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== ベクトルのなす角 ==

【要約】
2つのベクトルa,bの成分がa=(a1,a2),b=(b1,b2)のように与えられているとき,内積の定義
ab=|a||b|cosθ
において,
ab=a1b1+a2b2
|a||b|=a12+a22b12+b22
のように求めることができるから,これらを使って
cosθ=ab|a||b|…(1)
のように角θの余弦を計算することができる.

○さらに,次の角度については筆算の場合でも,cos θの値から角θが求まる.
θ 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π
cos θ 1 32 22 12 0 12 22 32 −1
○通常の場合,これ以外の角度については,コンピュータや三角関数表によらなければ角θの値は求められない.
【例】
cosθ=12と計算できればθ=π3(またはθ=60°)と答えることができる.
この角度は「結果を覚えているから答えられる」のであって,次の例のように結果を覚えていない角度については,このようには答えられない.
【例】
cosθ=13となった場合,高校では逆三角関数を扱わないのでθ=...の形にはできない.
そもそも,ベクトルの成分と角θをつなぐ公式(1)は
θ=ab|a||b|
ではなく
cosθ=ab|a||b|
の形をしており,cosθの値までしか求まらない.
このような問題では,必要に応じて「θcosθ=13となる角」などと文章で答えるとよい.
【例題1】
a=(3,1),b=(0,2)のとき2つのベクトルa,bのなす角θを求めなさい。(度で答えよ)
(答案)
a∣=(3)2+12=4=2
b∣=02+22=4=2
ab=3×0+1×2=2
だから
cosθ=abab=24=12
θ=60° …(答)
【例題2】
a=(1,2),b=(1,3)のとき2つのベクトルa,bのなす角θを求めなさい。(度で答えよ)
(答案)
a∣=12+22=5
b∣=(1)2+32=10
ab=1+6=5
だから
cosθ=abab=5510=552=12
θ=45° …(答)
【例題3】
a=(1,1),b=(1,2)のとき,2つのベクトルa,bのなす角をθとするとき,cosθの値を求めなさい.
(答案)
a∣=12+12=2
b∣=12+22=5
ab=1+2=3
だから
cosθ=abab=325=310…(答)

【問題】
正しいと思う選択肢をクリック(タップ)すれば,採点結果と解説が出ます.解答しなければ解説は出ません.
(1) 2つのベクトルa=(2,1),b=(2,6)のなす角を求めてください.(答は度で)
30° 45° 60° 90° 120°
(2) 2つのベクトルa=(1,0),b=(1,3)のなす角を求めてください.(答は度で)
30° 45° 60° 90° 120°
(3) 2つのベクトルa=(1,3),b=(1,2)のなす角を求めてください.(答は度で)
45° 60° 90° 120° 135° 150°
(4) 2つのベクトルa=(2,1),b=(2,4)のなす角を求めてください.(答は度で)
45° 60° 90° 120° 135° 150°
(5) 2つのベクトルa=(1,3),b=(3,1)のなす角をθとするとき,cosθの値を求めてください.
12 13 23 25 35 45

【ベクトルの垂直条件】…(直交条件)
a0,b0のとき,
abab=0
※垂直(直角,90°)は1つの角度に過ぎませんが,実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多いので,この公式は重要
(解説)
ab=0cosθ=0θ=90
(参考)
大学では,内積が0になる場合はa=0,b=0の場合も含めて,「垂直」「直交」と定義しますが,
高校では零ベクトル0の向きは考えないことになっていますので,「2つのベクトルが垂直である」というためには
abab=0
だけでなく
a0,b0
も示すことになっています.
ただし,a,bとして(0 , 0)以外の定数の成分が与えられているとき,それが零ベクトルでないことは自明ですので,「a0,b0」の断り書きは省略できます.
【例題4】
a=(1,2),b=(t,1)のときa,bが垂直となるように定数tの値を定めなさい.
(答案)
ab=t+2=0よりt=−2…(答)

【問題】
(1) 2つのベクトルa=(2,3),b=(x,4)が直交するように定数xの値を定めてください.
−6 −3 −2 2 3 6
(2) 2つのベクトルa=(1,2),b=(2,x)について,a+babが直交するように定数xの値を定めてください.
−1 −2 −3 ±1 ±2 ±3


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■[個別の頁からの質問に対する回答][ベクトルのなす角について/17.1.8]
図形など図があればもっといいと思う
=>[作者]:連絡ありがとう.現在筆者は次のように整理しています.
(1) 高校数学で習うベクトルには,図形で表される「矢印ベクトル」と成分で表示される「成分ベクトル」とがあります.ベクトルのなす角というのは図形的な意味ですが,実際には成分計算だけでできることに慣れるというのが第1の目標です.
(2) 3次元,4次元,5次元・・・今日では中学生でも多次元のデータを扱っていますが,そう言わないだけです.
生徒名x(国語)y(数学)z(英語)
a232
b523
c314
d352
e・・・・・・・・・
f445
左の表で生徒ごとの3教科の得点傾向が似ているかどうかを判断するには,行ベクトルなどの個人ごとの「3次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかで見るのが1つの方法です.また,教科ごとの得点傾向が似ているかどうかを判断するには,列ごとに見たベクトルなどの「6次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかになります(左の表で6次元というのは縦に6個の数字が並んでいるから:6人だから).
このようにして,実生活で扱うデータのほとんどは多次元ベクトルに対応しており,図を使わずに大きな数値の表だけを見て「ベクトルのなす角」という夢を見る能力が必要となります.(この頁参照)
(3) ご質問の頁は2次元ベクトルを扱っていますので,図を描こうと思えば描けますが,図があっても問題が解けるわけではありません.次のような意味合いで,1つや2つは図があってもよいとは思います.
 3.1) 答が2つあって迷うような場合とか,方程式で求めた値に対して実際には図が描けないような場合に,図で検証することができる.
 3.2) 文字ばかりの教材では暑苦しいが,ワンポイントの図があればリラックスでき,結果的に学習が進む.

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