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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「三角比と図形」（正弦定理，余弦定理など）について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓正弦定理（解説）
↓正弦定理（問題）
↓分数型の方程式
↓余弦定理（解説）
↓三辺→角
↓余弦定理の2次方程式
↓筆算だけで解く問題(1)
↓筆算だけで解く問題(2)
↓最大角・最小角
↓ヘロンの公式
↓内接円の半径
↓形状問題
↓証明問題
↓三角形を解く
↓センター問題(1)
↓センター問題(2)
センター問題(3)

【問題6-1】
　△ABCにおいて，$a=\sqrt{6}-\sqrt{2},b=2,c=2\sqrt{2}$のとき，Aを求めてください．

a	b	c
A	B	C

　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていない」かつ「角度が１つも書いてない」とき「余弦定理の変形型」を考える
　だたし，この問題ではcosAの値が，よく知られた値にならないので，B, Cの値から迂回して求めることを考える．
$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{8+(8-4\sqrt{3})-4}{2\times 2\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{12-4\sqrt{3}}{8(\sqrt{3}-1)}$
$={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3})}{8(\sqrt{3}-1)}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
B=30°
$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{(8-4\sqrt{3})+4-8}{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})\times 2}=\frac{4(1-\sqrt{3})}{4\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}$
$=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
C=135°
A=180°−(A+C)=180°−165°=15°･･･(答)
→解答を隠す←

【問題6-2】
　△ABCにおいて，$a=\sqrt{6},b=\sqrt{3}+1$, c=2のとき，Bを求めてください．

a	b	c
A	B	C

　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていない」かつ「角度が１つも書いてない」とき「余弦定理の変形型」を考える
　だたし，この問題ではcosBの値が，よく知られた値にならないので，A, Cの値から迂回して求めることを考える．
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{(4+2\sqrt{3})+4-6}{2(\sqrt{3}+1)\times 2}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{4(\sqrt{3}+1)}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}$
A=60°
$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{6+(4+2\sqrt{3})-4}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)}$
$={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
C=45°
B=180°−(A+B)=180°−105°=75°･･･(答)
→解答を隠す←

【例題7】
　△ABCにおいて，a=2, $c=\sqrt{3}+1$, A=45°のとき，bを求めてください．

【問題7-1】
　△ABCにおいて，a=2, $b=\sqrt{2}$, B=30°のとき，cを求めてください．

a	b	c
A	B	C

　右のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（Aが求まる）というのが正弦定理の使い方の基本であるが，問題で求めたいものがAではなくてcである場合
　(3.1)で述べたように，角Bを使った余弦定理をcの２次方程式として解くことができる
$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
$2=c^2+4-2c\times 2\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$c^2-2\sqrt{3}c+2=0$
$c=\sqrt{3}\pm 1$･･･（答）
→解答を隠す←

【問題7-2】
　△ABCにおいて，b=6, $c=3\sqrt{2}$, B=135°のとき，aを求めてください．

a	b	c
A	B	C

　右のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（Cが求まる）というのが正弦定理の使い方の基本であるが，問題で求めたいものがCではなくてaである場合
　(3.1)で述べたように，角Bを使った余弦定理をaの２次方程式として解くことができる
$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
$36=18+a^2-2\times 3\sqrt{2}a\times (-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$
$a^2+6a-18=0$
$a=-3\pm 3\sqrt{3}$
$a=3(\sqrt{3}-1)(>0)$･･･（答）
→解答を隠す←

【例題8】
　△ABCにおいて，a=4, A=75°, B=45°のとき，bを求めてください．

【問題8-1】
　△ABCにおいて，$c=\sqrt{3}+1$, B=45°, C=105°のとき，aを求めてください．

a	b	c
A	B	C

　右のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（bが求まる）というのが正弦定理の使い方の基本であるが，C=105°は使いにくい（少なくとも数学Ⅰでは覚えない）
　a, bを未知数として連立方程式を解いてもよい．
A+B+C=180°だからA=30°
正弦定理を用いると
${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}$
${\displaystyle \frac{a}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{b}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$
$b=\sqrt{2}a$･･･(#1)
角Bを使った余弦定理を用いると
$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
$b^2=(4+2\sqrt{3})+a^2-2a(\sqrt{3}+1)\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$
$b^2=a^2-\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)a+(4+2\sqrt{3})$･･･(#2)
(#1)を(#2)に代入する
$2a^2=a^2-\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)a+(4+2\sqrt{3})$
$a^2+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)a-(4+2\sqrt{3})=0$
$a=\sqrt{2}(>0)$･･･（答）
→解答を隠す←

【問題8-2】
　△ABCにおいて，a=2, A=15°, B=30°のとき，bを求めてください．

a	b	c
A	B	C

　右のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（bが求まる）というのが正弦定理の使い方の基本であるが，A=15°は使いにくい（少なくとも数学Ⅰでは覚えない）
　b, cを未知数として連立方程式を解いてもよい．
　A+B+C=180°だからC=135°
正弦定理を用いると
${\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}$
${\displaystyle \frac{b}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{c}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$
$c=\sqrt{2}b$･･･(#1)
角Bを使った余弦定理を用いると
$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
$b^2=c^2+4-4c\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$b^2=c^2+4-2\sqrt{3}c$･･･(#2)
(#1)を(#2)に代入する
$b^2=2b^2+4-2\sqrt{6}b$
$b^2-2\sqrt{6}b+4=0$
解の公式により
$b=\sqrt{6}\pm \sqrt{2}$
ところで，A=15°, B=30°, C=135°だから
$\sin A<\sin B<\sin C$
したがって
a=2< b<c
上記の計算の結果
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$≒2.449−1.414≒1.035<aは条件に合わない
$b=\sqrt{6}+\sqrt{2}$･･･（答） →解答を隠す←