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== 位置ベクトルの応用 ==

◇公式の要約◇
2点 A( aw) , B( bw) を結ぶベクトル AB は,AB = bwaw

○補足説明

 記号 A( aw) は,関数の記号 f(x) とは無関係。
平面の座標を表わすときに,「点 A,その座標を (3 , 4) とおく」というのを A(3 , 4) と書くのと同様にして,
「点A,その位置ベクトルを aw とおく」というのを単に,点 A( aw) と書く。


【注意】  AB = awbw ではない!
2点 A( aw) , B( bw) の中点 M の位置ベクトル mw は,


mw = .aw+bw2nnnn

○補足説明

2点 A( aw) , B( bw) を結ぶ線分 AB m : n に内分する点 P の位置ベクトル pw は,
pw=.naw+mbwm+nnnnnnn

○補足説明

ABC の頂点 A,B,C の位置ベクトルを各々 aw bwcw とすると,△ABC の重心 G の位置ベクトルは,


gw = .aw+bw+cw3nnnnnn

○補足説明



■ 問題 次の空欄を埋めなさい。
(半角数字[1バイト文字]で答えてください)
(1) △ABC の線分 AB,BC,CA の中点を各々 L,M,N とする。△ABC の重心 G と△LMN の重心 G ’ は一致することを証明しなさい。
(証明)
A,B,C の位置ベクトルを各々 aw bwcw とおくと,重心 G の位置ベクトルは,

gw = .aw+bw+cwnnnnnn ・・・(ア)

L,M,N の位置ベクトルは各々

.aw+bwnnnn , .bw+cwnnnn , .cw+awnnnn
だから,

重心 G ’の位置ベクトルは,


g’w =..aw+bw2nnnn+.bw+cw2nnnn+.cw+aw2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn= .aw+bw+cwnnnnnn ・・・(イ)

(ア)(イ)より G , G’ の位置ベクトルが等しいから G , G’ は一致する。

(2) ABC 頂点 A,B,C の位置ベクトルを各々 aw , bw , cw とするとき,右の空欄を埋めなさい。
線分 AB を2:1に内分する点を P,線分 CA の中点を Q とするとき,P , Q の位置ベクトル pw , qw を,aw , bw , cwで表わすと

pw=.aw+2bwnnnnn , qw= .cw+awnnnn

PQaw bwcw で表わすと,

PQ=qwpw=.aw−4bw+3cwnnnnnnnnn

(3) ABC と点 P について

PA+2PB+3PC=2AB

が成り立っているとき,点 P はどのような点か。
A , B , C , P の位置ベクトルを各々 awbwcwpw とおくと,
( awpw) + 2(bwpw) + 3( cwpw ) = 2( bwaw ) より,
aw + 2bw + 3 cw pw = 2bw−2aw
pw = .aw+cwnnnn となるから,PAC

(4) ABCと点 P について

2PA+ 3PB+ 4PC= 0w

が成り立っているとき,点 P はどのような点か。
A,B,C,P の位置ベクトルを各々 awbwcwpw とおく。
2(awpw )+ 3( bwpw )+ 4( cwpw )= 0w より,

pw =.2aw+3bw+4cw9nnnnnnnnn


pw =.5(.2aw+3bw5nnnnn)+4cw9nnnnnnnnnnn と変形すると,

線分 AB に内分する点を D とするとき,
線分 DC に内分する点が P となる。



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