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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「三角比と図形」（正弦定理，余弦定理など）について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓正弦定理（解説）
↓正弦定理（問題）
↓分数型の方程式
↓余弦定理（解説）
↓三辺→角
↓余弦定理の2次方程式
↓筆算だけで解く問題(1)
↓筆算だけで解く問題(2)
↓最大角・最小角
↓ヘロンの公式
↓内接円の半径
↓形状問題
↓証明問題
↓三角形を解く
↓センター問題(1)
↓センター問題(2)
センター問題(3)

【例】
△ABCについて，a=bcosC+ccosBが成立することを証明しなさい．

(答案)・・・教科書などで証明済みの「正弦定理」や「余弦定理」を用いて，左辺と右辺が等しいことを示せばよい．
（右辺）＝＝＝＝ａ＝（左辺）

正しいと思う選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．選択肢をクリックしなければ，解説は出ません．
正答の場合の採点結果⇒
誤答の場合の採点結果⇒

$a(\sin B+\sin C)$ $c({\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B)$ $(b-c)\sin A+(c-a)\sin B+(a-b)\sin C$ $a(\cos B-\cos C)$ ${\displaystyle \frac{c\cos B}{b}}-{\displaystyle \frac{c\cos A}{a}}$ $a(b\cos C-c\cos B)$ $a^2+b^2+c^2$ $a\cos A\sin C$ ${\displaystyle \frac{a-c\cos B}{b-c\cos A}}$ ${\displaystyle \frac{\tan B}{\tan C}}$ * * END * *

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ ${\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{b}{a}}$ ${\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{a^2-b^2+c^2}}$

${\displaystyle (b+c)\sin A}$ ${\displaystyle \sin C(a\sin A+b\sin B)}$

${\displaystyle \frac{\sin B}{\sin A}}$ ${\displaystyle 2(bc\cos A+ca\cos B+ab\cos C)}$

${\displaystyle (b-a\cos C)\sin A}$ ${\displaystyle (c-b)(1+\cos A)}$

a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

${\displaystyle a(\sin B+\sin C)}$
${\displaystyle =a(\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R})=\frac{a(b+c)}{2R}}$

${\displaystyle (b+c)\sin A}$
${\displaystyle =(b+c)\frac{a}{2R}=\frac{a(b+c)}{2R}}$
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

${\displaystyle c({\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B)}$
${\displaystyle =c\{(\frac{a}{2R}{)}^2+(\frac{b}{2R}{)}^2\}=\frac{c(a^2+b^2)}{4R^2}}$

${\displaystyle \sin C(a\sin A+b\sin B)}$
${\displaystyle =\frac{c}{2R}(a\times \frac{a}{2R}+b\times \frac{b}{2R})=\frac{c(a^2+b^2)}{4R^2}}$
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

${\displaystyle (b-c)\sin A+(c-a)\sin B+(a-b)\sin C}$
${\displaystyle =(b-c)\times \frac{a}{2R}+(c-a)\times \frac{b}{2R}+(a-b)\times \frac{c}{2R}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2R}(\cancel{ab}-\bcancel{ac}+\xcancel{bc}-\cancel{ab}+\bcancel{ac}-\xcancel{bc})}$

=$0$
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

${\displaystyle a(\cos B-\cos C)}$
${\displaystyle =\cancel{a}(\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cancel{a}c}-\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cancel{a}b})}$
${\displaystyle =\frac{b(a^2+c^2-b^2)-c(a^2+b^2-c^2)}{2bc}}$
${\displaystyle =\frac{a^{2}b+b{c}^2-b^3-a^{2}c-b^{2}c+c^3}{2bc}}$

${\displaystyle (c-b)(1+\cos A)}$
${\displaystyle =(c-b)(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})}$
${\displaystyle =(c-b)\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}}$
${\displaystyle =\frac{2b{c}^2+b^{2}c+c^3-a^{2}c-2b^{2}c-b^3-b{c}^2+a^{2}b}{2bc}}$
${\displaystyle =\frac{b{c}^2+c^3-a^{2}c-b^{2}c-b^3+a^{2}b}{2bc}}$
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

※この問題は，計算がやや込み入ったものになっている →解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

${\displaystyle \frac{c\cos B}{b}-\frac{c\cos A}{a}}$
${\displaystyle =\frac{\cancel{c}}{b}\times \frac{a^2+c^2-b^2}{2a\cancel{c}}-\frac{\cancel{c}}{a}\times \frac{b^2+c^2-a^2}{2b\cancel{c}}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2ab}(a^2+\bcancel{c^2}-b^2-b^2-\bcancel{c^2}+a^2)}$
${\displaystyle =\frac{1}{2ab}\{2(a^2-b^2)\}}$
${\displaystyle =\frac{a^2-b^2}{ab}}$

=${\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{b}{a}}$
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

${\displaystyle a(b\cos C-c\cos B)}$
${\displaystyle =a(b\times \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-c\times \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})}$
${\displaystyle =\frac{a^2+b^2-c^2}{2}-\frac{a^2+c^2-b^2}{2}}$

=$b^2-c^2$
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

${\displaystyle 2(bc\cos A+ca\cos B+ab\cos C)}$
${\displaystyle =2(bc\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+ca\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+ab\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})}$
$b^2+c^2-a^2+a^2+c^2-b^2+a^2+b^2-c^2$

=$a^2+b^2+c^2$
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

${\displaystyle a\cos A\sin C}$
${\displaystyle =a\times \frac{b^2+c^2-a^2}{2\cancel{b}c}\times \frac{\cancel{c}}{2R}}$
${\displaystyle =\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{4bR}}$

${\displaystyle (b-a\cos C)\sin A}$
${\displaystyle =(b-\bcancel{a}\times \frac{a^2+b^2-c^2}{2\bcancel{a}b})\times \frac{a}{2R}}$
${\displaystyle =(\frac{2b^2-a^2-b^2+c^2}{2b})\times \frac{a}{2R}}$
${\displaystyle =(\frac{b^2-a^2+c^2}{2b})\times \frac{a}{2R}}$
${\displaystyle =\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{4bR}}$
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい． →解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

${\displaystyle \frac{a-c\cos B}{b-c\cos A}}$${\displaystyle =\frac{a-\cancel{c}\times {\displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2a\cancel{c}}}}{b-\cancel{c}\times {\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2b\cancel{c}}}}}$
${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \frac{2a^2-a^2-c^2+b^2}{2a}}}{{\displaystyle \frac{2b^2-b^2-c^2+a^2}{2b}}}}$ ${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \frac{a^2-c^2+b^2}{2a}}}{{\displaystyle \frac{b^2-c^2+a^2}{2b}}}}$
${\displaystyle =\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\times \frac{2b}{a^2+b^2-c^2}}$${\displaystyle =\frac{b}{a}}$

${\displaystyle \frac{\sin B}{\sin A}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \frac{b}{2R}}}{{\displaystyle \frac{a}{2R}}}}$${\displaystyle =\frac{b}{2R}\times \frac{2R}{a}}$${\displaystyle =\frac{b}{a}}$
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい． →解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

${\displaystyle \frac{\tan B}{\tan C}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \frac{\sin B}{\cos B}}}{{\displaystyle \frac{\sin C}{\cos C}}}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \frac{b}{\cancel{2}R}}\times {\displaystyle \frac{\cancel{2}ac}{a^2+c^2-b^2}}}{{\displaystyle \frac{c}{\cancel{2}R}}\times {\displaystyle \frac{\cancel{2}ab}{a^2+b^2-c^2}}}}$
${\displaystyle =\frac{abc}{R(a^2+c^2-b^2)}\times \frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}}$

=${\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{a^2-b^2+c^2}}$
したがって，上記の　で示した２つの式は等しい． →解説を隠す←