うためには0°～180°の余弦の値が言えなければなりません。
　実際に、宙で暗記して言えなければならなのは次の9つの値だけです。

θ	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
cosθ	1				0	−	−	−	−1

■（正弦定理と余弦定理の見分け方）
　この問題だけを見れば「公式に当てはめるだけ」に見えますが、範囲が広くなると「正弦定理」「余弦定理」のどちらに当てはめるのか迷ってしまう場合があります。
　次のような「作戦盤」を書いて、上下（辺と角）１組が分かっていれば「正弦定理」で解けます。辺と角が１つもそろわなければ「余弦定理」で解けます。
（「作戦盤」というのはここだけの話で、答案に表を書くのは構いませんが「作戦盤」という言葉を書くと笑われます。）

a	b	c
A	B	C

この問題では、辺と角が１つもそろわないので「余弦定理」を使います。

【問題１】　次の各問に答えてください．（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
△ABCにおいて， $b=2,\hspace{5}c=1,\hspace{5}A=60^{\circ}$ のとき，aを求めてください．

解説やり直す

$1$ $\sqrt{3}$ $2$ $2\sqrt{3}$

$a^2=2^2+ 1^2-2\times 2\times 1\times\cos 60^{\circ}$
$=4+ 1-2\times 2\times 1\times\frac{1}{2}=3$
$a=\sqrt{3}\hspace{1}(\gt 0)$ …（答）

→閉じる←

(2)
△ABCにおいて， $a=3\sqrt{2},\hspace{5}b=3,\hspace{5}C=45^{\circ}$ のとき，cを求めてください．

解説やり直す

$3$ $2\sqrt{3}$ $3\sqrt{3}$ $3\sqrt{6}$

$c^2=(3\sqrt{2})^2+ 3^2-2\times 3\sqrt{2}\times 3\times\cos 45^{\circ}$
$=18+ 9-2\times 3\sqrt{2}\times 3\times\frac{1}{\sqrt{2}}=9$
$c=3\hspace{1}(\gt 0)$ …（答）

→閉じる←

(3)
△ABCにおいて， $c=3,\hspace{5}a=3\sqrt{3},\hspace{5}B=30^{\circ}$ のとき，bを求めてください．

解説やり直す

$3$ $2\sqrt{3}$ $3\sqrt{3}$ $6\sqrt{3}$

$b^2=3^2+ (3\sqrt{3})^2-2\times 3\times 3\sqrt{3}\times\cos 30^{\circ}$
$=9+ 27-2\times 3\sqrt{3}\times 3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=9$
$b=3\hspace{1}(\gt 0)$ …（答）

→閉じる←

(4)
△ABCにおいて， $a=1+\sqrt{3},\hspace{5}c=2,\hspace{5}B=30^{\circ}$ のとき，bを求めてください．

解説やり直す

$1$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$

$b^2=(1+\sqrt{3})^2+ 2^2-2\times (1+\sqrt{3})\times 2\times\cos 30^{\circ}$
$=4+ 2\sqrt{3}+ 4-2\times (1+\sqrt{3})\times 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=8+ 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-6=2$
$b=\sqrt{2}\hspace{1}(\gt 0)$ …（答）

→閉じる←

***■２***　3辺の長さから3つの角を求めるには

　a2=b2+c2−2bc cosAという関係式が成り立つときに、この式をb , c , Aが分かっているときにaを求める： a2=b2+c2−2bc cosA という使い方に限られるわけではありません。
　余弦定理を変形すれば、b , c , aが分かっているときにAを求めるという使い方もできます： a2=b2+c2−2bc cosA

この式をよく見ると、「右辺は辺の長さだけ」でできており、左辺は角度だけでできています。
したがって、この式を利用すると「3辺の長さ」から、「角A」を求めることができます。
（正確には、角AそのものではなくcosAが求まりますが、cosAが分かれば（三角関数表があればAが求まります。）

　同様にして(B)(C)を変形すれば、B , Cが求まりますので、次にようにまとめることができます。

【余弦定理】（の変形）
　△ABCについて次の関係式が成り立ちます。

…(A’)

…(B’)

…(C’)

※ (A’)だけ覚えればよく、残り2つはお互いの関係から分かります。すべて、

の形をしています。

【例4】
　△ABCにおいて、a=8 , b=7 , c=5のとき、Bを求めてください。

「作戦盤」

a	b	c
A	B	C

この問題では、辺と角が１つもそろわないので「余弦定理」を使います。

（解答）
　

　B=60° …（答）

※ cosθは0°から180°まですべて異なる値になりますので、cosθからθを求めるとただ1つの値に決まります。

【例5】
　△ABCにおいて、a=, b=, c=のとき、Cを求めてください。

「作戦盤」

a	b	c
A	B	C

この問題では、辺と角が１つもそろわないので「余弦定理」を使います。

（解答）
　

　C=90° …（答）

【問題２】　次の各問に答えてください．（暗算では無理です．計算用紙で十分計算してから，選択肢をクリック）

(1)
△ABCにおいて， $a=\sqrt{6},\hspace{5}b=2,\hspace{5}c=1+\sqrt{3}$ のとき，Aを求めてください．

解説やり直す

30° 45° 60° 90°

$\cos A=\frac{2^2+(1+ \sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2}{2\times 2\times(1+ \sqrt{3})}=\frac{4+ 4+ 2\sqrt{3}-6}{4(1+ \sqrt{3})}$
$=\frac{2(1+ \sqrt{3})}{4(1+ \sqrt{3})}=\frac{1}{2}$
A=60°…（答）

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(2)
△ABCにおいて， $a=\sqrt{3},\hspace{5}b=\sqrt{6},\hspace{5}c=\sqrt{15}$ のとき，Cを求めてください．

解説やり直す

90° 120° 135° 150°

$\cos C=\frac{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2-(\sqrt{15})^2}{2\times\sqrt{3}\times\sqrt{6}}=\frac{3+ 6-15}{6\sqrt{2}}$
$=\frac{-6}{6\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
C=135°…（答）

→閉じる←

(3)
△ABCにおいて， $a=7,\hspace{5}b=5,\hspace{5}c=3$ のとき，Aを求めてください．

解説やり直す

90° 120° 135° 150°

$\cos A=\frac{5^2+ 3^2-7^2}{2\times 5\times 3}=\frac{25+ 9-49}{30}$
$=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$
A=120°…（答）

→閉じる←

(4)
△ABCにおいて， $a=\sqrt{2},\hspace{5}b=2,\hspace{5}c=1+\sqrt{3}$ のとき，Bを求めてください．

解説やり直す

30° 45° 60° 90°

$\cos B=\frac{(\sqrt{2})^2+ (1+\sqrt{3})^2-2^2}{2\times\sqrt{2}\times (1+\sqrt{3})}=\frac{2+ 4+ 2\sqrt{3}-4}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}$
$=\frac{2+ 2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}=\frac{2(1+\sqrt{3})}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
A=45°…（答）

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***■３***　余弦定理を2次方程式として使うには

a2=b2+c2−2bc cosAという関係が成り立つとき、a , b , Aが分かっているときにこれを、cの2次方程式として解くことができます。

【例6】
　△ABCにおいて、a=7 , b=5 , A=60°のとき、cを求めてください。

（解答）
　72=52+c2−2×5c cos60°
　c2−5c−24=0
　(c−8)(c+3)=0
　c=8 (>0) …（答）

この問題に対して「作戦盤」を作ると次のようになり、aとAで辺と角がそろうので、「正弦定理」でBが求められますが、それ以外にここで行ったような「余弦定理の2次方程式」という切り込み方があるということです。

a	b	c
A	B	C

【例7】
　△ABCにおいて、a=2 , b=2 , A=30°のとき、cを求めてください。

「作戦盤」

a	b	c
A	B	C

（解答）
　

　c2−6c+8=0
　(c−4)(c−2)=0
　c=4 , 2 …（答）
（この問題で、正弦定理を用いてBを求めても、解は2つ出ます。）

■1辺とその両端の角が与えられた問題
　三角形の合同条件・決定条件は3つあります：

(1) 3辺が与えられたとき
(2) 2辺とその間の角が与えられたとき
(3) 1辺とその両端の角が与えられたとき

(1)(2)は、上に述べたように（はじめの一歩は）余弦定理で解くことができます。

a	b	c
A	B	C

　(3)は右図のような場合で、作戦盤を書くと2つの角度が分かっていることになります。このような場合には高校で習う「正弦定理」や「余弦定理」以前の解き方があり、中学で習う三角形の内角の和の公式 A+B+C=180° A=180°−B−C を使えば、残り1つの角は即答できることになります。

【特急券あり型】
　角が2つ分かっている　⇒　残り1つは即答できます

（参考）
　「2辺とその間にない角が与えられたとき」は、三角形の合同条件・決定条件に対応していません。
　右図のようにa , b , Aが与えられたとき、これらの値によっては三角形が2つ描けることがあります。そこで、次のような作戦盤になるときは解が２つになることがあります。

a	b	c
A	B	C

a	b	c
A	B	C

【問題３】　次の各問に答えてください．（暗算では無理です．計算用紙で十分計算してから，選択肢をクリック）

(1)
△ABCにおいて， $b=\sqrt{3},\hspace{5}c=1,\hspace{5}B=60^{\circ}$ のとき，aを求めてください．

解説やり直す

1 2 3 4

$b^2=a^2+ c^2-2ac\cos B$ に代入すると
$3=a^2+ 1-2a\times\frac{1}{2}$
$a^2-a-2=0$
(a−2)(a+1)=0
a=2 (>0)…（答）
※この問題は，１組の辺と角（b, B）が与えられているので，正弦定理でも解けます．

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(2)
△ABCにおいて，b=5, a=7, A=120°のとき，cを求めてください．

解説やり直す

1 2 3 4

$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ に代入すると
$49=25+ c^2-10c\times(-\frac{1}{2})$
c2+5c−24=0
(c+8)(c−3)=0
c=3 (>0)…（答）
※この問題は，１組の辺と角（a, A）が与えられているので，正弦定理でも解けます．

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／18.7.14］

いつもお世話になっております。【問題３】の(2)ですが正弦定理のみで解けますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．無前提に「正弦定理のみで解けますか？」と尋ねられれば，解けますと答えますが，「数学Ⅰの正弦定理のみで解けますか？」と尋ねられれば，無理ですと答えます．たぶん，BからCを求めるために数学Ⅱの加法定理(*)が必要になります．そのような迂遠なことをしなくても，余弦定理で一発解決なので，余弦定理の方がよいでしょう．

次の作戦盤に沿って，順に求めます．(　)内は既知
$(a)\hspace{24}(b)\hspace{24}c$
$(A)\rightarrow B\rightarrow\overset{\uparrow}{C}$
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$
により
$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{\sin B}\rightarrow\sin B=\frac{5\sqrt{3}}{14}$
次に
$A+ B+ C=180^{\circ}$
だから
$C=60^{\circ}-B\hspace{3}(0\lt B,\hspace{3}C \lt 60^{\circ})$ …(*)
$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$
により
$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{\sin (60^{\circ}-B)}$
したがって
$c=7\times\frac{2}{\sqrt{3}}\times\sin(60^{\circ}-B)$
加法定理
$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$
と三角関数の相互関係
$\cos B=\sqrt{1-\sin^2 B}\hspace{3}(\gt 0)$ を使うと… ←(*)
$c=7\times\frac{2}{\sqrt{3}}\times(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B-\frac{1}{2}\sin B)$
$c=7\times\frac{2}{\sqrt{3}}\times(\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{11}{14}-\frac{1}{2}\times\frac{5\sqrt{3}}{14})=3$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／18.3.28］

今晩は　余弦定理、【問題２】(4) △ABCにおいて，a=√2 B=2 C=1+√3のとき，Bを求めてください．解説に誤植がありました。　二番目の式の分子が、　　2+4＋√3-4になっていますが、2+4＋2√3-4が正しいと思います。　2018.03.28　平　凡太郎
＝＞［作者］：連絡ありがとう．先日書き換えたときに点検不十分だったようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／18.3.25］

いつも数学の勉強で，お世話になっております。　余弦定理　問題1の(4) △ABCにおいて，a=1+√3,c=2のとき，bを求めてください．解説では、(1+)と3√3で違っています。 2018.03.25　HN 平　凡太郎(たいら　ぼんたろう)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．書きかけの原稿のままになっていましたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／17.12.29］

三辺の長さが解って角度を出したいと思ったのですがこの式をそのまま自分の思い描いている式と答えを出すにはだいぶ時間がかかると思いますが少しだけ理解できたのかもしれません　ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／17.4.27］

レイアウトが段組みなのか、図が隣にあるだけなのか、わかりづらいときがある。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[余弦定理について／17.3.18］

最後の「（参考）」内の「右図のようにa , c , Aが与えられたとき」は「右図のようにb , c , Aが与えられたとき」として「a」が2つある場合とした方が理に適っているのでは？もしくは図のaとcの位置が逆である。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図と文章のつじつまが合っていませんでしたので訂正しました．

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