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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「ベクトル」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓ベクトルの定義
↓ベクトルの和
↓ベクトルの差
↓2点間のベクトル
↓ベクトルの実数倍
↓ベクトルの実数倍･和･差
↓ベクトルの図形への応用
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)
↓同(6)
↓内分点の内分点
↓同(2)
↓点の存在範囲
↓同(2)
↓２直線の交点1
↓２直線の交点2
↓外心,重心,垂心,内心,オイラー線-現在地
↓ベクトル成分の計算
↓ベクトルの大きさ
↓ベクトルの内積
↓ベクトルの内積（成分）
↓ベクトルのなす角
↓|a|の変形
↓ベクトルの平行条件,垂直条件
↓一直線上にある条件
↓ベクトル方程式（内積）
↓ベクトルの公式一覧
センター試験.ベクトル.三角関数(2013年～)

【このページで解説する内容】
　原点をOとし，△ABCの頂点の位置ベクトルを各々${\displaystyle A(\overrightarrow{a})}$, ${\displaystyle B(\overrightarrow{b})}$, ${\displaystyle C(\overrightarrow{c})}$とし，辺BC, CA, ABの長さを各々a, b, cで表す．
　この△ABCの重心をG，垂心をH, 内心をI，外心をJとするとき，次の関係式が成り立つ． ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{G}}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}$…(1)
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{J}}=\frac{(\sin 2A)\overrightarrow{a}+(\sin 2B)\overrightarrow{b}+(\sin 2C)\overrightarrow{c}}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}}$ …(2.1)
辺の長さも使って表せば
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{J}}=\frac{(a\cos A)\overrightarrow{a}+(b\cos B)\overrightarrow{b}+(c\cos C)\overrightarrow{c}}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}}$…(2.2)
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\frac{(\tan A)\overrightarrow{a}+(\tan B)\overrightarrow{b}+(\tan C)\overrightarrow{c}}{\tan A+\tan B+\tan C}}$…(3.1)
辺の長さも使って表せば
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\frac{{\displaystyle \frac{a}{\cos A}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{b}{\cos B}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{c}{\cos C}}\overrightarrow{c}}{{\displaystyle \frac{a}{\cos A}}+{\displaystyle \frac{b}{\cos B}}+{\displaystyle \frac{c}{\cos C}}}}$…(3.2)
※ただし，直角三角形のときは，直角となる頂点自身
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{I}}=\frac{(\sin A)\overrightarrow{a}+(\sin B)\overrightarrow{b}+(\sin C)\overrightarrow{c}}{\sin A+\sin B+\sin C}}$…(4.1)
辺の長さで表せば
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{I}}=\frac{a\overrightarrow{a}+b\overrightarrow{b}+c\overrightarrow{c}}{a+b+c}}$…(4.2)
J,G,Hは1直線上にある［オイラー線と呼ばれる］
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{J}\mathrm{H}}=3\overrightarrow{\mathrm{J}\mathrm{G}}}$…(5)
二等辺三角形の場合，内心も１直線上に並ぶ

【予備知識１】
　線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{p}$は
${\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}}$
※${\displaystyle \overrightarrow{a}}$に掛ける数は，図での見かけ上遠い方の長さn，${\displaystyle \overrightarrow{b}}$に掛ける数は，図での見かけ上遠い方の長さmとなっていることに注意（「いじ悪な」公式になっていると覚えるとよい）

【予備知識２】
　原点をOとし，△ABCの頂点の位置ベクトルを各々${\displaystyle A(\overrightarrow{a})}$, ${\displaystyle B(\overrightarrow{b})}$, ${\displaystyle C(\overrightarrow{c})}$とするとき
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{X}}=\frac{p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}}{p+q+r}(p,q,r>0)}$
によって定まる点Xは
(1)${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{X}}=\frac{(p+q){\displaystyle \frac{p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}}{p+q}}+r\overrightarrow{c}}{r+(p+q)}}$
と変形すると，ABをq:pに内分する点
${\displaystyle \frac{p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}}{q+p}}$
をRとおくと，RCをr:(p+q)に内分する点となっている．
同様にして
(2)${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{X}}=\frac{p\overrightarrow{a}+(q+r){\displaystyle \frac{q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}}{q+r}}}{(q+r)+p}}$
のようにも変形できるから，BCをr:qに内分する点
${\displaystyle \frac{q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}}{r+q}}$
を，Pとおくと，XはPAをp:(q+r)に内分する点となっている．
(3) 内分点Qと線分BQについても同様のことがいえる
逆に，上の図のようにABをq:pに内分する点をRとし，ACをr:pに内分する点をQとするとき， BQ, CRの交点Xは
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{X}}=\frac{p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}}{p+q+r}}$
を満たすこともいえる．

【予備知識３】
　原点をOとし，△ABCの頂点の位置ベクトルを各々$A(\overrightarrow{a})$, $B(\overrightarrow{b})$, $C(\overrightarrow{c})$とする．
　△ABCの内部に１点Xをとり，AXの延長が線分BCと交わる点をP，BXの延長が線分CAと交わる点をQ，CXの延長が線分ABと交わる点をRとするとき
　△XBC:△XCA:△XABの面積比をp:q:rとすると，Xの位置ベクトルは
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{X}}=\frac{p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}}{p+q+r}(p,q,r>0)}$
で表される．

重心

外心

垂心

Aが直角 ⇒ ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\overrightarrow{a}}$
Bが直角 ⇒ ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\overrightarrow{b}}$
Cが直角 ⇒ ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}=\overrightarrow{c}}$

内心

この定理は，中学校で習わない場合もあり，高校では数学Ａで平面幾何を選択することが少ないので，いずれにせよ習っていない場合があるが，ベクトルを使って次のように簡単に証明することができる．
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overrightarrow{p},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\overrightarrow{q}}$とおくとき，これらを単純に足して２で割ると，長さの長い方に引きずられて，角の二等分線にならないので，その大きさで割って，各々を単位ベクトルにしておくと，角の二等分線方向を向く．
${\displaystyle \frac{\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{p}|},\frac{\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{q}|}}$
の２つのベクトルを使って考える．
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{P}}=t(\frac{\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{p}|}+\frac{\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{q}|})}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{P}}=\overrightarrow{p}+s(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})}$
この方程式から
${\displaystyle t=\frac{|\overrightarrow{p}|\cdot |\overrightarrow{q}|}{|\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{q}|}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{P}}=\frac{|\overrightarrow{q}|\overrightarrow{p}+|\overrightarrow{p}|\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{q}|}}$
が求まる．すなわち，PはBCを$|\overrightarrow{p}|:|\overrightarrow{q}|$に内分することが言える．
※このページの先頭で述べた，△ABCの辺や角に対する通常の命名法との対応は，
$|\overrightarrow{p}|=c,|\overrightarrow{q}|=b$になります．

相互関係

外心，重心，垂心は１直線上にあることを示すことができる．（内心は，これら３点と同一直線上にあるとは限らない）

　そこで，${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{J}},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{G}},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}}$それ自体を使って，右図のようにGがJHを1:2に内分する点となっていることを示してみる．

一般に，(2次元の)3個のベクトルについては
$s_1\overrightarrow{a}+t_1\overrightarrow{b}+u_1\overrightarrow{c}$
$=s_2\overrightarrow{a}+t_2\overrightarrow{b}+u_2\overrightarrow{c}$
$\stackrel{\stackrel{\times }{\to }}{\underset{\circ }{\leftarrow }}{s}_1=s_2,t_1=t_2,u_1=u_2$
の関係に気を付けなければならないが，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$の係数が各々等しければ，和も等しい（←方向）ことは言える．

（途中経過）
${\displaystyle \sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}$
${\displaystyle =2\sin (A+B)\cos (A-B)+\sin 2C}$
${\displaystyle =2\sin (\pi -C)\cos (A-B)+\sin 2C}$
${\displaystyle =2\sin C\cos (A-B)+2\sin C\cos C}$
${\displaystyle =2\sin C\{\cos (A-B)+\cos C\}}$
${\displaystyle =2\sin C[\cos (A-B)+\cos \{\pi -(A+B)\}]}$
${\displaystyle =2\sin C\{\cos (A-B)-\cos (A+B)\}}$
${\displaystyle =2\sin C\{-2\sin A\sin (-B)\}}$
${\displaystyle =4\sin A\sin B\sin C}$

（途中経過）
${\displaystyle \tan C=\tan \{\pi -(A+B)\}=-\tan (A+B)}$
${\displaystyle =-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}}$
分母を払うと
${\displaystyle \tan C(1-\tan A\tan B)=-(\tan A+\tan B)}$
${\displaystyle \tan C-\tan C\tan A\tan B=-\tan A-\tan B}$
${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C}$

勉強になりました。ありがとうございます。 　角の２等分線の説明のでは、AB=b AC=c ですが、内心の解説では、AB=c, AC=bとなっており、読んでいて躊躇しました。 また、内心の解説で、BP:PC=AB:AC=b:c と記述があります。図からは、 BP:PC=AB:AC=c:b となります。後者が正しいと思いますがいかがでしょうか。 　角の２等分線の説明の記号は、ABCを使わず、UVRとか別な記号を使うといいかもです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図の方を直しました．