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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「三角比と図形」（正弦定理，余弦定理など）について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓正弦定理（解説）
↓正弦定理（問題）
↓分数型の方程式
↓余弦定理（解説）
↓三辺→角
↓余弦定理の2次方程式
↓筆算だけで解く問題(1)
↓筆算だけで解く問題(2)
↓最大角・最小角
↓ヘロンの公式
↓内接円の半径
↓形状問題
↓証明問題
↓三角形を解く
↓センター問題(1)
↓センター問題(2)
センター問題(3)

　△ABCの三辺の長さをa, b, cとし，$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$とおくと，△ABCの面積Sは，次の式で表される．
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$･･･(1)

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}bc\sin A$
に
$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$
を次のように変形して代入する
$=\sqrt{1-({\displaystyle \frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}}{)}^2}$
$=\sqrt{{\displaystyle \frac{(2bc{)}^2-(c^2+b^2-a^2{)}^2}{(2bc{)}^2}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2bc}}\sqrt{(2bc{)}^2-(c^2+b^2-a^2{)}^2}$
$={\displaystyle \frac{1}{2bc}}\sqrt{(2bc+c^2+b^2-a^2)(2bc-c^2-b^2+a^2)}$
$={\displaystyle \frac{1}{2bc}}\sqrt{(b+c{)}^2-a^2)(a^2-(b-c{)}^2)}$
$={\displaystyle \frac{1}{2bc}}\sqrt{(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)}$
ここで
a+b+c=2s, b+c−a=2s−2a
a+b−c=2s−2c, a−b+c=2s−2b
だから
$\sin A={\displaystyle \frac{1}{2bc}}\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$
$={\displaystyle \frac{2}{bc}}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$S={\displaystyle \frac{1}{2}}bc\cdot {\displaystyle \frac{2}{bc}}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

■==ここまでは高校数学Ⅰの内容として，「覚えていてすぐ使える」必要がある==■

■==ここから下は，「必要になったら証明できる」「公式を見れば変形できる」「そういう公式があったかもしれない」程度でよい．高校生が"覚える"必要はないでしょう==■

　△ABCの三辺の長さをa, b, cとし，$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$とおくと，
$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-b)(s-c)}{bc}}}$･･･(2.1)
$\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{s(s-a)}{bc}}}$･･･(2.2)
$\tan {\displaystyle \frac{A}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}}$･･･(2.3)

${\sin }^2{\displaystyle \frac{A}{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos A}{2}}={\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}}{2}}$
$={\displaystyle \frac{2bc-(b^2+c^2-a^2)}{4bc}}={\displaystyle \frac{a^2-(b^2+c^2-2bc)}{4bc}}$
$={\displaystyle \frac{a^2-(b-c{)}^2}{4bc}}={\displaystyle \frac{(a+b-c)(a-b+c)}{4bc}}$
$={\displaystyle \frac{(2s-2c)(2s-2b)}{4bc}}={\displaystyle \frac{(s-c)(s-c)}{bc}}$
したがって
$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-b)(s-c)}{bc}}}(>0)$

${\cos }^2{\displaystyle \frac{A}{2}}={\displaystyle \frac{1+\cos A}{2}}={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}}{2}}$
$={\displaystyle \frac{2bc+(b^2+c^2-a^2)}{4bc}}={\displaystyle \frac{b^2+2bc+c^2-a^2}{4bc}}$
$={\displaystyle \frac{(b+c{)}^2-a^2}{4bc}}={\displaystyle \frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}$
$={\displaystyle \frac{2s(2s-2a)}{4bc}}={\displaystyle \frac{s(s-a)}{bc}}$
したがって
$\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{s(s-a)}{bc}}}(>0)$

$\tan {\displaystyle \frac{A}{2}}={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}}{\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-b)(s-c)}{bc}}}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{bc}{s(s-a)}}}$
$=\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}}$

　△ABCの三辺の長さをa, b, cとし，$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$とおくと，
${\displaystyle \frac{b-c}{a}}={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{B-C}{2}}}{\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}}}$･･･(3.1)
${\displaystyle \frac{b+c}{a}}={\displaystyle \frac{\cos {\displaystyle \frac{B-C}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}}}$･･･(3.2)

正弦定理により，$a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$
を左辺に代入すると
${\displaystyle \frac{b-c}{a}}={\displaystyle \frac{2R\sin B-2R\sin C}{2R\sin A}}={\displaystyle \frac{\sin B-\sin C}{\sin A}}$
分子を積和の公式により変形する
$\sin B-\sin C=2\cos {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B-C}{2}}$
分母を２倍角公式により変形する
$\sin A=2\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}$
${\displaystyle \frac{b-c}{a}}={\displaystyle \frac{2\cos {\displaystyle \frac{B+C}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B-C}{2}}}{2\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}}}$
ここで，三角形の内角の和については
$A+B+C=\pi$
$B+C=\pi -A$
${\displaystyle \frac{B+C}{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{A}{2}}$
$\cos {\displaystyle \frac{B+C}{2}}=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{A}{2}})=\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}$であるから
${\displaystyle \frac{b-c}{a}}={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B-C}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}}}={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{B-C}{2}}}{\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}}}$

同様にして
${\displaystyle \frac{b+c}{a}}={\displaystyle \frac{2R\sin B+2R\sin C}{2R\sin A}}={\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}}$
$={\displaystyle \frac{2\sin {\displaystyle \frac{B+C}{2}}\cos {\displaystyle \frac{B-C}{2}}}{2\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}}}$
ここで
$\sin {\displaystyle \frac{B+C}{2}}=\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{A}{2}})=\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}$であるから
${\displaystyle \frac{b+c}{a}}={\displaystyle \frac{\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B-C}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}}}={\displaystyle \frac{\cos {\displaystyle \frac{B-C}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}}}$

　△ABCの三辺の長さをa, b, cとし，$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$とおくと，
$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}={\displaystyle \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}$…(4.1)
$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}={\displaystyle \frac{r}{4R}}$･･･(4.2)
$\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{C}{2}}={\displaystyle \frac{s}{4R}}$･･･(4.3)

(2.1)の関係から
$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-b)(s-c)}{bc}}}$
$\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-c)(s-a)}{ca}}}$
$\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-a)(s-b)}{ab}}}$
これらを辺々掛けると
$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}$
$=\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-b)(s-c)}{bc}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-c)(s-a)}{ca}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{(s-a)(s-b)}{ab}}}$
$={\displaystyle \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}$

さらに
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
から
$(s-a)(s-b)(s-c)={\displaystyle \frac{S^2}{s}}$
を代入し，さらに
$S={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$
から
$abc=4RS$
を代入すると
$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}={\displaystyle \frac{S^2}{4RSs}}={\displaystyle \frac{S}{4Rs}}={\displaystyle \frac{rs}{4Rs}}={\displaystyle \frac{r}{4R}}$

(2.2)の関係から
$\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{s(s-a)}{bc}}}$
$\cos {\displaystyle \frac{B}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{s(s-b)}{ca}}}$
$\cos {\displaystyle \frac{C}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{s(s-c)}{ab}}}$
これらを辺々掛けると
$\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{C}{2}}$
$=\sqrt{{\displaystyle \frac{s^3(a-a)(s-b)(s-c)}{a^2{b}^2{c}^2}}}$
$=s{\displaystyle \frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{abc}}=s{\displaystyle \frac{S}{4RS}}={\displaystyle \frac{s}{4R}}$

　△ABCの三辺の長さをa,b,cとし，$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$とおくと，
$\cos A+\cos B+\cos C=1+{\displaystyle \frac{r}{R}}$･･･(5.1)
$a\cot A+b\cot B+c\cot C=2(R+r)$･･･(5.2)

$\cos A+\cos B+\cos C$
$=2\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}+1-2{\sin }^2{\displaystyle \frac{C}{2}}$
$=2\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{C}{2}})\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}+1-2{\sin }^2{\displaystyle \frac{C}{2}}$
$=2\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}+1-2{\sin }^2{\displaystyle \frac{C}{2}}$
$=2\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}(\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}-\sin {\displaystyle \frac{C}{2}})+1$
$=2\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}(\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi -A-B}{2}})+1$
$=2\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}(\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}-\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}})+1$
$=2\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}(-2\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{-B}{2}})+1$
$=4\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}+1$
(4.2)の結果から
$=4{\displaystyle \frac{r}{4R}}+1={\displaystyle \frac{r}{R}}+1$

$a\cot A+b\cot B+c\cot C$
$=2R\sin A{\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A}}+2R\sin B{\displaystyle \frac{\cos B}{\sin B}}+2R\sin C{\displaystyle \frac{\cos C}{\sin C}}$
$=2R\cos A+2R\cos B+2R\cos C$
$=2R(\cos A+\cos B+\cos C)$
(5.1)を利用すると
$=2R(1+{\displaystyle \frac{r}{R}})=2(R+r)$

■==以下の式を，高校生が覚える必要はないが，大学入試問題として出題されることはある==■

　円に内接する四辺形ABCDの辺の長さを各々a, b, c, dとし，$s={\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$とおくと
● 四辺形ABCDの面積Sは
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$･･･(6.1)
● 対角線ACの長さをl，対角線BDの長さをl’とおくと
$l=\sqrt{{\displaystyle \frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}}}$･･･(6.2)
$l^{\prime }=\sqrt{{\displaystyle \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}$･･･(6.3)
● 対角線のなす角をθとおくと
$\sin \theta ={\displaystyle \frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{ac+bd}}$･･･(6.4)
● 内接四辺形の角は
$\cos A={\displaystyle \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}}$･･･(6.5)
（B,C,Dについても同様）
● 外接円の半径は
$R={\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{{\displaystyle \frac{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$･･･(6.6)