同一直線上にあるための条件

$\vec{P Q}$ = $\vec{a}$ − $\vec{b}$ $\vec{P R}$ = $\vec{a}$ − $\vec{b}$ だから、 $\vec{P R}$ = $\vec{P Q}$ ゆえに，３点P, Q, Rは一直線上にある。
$\vec{P Q} = \vec{O Q} - \vec{O P} = (5 \vec{a} + 4 \vec{b}) - (\vec{a} + 7 \vec{b})$ $= 4 \vec{a} - 3 \vec{b}$ $\vec{P R} = \vec{O R} - \vec{O P} = (9 \vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + 7 \vec{b})$ $= 8 \vec{a} - 6 \vec{b}$ だから $\vec{P R} = 2 \vec{P Q}$ →閉じる←

【問2】

\vec{O P} = \frac{\vec{a} - \vec{b}}{6}, \vec{O Q} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}, \vec{O R} = \frac{5 \vec{a} + 4 \vec{b}}{12}

のとき３点P, Q, Rは一直線上にあることを証明しなさい。

答案

\vec{P Q} = \vec{O Q} - \vec{O P} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \frac{\vec{a} - \vec{b}}{6}

= \frac{2 \vec{a} + 4 \vec{b}}{6} = \frac{\vec{a} + 2 \vec{b}}{3}

\vec{P R} = \vec{O R} - \vec{O P} = \frac{5 \vec{a} + 4 \vec{b}}{12} - \frac{\vec{a} - \vec{b}}{6}

= \frac{3 \vec{a} + 6 \vec{b}}{12} = \frac{\vec{a} + 2 \vec{b}}{4}

だから

\vec{P R} = \frac{3}{4} \vec{P Q}

→閉じる←

【問3】３点A(3, 2), B(6, 1), C(x, 4)が同一直線上にあるようにxの値を定めなさい。
答案 $\vec{A B} = (3, - 1), \vec{A C} = (x - 3, 2)$ (x−3, 2) = t(3, −1)より x−3 = 3t, 2 = −t t = −2, x =
x=−3 →閉じる←

【問4】 △ABCにおいて辺ABを１：２に内分する点をP，辺BCを４：１に外分する点をQ，辺CAを１：２に内分する点をRとすると，３点P, Q, Rは同一直線上にあることを示しなさい。
答案 A, B, Cの位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とおくとP, Q, Rの位置ベクトルは，それぞれ $\frac{2 \vec{a} + \vec{b}}{3}, \frac{- \vec{b} + 4 \vec{c}}{3}, \frac{\vec{a} + 2 \vec{c}}{3}$ となるから $\vec{P Q} = \frac{- 2 \vec{a} - 2 \vec{b} + 4 \vec{c}}{3}$ $\vec{P R} = \frac{- \vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}}{3}$ $\vec{P Q}$ = $\vec{P R}$ ゆえに，３点P, Q, Rは同一直線上にある。
$\vec{P Q} = 2 \vec{P R}$ →閉じる←

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[３点が同一直線上にあるための条件について／17.5.10］

解答ページを作って欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．なるほど解答が分からない場合がありますので，解答を付けます．ただしその頁内に付けます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[３点が同一直線上にあるための条件について／17.2.6］

3点が一直線上にあるようにxの値を求める問題で、学校の宿題で3点が(2,x),(x,0),(-2,6)というように二箇所にxが入っている問題が出たのですが、その場合は解き方はこの頁に載っていたものとは変わるのでしょうか？教えていただけると嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．同じ考え方で解けます．なお，問題の写し間違いのせいか，このままでは解けません（虚数解になります．）
他に，直線の方程式で考える場合はこの頁（ただし，未知数をxのままで計算すると直線の方程式のxと混ざってしまうのでtに変えるなど工夫を要す）

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