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【基本】 平面上の相異なる３点Ａ(→a)，Ｂ(→b)，Ｃ(→c)が同一直線上にないとき， 
→p=s→a+t→b+u→cs+t+u=1・・・(1) は平面全体に対応します。 
→p=s→a+t→b+u→cs+t+u=1, s≧0，t≧0，u≧0・・・(2) は△ＡＢＣの内部及び周上に対応します。 
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［解説］ (1)← →p=s→a+t→b+u→c(s+t+u=1)はuを消去して変形すると →p=s→a+t→b+(1−s−t)→c =→c+s(→a−→c)+t(→b−→c) =→OC+s→CA+t→CB まず，→OCにより原点から点Cに進み，次にs→CA+t→CBで平面全体を表すことができます。 (2)← →p=s→a+t→b+u→c(s+t+u=1, s≧0，t≧0，u≧0) =→OC+s→CA+t→CB( s≧0，t≧0，u=1−s−t≧0) =→OC+s→CA+t→CB( s≧0，t≧0，s+t≦1) は△ＡＢＣの内部及び周上となります。  |
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※条件s+t+u=1の役割 ［解説１］ ２つのベクトルだけで平面上のすべての点を表現するこ  とができるので，３つのベクトルを使うと，同一ベクトルの表し方が何通りも生じます。s+t+u=1の条件がなければ，右図のような点Pについて 1→a+0→b+1→c (s+t+u=2) 2→a+1→b+0→c (s+t+u=3) 0→a+(−1)→b+2→c (s+t+u=1) など，何通りも表し方ができます。 これを防ぎ，点と式を１対１に対応させるためには，s+t+u=1のような条件式を１つ加える必要があります．
【ここまでのポイント】
s+t+u=1 は，１つの文字uを消去することにより と読むことができます．これにより，まずCまで行って，次に - - - - もちろん，１つの文字sを消去することにより と読むこともでき，これにより，まずAまで行って，次に - - - - tを消去しても同様にできますが，とりあえず１つは確実にできるようにしましょう． |
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※条件s+t+u=1の役割 ［解説２］ 
２点が成り立ちます．（これは教科書などに書かれている基本公式です） 
この内分公式を２段階に分けて，次のように組み立てます．まず，２点 次に，２点 (1)を(2)に代入すると となるから とおくと が成り立つことになります． （逆に） のような式が与えられた場合 と変形できるので（ ABを0.3:0.2に内分する点をDとすると， CDを(0.3+0.2):0.5に内分する点がPとなる． 
このように，s,t,u>0, s+t+u=1となる実数s,t,uを用いてで表される点Pはつねに△ABCの内部にあることになります．
※ABでAから遠い方の比率がs，Bから遠い方の比率がt，CDでCから遠い方の比率がuになります
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【不等式で表される領域を考えるには】 ○  ○上の図で，s=−1,0,1,2,...となる場所を順に見て行くと，  ○上の図で，t=−1,0,1,2,...となる場所を順に見て行くと，  ○上の図で，s+t=−1,0,1,2,...となる場所を順に見て行くと，   ○これらの共通部分を考えることにより，次のような問題が解けます．
【例１】
（解答）平面上の相異なる３点 s+t+u=1, s≧0, t≧0, s+t≧1 で表される領域を答えてください． 次の桃色で示した領域（境界線を含む） 
【例２】
（解答）平面上の相異なる３点 s+t+u=1, s≦0, t≧0, s+t≦1 で表される領域を答えてください． 次の桃色で示した領域（境界線を含む）  |
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《問題》
平面上で同一直線上にない３点A(→a),B(→b),C(→c)について，次の位置ベクトル→pで示される点Ｐが存在する範囲(黄色で表示)を右から選びなさい．ただし，図において境界線はすべて含まれるものとします。 ○問題を一つクリックし，続けて対応する選択肢をクリックすると消えます．間違えば消えません．（難しいときは，計算用紙でｕを消去した式に直すとよい。） 
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