■　回答集計と各ページの分析
***　【回答集計と分析・高校】　***
数I/ 数A/ 数II/ 数B/ 数III/ 数C/
［測定条件と信頼性］
■中学３年■　== 因数分解 ==
■ページ名 「因数分解1」
../math/m3in01.htm
■主な内容 　共通因数をくくり出す因数分解
■要約・解説 解説は12行
「最初の問題に着手するまでの時間」は28.5秒で，この解説は少しは読まれている．
■この集計の作成年月日：2009.10.29　■集計期間2009.05.05～2009.10.28　■期間中のこのペ－ジに対するアンケート回答数/読まれた回数：432件/15,716件=2.7%
グラフ1

グラフ2

グラフ3

表1　
I-R
相関係数		 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問
0.29 0.36 0.44 0.44 0.40
グラフ4
■小問数
5題

■ヒント
なし

■入力方式
空欄書き込み

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は中3が48%，卒業生が26%
１題当たりの所要時間は21秒
平均滞在時間は6分31秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
誤答例としては次のようなものがある．
第2問：(x+a)(x+b) ⇔ 他の公式との混同
第3問：x(x+3x) ⇔ 後のxは不要
第4問：pg(p+g) ⇔ g と q では文字が違う
　　　　　pq(pq)　⇔　??
　　　　　(p+q)(p+q)　⇔　??
　グラフ2を見ると，第4問の所要時間が突出している．※アルファベットのq と g を間違う生徒は多い．（数学ではよく使う．）
第5問：
　x(x-1)
正答		 x(x-x) 無答 x(x) x(x+1) x (x+x) (x+x)(x-x)
78% 5% 4% 2% 2% 1% 1% 1%
　第5問は正答率が低く試行回数も多い．割合は別として，この結果は高校生の傾向とよく合う．
　実際には，高校1年生が間違いやすい問題をここに出題したもので，第3問はできるが第5問はできないことがある．
【ワンポイント・レッスン】
　x を x でくくったら（=割ったら）１になる
得点の整合性・信頼性
　表1は各問題の得点と残りの問題の合計得点との相関係数（I-R相関係数）で，整合性が認められる．
各問題の識別力
　グラフ4は回答者全体を合計得点によって上位群，中位群，下位群（各3分の1）に分けたときの群別・問題別正答率のグラフで，どの問題でもU-L指数は0.2以上あり上位群と下位群は分かれる．また，第1問，第2問は「正答率が非常に高い」「上位群と中位群が接近している」ことからやさしい問題と受け止められたことが分かる．
測定の再現性
　表2は答案を前後２期（2009.5.5 - 7.16，2009.7.17 - 10.28）に分けたときの問題別正答者数である．この表を元に独立性に関するχ2検定を行うと有意差は認められず，帰無仮説採択という消極的な根拠ながら再現性が認められる．（p=0.99）
学習開始時において平均正答率は80%台で，ほとんどの回答者はこの頁の問題ができる．
この頁の学習により，正答率は82.6%から91.4%へ変化し，ここで扱った項目に関して8.9%の成績アップが見込まれる．
表2
　 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 計
2009.5.5-7.16 187 192 175 167 155 876
2009.7.17-10.28 198 199 182 174 171 924
計 385 391 357 341 326 1800

■ページ名 「因数分解2」
../math/m3in02.htm
■主な内容 　２乗の形になる因数分解
■要約・解説 解説は19行
「最初の問題に着手するまでの時間」は15.6秒で，この解説はチラリと見た程度．
■この集計の作成年月日：2009.10.29　■集計期間2009.05.10～2009.10.28　■期間中のこのペ－ジに対するアンケート回答数/読まれた回数： 200件/7098件=2.8%
グラフ1


グラフ2
グラフ3
■小問数
10題

■ヒント
なし

■入力方式
前半5題はマウス選択

後半5題は
空欄書き込み

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は中3が50%，卒業生が22%
１題当たりの所要時間は7秒．
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
前半は選択肢方式，後半は空欄入力方式で，選択肢問題の前半の方が圧倒的に無答答案が多い．その理由を考えるために，前半5問に無答であった回答者の残りの問題の平均得点を調べると4.3点となり，非常に高い．
【傾向】
　上位群でも試験に出そうもない形の問題はやらない者が多い．
※中学校で「２乗にならない問題」を出題する実益はほとんどない（出題しても意味がない）ように見えるが，高校入学時において
x3+27=(x+3)(x2-3x+9) が当然のように
(x+3)(x-3)2 となる生徒が多いので，２乗にならない問題があることを意識してもらうことは重要である．
どんな答案があるのか
第2問
x2-3x+9		 ２乗にならない (x-3)2 (x+3)2
54%（正答） 40% 6%

第5問
x2-12x+36		 (x-6)2 (x+6)2 ２乗に
ならない		 (x-18)2
66%（正答） 20% 6% 3%
整合性・識別力について
各問題の得点と残りの問題の合計得点との相関係数（I-R相関係数）はいずれも0.3以上あり整合性が認められる．
　グラフ4は回答者全体を合計得点によって上位群，中位群，下位群（各3分の1）に分けたときの群別・問題別正答率で，第6問～第10問は正答率が高過ぎて識別困難であることが分かる．
　なお，正答率が比較的低い第2問，第5問においては上の表のように，「符号のあいまいな答案」「定数項の半分と考える答案」が含まれている．
学習開始時において回答者の平均正答率は70%台で，多くの回答者はこの頁の問題を処理できる．
この頁の学習により，正答率は75.7%から86.7%へ変化し，ここで扱った項目に関して11.0%の成績アップが見込まれる．
グラフ4

■ページ名 「因数分解3」
../math/m3in03.htm
■主な内容 　２乗-２乗の形になる因数分解
■要約・解説 解説は8行
「最初の問題に着手するまでの時間」は15秒で，この解説はチラリと見た程度．
■この集計の作成年月日：2009.10.29　■集計期間2009.05.10～2009.10.23　■期間中のこのペ－ジに対するアンケート回答数/読まれた回数： 77件/4467件=1.7%
グラフ1

グラフ2

グラフ3
■小問数
5題

■ヒント
なし

■入力方式
空欄書き込み

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は中2が13%，中3が48%，卒業生が19%
１題当たりの所要時間は12秒．
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
第4問の異質さ
他の問題と比べて第4問の正答率が低く，試行回数も突出しているが，それはこの問題が難しいのではなく，空欄に入る数値の規則性が異なるためである．
　このように２乗した結果で書くことも多い．
【作者の反省】
　類似問題が並んでいると，各問題の答案は独立に判断されず「規則性の推定」からも影響を受ける．
　３個も同じようなものが続けば，ほとんどの回答者がこの横からの規則性で思考している．
問題間の整合性
　「各問題の得点」と「残りの問題の合計得点」の相関係数（I-R相関係数）は第2問～第4問で非常に低くなり，通常の試験問題として用いるのは不適当である．
　第4問を除いても，今度は正答率が高くなり過ぎて問題間の整合性は低くなる．
【作者の反省】
　この頁の形の問題は，練習問題としてのみ使える．それも２，３問までとする．
学習開始時において回答者の平均正答率は70%台で，多くの回答者はこの頁の問題を処理できる．
この頁の学習により，正答率は75.3%から91.7%へ変化し，ここで扱った項目に関して16.4%の成績アップが見込まれる．

■ページ名 「２乗ー２乗の因数分解」
../math2/m3fr206.htm
■主な内容 　２乗-２乗の形になる因数分解
■要約・解説 解説なし
「最初の問題に着手するまでの時間」はほぼ0秒
■この集計の作成年月日：2009.10.25　■集計期間2009.05.09～2009.10.17　■期間中のこのペ－ジに対するアンケート回答数/読まれた回数： 40件/1136件=3.5%（時間に関する集計は極端値を除く）
グラフ1

グラフ2

グラフ3

表1
　 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第7問 第8問 第9問 第10問
a(x+b)(x-b)形になる 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0
(x+b)(x-b)が同一の選択肢の存在 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1
誤答率 3% 5% 0% 8% 3% 8% 8% 11% 10% 26%
表2
　 a(x+b)(x-b)の
形になる		 (x+b)(x-b)が同一
の選択肢の存在
誤答率 -0.26 0.35
■小問数
5題

■ヒント
なし

■入力方式
空欄書き込み

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は中1が13%，中2が10%，中3が50%，卒業生が20%
１題当たりの所要時間は11秒．
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．その下は無答を除く解答者に対する割合である．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問のみは推定．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
画面上の問題の順序は元の順序と同じではない．元の問題の順は次の通り．
▼第1問　x2-4
　第2問　9x2-4
○第3問　32x2-8
▼第4問　25x2-16
○第5問　3x2-27
○第6問　9x2-1
▼第7問　2x2-18
▼第8問　20x2-5
▼第9問　18x2-2
▼第10問　4x2-9
表1は選択肢と誤答率の一覧でこれを元に選択肢と誤答率との相関を調べたものが表2である．
　表2によれば想定した要因との関連は弱く，誤答が偶然に依存する可能性が高い･･･すなわち，正解するたびに選択肢の数が減るため「まぐれ」で合ってしまう確率が高いと考えられる．
　グラフ4は回答者全体を合計得点によって上位群，中位群，下位群（各33%）に分けたときの問題別正答率で，上位群と下位群が接近している第6問で識別力が弱いことが分かる．
　正答率，特に下位群の正答率がこんなに高いと各問題の正誤は学力を反映しにくい．
表3は各問題と残りの問題の合計得点との相関係数で，第6問，第7問，第10問に識別力の弱さがある．
学習開始時において回答者の平均正答率は80%台で，ほとんどの回答者はこの頁の問題ができる．
この頁の学習により，正答率は89.5%から97.0%へ変化し，ここで扱った項目に関して7.5%の成績アップが見込まれる．
表3
I-R
相関係数		 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第7問 第8問 第9問 第10問
0.45 0.44 0.54 0.52 0.35 0.15 0.01 0.44 0.45 -0.10
グラフ4

■ページ名 「和と積→２数」No.1
../math2/m3fr207.htm
■主な内容 　和と積が与えられた２数を当てる問題
■要約・解説 解説なし
「最初の問題に着手するまでの時間」はほぼ0秒
■この集計の作成年月日：2009.07.23　■集計期間2009.05.14～2009.07.17　■期間中のこのペ－ジに対するアンケート回答数/読まれた回数： 17件/524件=3.2%（時間に関する集計は極端値を除く）
グラフ1

グラフ2
■小問数
5題

■ヒント
なし

■入力方式
空欄書き込み

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は中3が59%，卒業生が12%
１題当たりの所要時間は7.7秒
平均滞在時間は4分
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．その下は無答を除く解答者に対する割合である．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問のみは推定．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
画面上の問題の順序は元の順序と同じではない．グラフは次に示す元の問題の順による．
第1問　和が　-1，積が -12
第2問　和が　1，積が -12
第3問　和が　-7，積が12
第4問　和が　8，積が12　◎
第5問　和が　-8，積が12
第6問　和が　4，積が -12
第7問　和が　-4，積が -12
第8問　和が　7，積が10　◎
第9問　和が　-7，積が10
第10問　和が　7，積が12

　自然なことであるが，２数とも正の整数の場合にやや正答率が高い．
学習開始時において回答者の平均正答率は90%台で，この頁の問題は回答者にとって「非常にやさしい」問題である．
この頁の学習により，正答率は90.0%から96.5%へ変化し，ここで扱った項目に関して6.5%の成績アップが見込まれる．
グラフ3

■ページ名 「因数分解4」
../math/m3in04.htm
■主な内容 　和と積が与えられたときに元の２数を言い当てる問題（和と積の因数分解のための予備訓練）
■要約・解説 解説は17行
「最初の問題に着手するまでの時間」は16秒で，この解説はチラリと見た程度．
■この集計の作成年月日：2009.06.24　■集計期間2009.05.06～2009.06.16　■期間中のこのペ－ジに対するアンケート回答数/読まれた回数： 18件/1441件=1.2%（時間に関する集計は極端値を除く）
グラフ1

グラフ2
■小問数
4題

■ヒント
なし

■入力方式
空欄書き込み

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は中3が72%，中2が11%，卒業生が11%
１題当たりの所要時間は10.7秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問のみは推定．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
この頁の問題は乱数で発生させており，各問題の係数は固定されていない．このため，問題ごとの正答率の凹凸は回答者の疲労度・集中力のみを反映するはずである．
※2009.9.14問題変更
学習開始時において回答者の平均正答率は80%台で，この頁の問題は回答者にとって「非常にやさしい」部類に入る．
この頁の学習により，正答率は86.1%から88.9%へ変化し，ここで扱った項目に関して2.8%の成績アップが見込まれる．
グラフ3

■ページ名 「和と積の因数分解」
../math2/m3fr201.htm
■主な内容 　１次の係数と定数項が和と積となる２数を考える因数分解
■要約・解説 解説なし「最初の問題に着手するまでの時間」はほぼ0秒．
■この集計の作成年月日：2009.11.29　■集計期間2009.05.12～2009.11.27　■期間中のこのペ－ジに対するアンケート回答数/読まれた回数： 30件/??件=??%
グラフ1

グラフ2
■小問数
10題

■ヒント
なし

■入力方式
マウス選択（多対多）

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は中3が43%，卒業生が42%
１題当たりの所要時間は7.4秒
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
問題と選択肢は画面表示時に乱数によって順序が入れ替わり，元の問題番号と同じではない．元の問題の順序において
第4問：x2+6x+5
第5問：x2+5x+6
第8問：x2+8x+12
第4問，第5問を除けば正答率は非常に高く簡単な問題であった．
　第4問と第5問は和と積が逆の組合わせになっており，よく似た選択肢が存在することにより誤答が増えていると考えられる．実際の誤答も逆になっている．
学習開始時において回答者の平均正答率は90%台で，ほとんどの回答者はこの頁の問題ができる．
この頁の学習により，正答率は94.3%から97.7%へ変化し，ここで扱った項目に関して3.3%の成績アップが見込まれる．
グラフ3

■ページ名 「因数分解5」
../math/m3in05.htm
■主な内容 　２数の和と積を考える因数分解
■要約・解説 解説は1行
「最初の問題に着手するまでの時間」は8秒で，この解説はほとんど読まれていない．
■この集計の作成年月日：2009.10.30　■集計期間2009.05.10～2009.10.29　■期間中のこのペ－ジに対するアンケート回答数/読まれた回数： 96件/4425件=2.2%（時間に関する集計では極端値を除く）
グラフ1

グラフ2

グラフ3

表1
　 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第7問 第8問 第9問 第10問
１次の係数が負 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
定数項が負 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0
１次の係数を２数の積に分ける方法 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2
定数項を２数の積に分ける方法 3 3 2 2 2 3 4 3 3 2
誤答率 9% 27% 4% 9% 24% 11% 18% 9% 8% 6%
表2
誤答率との相関 １次の係数が負 定数項が負 １次の係数を２数の積に分ける方法 定数項を２数の積に分ける方法
0.09 0.92 -0.61 0.26
表3
I-R
相関係数		 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第7問 第8問 第9問 第10問
0.19 0.15 0.53 0.69 0.43 0.65 0.55 0.78 0.78 0.63
■小問数
10題

■ヒント
なし

■入力方式
空欄書き込み

■問題の見え方
一度に全部見える形になっている		 回答者の内訳は中3が53%，卒業生が21%
１題当たりの所要時間は9.5秒．
　左のグラフ１は問題ごとの正答，誤答，無答の割合（正誤は最初の採点）で，黄色で示したものは初め誤答で再試行の結果正答に変った割合を表わす．
　グラフ2は横軸が問題番号，縦軸は直前の操作以降その問題の採点までの経過時間（秒）を表わす．ただし，第1問は初めからの時間．
　グラフ3は問題ごとの試行回数を表わす．（ただし，同一問題を16回以上試行した答案については16回と見なす．）
誤答の要因
　表1は問題の形と（無答を含む）誤答率の一覧で，表1を元にこれらの相関係数を求めたものが表2である．ここで「１次の係数を２数に分ける方法」とは，例えば8=1･8，2･4のように２数の候補として思いつく組の数を示し，符号は考えないものとする．（他の頁の誤答例から和と積を逆にしている回答が多く，参考までに調べたもの．この相関係数は負になるが，これは同符号であれば誤答は少なくなり，そのとき１次の係数は大きくなることによると思われる．）
　表2によれば，「定数項が負であること」，すなわち正の数と負の数が組になっていることが誤答に最も影響していることが分かる．
　さらに，「定数項が負」を説明変数とし「誤答率」を目的変数とする回帰分析を行うと，誤答全体の85%が説明できる．（補正R2=0.828）
問題間の整合性
　表3は各問題の得点と残りの問題の合計得点との相関係数（I-R相関係数）で，第1問，第2問を除けばかなり高い．初めの２，3問だけ正答で，残りの問題は無答という答案が散見され，第1問，第2問と残りの問題の得点の整合性がやや低くなっていると考えられる．
各問題の識別力
　グラフ4は回答者全体をその合計得点によって上位群，中位群，下位群（各3分の1）に分けたときの群別・問題別正答率のグラフである．
　これによれば，正答率が高過ぎる第3問，第10問はU-L指数が0.2未満となり，上位群と下位群が分かれないが，他の問題は識別力が高いことが分かる．
学習開始時において平均正答率は80%台で，ほとんどの回答者はこの頁の問題ができる．
この頁の学習により，正答率は87.3%から94.0%へ変化し，ここで扱った項目に関して6.7%の成績アップが見込まれる．
グラフ4

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