位置ベクトルの応用

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「ベクトル」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓ベクトルの定義
↓ベクトルの和
↓ベクトルの差
↓2点間のベクトル
↓ベクトルの実数倍
↓ベクトルの実数倍･和･差

↓ベクトルの図形への応用
↓同(2)
↓同(3)-現在地
↓同(4)
↓同(5)
↓同(6)

↓内分点の内分点
↓同(2)

↓点の存在範囲
↓同(2)

↓２直線の交点1
↓２直線の交点2
↓外心,重心,垂心,内心,オイラー線

↓ベクトル成分の計算
↓ベクトルの大きさ

↓ベクトルの内積
↓ベクトルの内積（成分）
↓ベクトルのなす角
↓|a|の変形

↓ベクトルの平行条件,垂直条件
↓一直線上にある条件

↓ベクトル方程式（内積）
↓ベクトルの公式一覧

センター試験.ベクトル.三角関数(2013年～)

== 位置ベクトルの応用 ==
■[要点]

(1)２点

A (\vec{a}), B (\vec{b})

を結ぶベクトルは,

\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}

\vec{a} - \vec{b}

ではなく、

\vec{b} - \vec{a}

である点に注意
※　(終点) − (始点) の形が重要

（記号についての注意）
　高校の数学では，点Aの座標が

(3, 4)

であるとき，

A (3, 4)

と書き，

A = (3, 4)

とは書かないのと同様に，点Aの位置ベクトルが

\vec{a}

であるとき，

A (\vec{a})

と書き，

A = \vec{a}

とは書きません．
　大学の数学と違って，点の関数などを考えないので，点が点以外の何かに等しいという記号を使う必要がありません．
　「A，その位置ベクトルは

\vec{a}

」という感じに棒読みに受け取るとよい．

■解説■

\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}

だから

\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B}

= - \vec{O A} + \vec{O B}

= - \vec{a} + \vec{b}

= \vec{b} - \vec{a}

[考え方のポイント]
分かっている道（青の道）をつないで，
分からない道（赤の道）の別ルートを作る！

(2)２点

A (\vec{a}), B (\vec{b})

を結ぶ線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトル

\vec{p}

は，

\vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}

　特に，

A (\vec{a}), B (\vec{b})

の中点Mの位置ベクトル

\vec{m}

は，

\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}

■解説■

求めているのはPの位置ベクトルなので，

\vec{A P}

ではなくて

\vec{O P}

であることに注意
（直線ABの中に入っているものではなく，原点OからPに向かっているものが位置ベクトル）

　まず

\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}

　次に,この

\vec{A B}

を

\frac{m}{m + n}

倍に縮めると

\vec{A P} = \frac{m}{m + n} (\vec{b} - \vec{a})

できたベクトルを

\vec{O A}

につぎ足すと

\vec{O A} + \vec{A P} = \vec{a} + \frac{m}{m + n} (\vec{b} - \vec{a})

\vec{O P} = \frac{m \vec{a} + n \vec{a} + m (\vec{b} - \vec{a})}{m + n}

= \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}

※結果としてできた公式を見てみると，
ABをm:nに内分するとき，

\vec{a}

には図形的に遠い方の比率nを掛けています．

\vec{b}

には図形的に遠い方の比率mを掛けています．
（「いじわる公式」「へそ曲げ公式」と覚えておくと間違わない）

【問題１】
　△ABCの頂点A, B, Cの位置ベクトルを

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

とし， AB, BC, CAの中点をL, M, Nとするとき，次のベクトルを

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

を用いて表しなさい。

○初めに問題を選び，続いて選択肢を選びなさい。合っていれば消えます。
○［解説］を読む場合でも読まない場合でも，新たに問題を選択すれば，解答を再開できます．

≪問題≫

　　
≪選択肢≫

解説

\vec{B C} = \vec{B O} + \vec{O C} = - \vec{b} + \vec{c}

\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} = - \vec{a} + \vec{b}

\vec{O L} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}

Ｌの位置ベクトルは

\vec{O L} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}

，Ｎの位置ベクトルは

\vec{O N} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}

，したがって，ＬＮの中点の位置ベクトルは

\frac{\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}}{2} = \frac{2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}

\vec{A M} = \vec{A O} + \vec{O M} = - \vec{a} + \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}

Ｌの位置ベクトルは

\vec{O L} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}

，Ｎの位置ベクトルは

\vec{O N} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}

，したがって，

\vec{L N} = - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2}

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【問題２】
　△ABCの頂点A, B, Cの位置ベクトルを

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

とし，

ABを2:1に内分する点をP，BCを2:1に内分する点をQ，CAを2:1に内分する点をRとする。さらに，PQの中点をS，QRを2:1に内分する点をT，RPを1:2に内分する点をUとする。
　次の各点の位置ベクトルを

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

を用いて表しなさい。

○初めに問題を選び、続いて選択肢を選びなさい。合っていれば消えます。
○間違った場合，HELPボタンは問題の下，解説は選択肢の下に出ます．
○［解説］を読む場合でも読まない場合でも，新たに問題を選択すれば，解答を再開できます．

≪問題≫

解説

≪選択肢≫

ABを２：１に内分する点だから，内分点の公式

\frac{1 \vec{a} + 2 \vec{b}}{2 + 1}

を適用するとPの位置ベクトルは

\frac{\vec{a} + 2 \vec{b}}{3}

BCを２：１に内分する点だから，内分点の公式

\frac{1 \vec{b} + 2 \vec{c}}{2 + 1}

を適用するとQの位置ベクトルは

\frac{\vec{b} + 2 \vec{c}}{3}

CAを２：１に内分する点だから，内分点の公式

\frac{1 \vec{c} + 2 \vec{a}}{2 + 1}

を適用するとRの位置ベクトルは

\frac{\vec{c} + 2 \vec{a}}{3}

P (\frac{\vec{a} + 2 \vec{b}}{3})

と

Q (\frac{\vec{b} + 2 \vec{c}}{3})

の中点だから

\frac{\frac{\vec{a} + 2 \vec{b}}{3} + \frac{\vec{b} + 2 \vec{c}}{3}}{2} = \frac{\vec{a} + 3 \vec{b} + 2 \vec{c}}{6}

Q (\frac{\vec{b} + 2 \vec{c}}{3})

と

R (\frac{\vec{c} + 2 \vec{a}}{3})

を2：1に内分する点だから，

\frac{\frac{\vec{b} + 2 \vec{c}}{3} + 2 \frac{\vec{c} + 2 \vec{a}}{3}}{3} = \frac{4 \vec{a} + \vec{b} + 4 \vec{c}}{9}

R (\frac{2 \vec{a} + \vec{c}}{3})

と

P (\frac{\vec{a} + 2 \vec{b}}{3})

を1：2に内分する点だから，

\frac{2 \frac{2 \vec{a} + \vec{c}}{3} + \frac{\vec{a} + 2 \vec{b}}{3}}{3} = \frac{5 \vec{a} + 2 \vec{b} + 2 \vec{c}}{9}

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[位置ベクトルの応用について／17.1.4］

解答して合っていると消える、というのが、やる気を出しやすいと思います。昔習ったベクトルの復習をしたくて、このページにたどりつきましたが、とてもわかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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