ベクトルのなす角

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【要約】
２つのベクトル

\vec{a}, \vec{b}

の成分が

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2})

のように与えられているとき，内積の定義

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ

において，

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} \cdot \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}

のように求めることができるから，これらを使って

\cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}

…(1)
のように角θの余弦を計算することができる．

○さらに，次の角度については筆算の場合でも，cos θの値から角θが求まる．

θ	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	π
cos θ	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	−1

○通常の場合，これ以外の角度については，コンピュータや三角関数表によらなければ角θの値は求められない．

この角度は「結果を覚えているから答えられる」のであって，次の例のように結果を覚えていない角度については，このようには答えられない．

そもそも，ベクトルの成分と角θをつなぐ公式(1)は

θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}

ではなく

\cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}

の形をしており，cosθの値までしか求まらない．

【例題1】

\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (0, 2)

のとき２つのベクトル

\vec{a}, \vec{b}

のなす角θを求めなさい。（度で答えよ）

【例題2】

\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 3)

のとき２つのベクトル

\vec{a}, \vec{b}

のなす角θを求めなさい。（度で答えよ）

【例題3】

\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1, 2)

のとき，２つのベクトル

\vec{a}, \vec{b}

のなす角をθとするとき，

\cos θ

の値を求めなさい．

正しいと思う選択肢をクリック（タップ）すれば，採点結果と解説が出ます．解答しなければ解説は出ません．

(1)　２つのベクトル

\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (2, 6)

のなす角を求めてください．（答は度で）解説

0° 30° 45° 60° 90° 120°

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 2 + 1 \times 6 = 10

| \vec{a} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}

，

| \vec{b} | = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}

だから

\cos θ = \frac{10}{\sqrt{5} \times 2 \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

θ=45°…（答） →解説を隠す←

(2)　２つのベクトル

\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (1, \sqrt{3})

のなす角を求めてください．（答は度で）解説

0° 30° 45° 60° 90° 120°

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 0 \times \sqrt{3} = 1

| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = 1

，

| \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{4} = 2

だから

\cos θ = \frac{1}{2}

θ=60°…（答） →解説を隠す←

(3)　２つのベクトル

\vec{a} = (1, - 3), \vec{b} = (1, 2)

のなす角を求めてください．（答は度で）解説

45° 60° 90° 120° 135° 150°

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + (- 3) \times 2 = - 5

| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{10}

，

| \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}

だから

\cos θ = \frac{- 5}{\sqrt{10} \sqrt{5}} = - \frac{1}{\sqrt{2}}

θ=135°…（答） →解説を隠す←

(4)　２つのベクトル

\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (2, 4)

のなす角を求めてください．（答は度で）解説

45° 60° 90° 120° 135° 150°

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 2 + (- 1) \times 4 = 0

だから
θ=90°…（答） →解説を隠す←

(5)　２つのベクトル

\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (3, 1)

のなす角をθとするとき，cosθの値を求めてください．解説

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{4}{5}

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 3 \times 1 = 6

| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}

，

| \vec{b} | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}

だから

\cos θ = \frac{6}{\sqrt{10} \sqrt{10}} = \frac{3}{5}

…（答）
（※この問題では，角度までは求まりませんが，cosθの値は求められます） →解説を隠す←

【ベクトルの垂直条件】…（直交条件）

\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}

のとき，

\vec{a} ⊥ \vec{b} ⟺ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

※垂直(直角，90°)は１つの角度に過ぎませんが，実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多いので，この公式は重要

（参考）
大学では，内積が０になる場合は

\vec{a} = \vec{0}, \vec{b} = \vec{0}

の場合も含めて，「垂直」「直交」と定義しますが，
高校では零ベクトル

\vec{0}

の向きは考えないことになっていますので，「２つのベクトルが垂直である」というためには

\vec{a} ⊥ \vec{b} ⟺ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

だけでなく

\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}

も示すことになっています．
ただし，

\vec{a}, \vec{b}

として(0 , 0)以外の定数の成分が与えられているとき，それが零ベクトルでないことは自明ですので，「

\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}

」の断り書きは省略できます．

【例題4】

\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (t, 1)

のとき

\vec{a}, \vec{b}

が垂直となるように定数tの値を定めなさい．

\vec{a} \cdot \vec{b} = t + 2 = 0

よりt=−2…(答)

(1)　２つのベクトル

\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (x, 4)

が直交するように定数xの値を定めてください．解説

−6 −3 −2 2 3 6

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 x + 12 = 0

より
x=−6…（答） →解説を隠す←

(2)　２つのベクトル

\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, x)

について，

\vec{a} + \vec{b}

と

\vec{a} - \vec{b}

が直交するように定数xの値を定めてください．解説

−1 −2 −3 ±1 ±2 ±3

\vec{a} + \vec{b} = (3, 2 + x), \vec{a} - \vec{b} = (- 1, 2 - x)

\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3 + 4 - x^{2} = 0

より
x=±1…（答） →解説を隠す←

図形など図があればもっといいと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．現在筆者は次のように整理しています．
(1) 高校数学で習うベクトルには，図形で表される「矢印ベクトル」と成分で表示される「成分ベクトル」とがあります．ベクトルのなす角というのは図形的な意味ですが，実際には成分計算だけでできることに慣れるというのが第１の目標です．
(2) ３次元，４次元，５次元･･･今日では中学生でも多次元のデータを扱っていますが，そう言わないだけです．

生徒名	x（国語）	y（数学）	z（英語）
a	2	3	2
b	5	2	3
c	3	1	4
d	3	5	2
e	･･･	･･･	･･･
f	4	4	5

左の表で生徒ごとの３教科の得点傾向が似ているかどうかを判断するには，行ベクトル $\vec{a}=(2,3,2),\hspace{10}\vec{b}=(5,2,3),...$ などの個人ごとの「３次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかで見るのが１つの方法です．また，教科ごとの得点傾向が似ているかどうかを判断するには，列ごとに見たベクトル $\vec{x}=(2,5,3,3,\cdots ,4),\hspace{10}\vec{y}=(3,2,1,5,\cdots ,4),...$ などの「６次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかになります（左の表で６次元というのは縦に６個の数字が並んでいるから：６人だから）.
このようにして，実生活で扱うデータのほとんどは多次元ベクトルに対応しており，図を使わずに大きな数値の表だけを見て「ベクトルのなす角」という夢を見る能力が必要となります．（この頁参照）
(3) ご質問の頁は２次元ベクトルを扱っていますので，図を描こうと思えば描けますが，図があっても問題が解けるわけではありません．次のような意味合いで，１つや２つは図があってもよいとは思います．
　3.1) 答が２つあって迷うような場合とか，方程式で求めた値に対して実際には図が描けないような場合に，図で検証することができる．
　3.2) 文字ばかりの教材では暑苦しいが，ワンポイントの図があればリラックスでき，結果的に学習が進む．

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