ベクトルと三角関数で表した内心，外心，重心，垂心

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== 三角形の重心,内心,外心,垂心(ベクトル,三角関数) ==

【このページで解説する内容】

各々その項目をクリックすれば解説にジャンプします

　原点をOとし，△ABCの頂点の位置ベクトルを各々

A (\vec{a})

B (\vec{b})

C (\vec{c})

とし，辺BC, CA, ABの長さを各々a, b, cで表す．
　この△ABCの重心をG，垂心をH, 内心をI，外心をJとするとき，次の関係式が成り立つ．

外心はOで表されることが多いが，ここでは原点のOと区別するため，別の記号を用いた

重心

\vec{O G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}

…(1)

外心

\vec{O J} = \frac{(\sin 2 A) \vec{a} + (\sin 2 B) \vec{b} + (\sin 2 C) \vec{c}}{\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C}

…(2.1)
辺の長さも使って表せば

\vec{O J} = \frac{(a \cos A) \vec{a} + (b \cos B) \vec{b} + (c \cos C) \vec{c}}{a \cos A + b \cos B + c \cos C}

…(2.2)

垂心

\vec{O H} = \frac{(\tan A) \vec{a} + (\tan B) \vec{b} + (\tan C) \vec{c}}{\tan A + \tan B + \tan C}

…(3.1)
辺の長さも使って表せば

\vec{O H} = \frac{\frac{a}{\cos A} \vec{a} + \frac{b}{\cos B} \vec{b} + \frac{c}{\cos C} \vec{c}}{\frac{a}{\cos A} + \frac{b}{\cos B} + \frac{c}{\cos C}}

…(3.2)
※ただし，直角三角形のときは，直角となる頂点自身

内心

\vec{O I} = \frac{(\sin A) \vec{a} + (\sin B) \vec{b} + (\sin C) \vec{c}}{\sin A + \sin B + \sin C}

…(4.1)
辺の長さで表せば

\vec{O I} = \frac{a \vec{a} + b \vec{b} + c \vec{c}}{a + b + c}

…(4.2)

相互関係

J,G,Hは1直線上にある［オイラー線と呼ばれる］

\vec{J H} = 3 \vec{J G}

…(5)
二等辺三角形の場合，内心も１直線上に並ぶ

【予備知識１】

　線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトル

\vec{p}

は

\vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}

※

\vec{a}

に掛ける数は，図での見かけ上遠い方の長さn，

\vec{b}

に掛ける数は，図での見かけ上遠い方の長さmとなっていることに注意（「いじ悪な」公式になっていると覚えるとよい）

【例】
線分ABを2:3に内分する点Pの位置ベクトル

\vec{p}

は

\vec{p} = \frac{3 \vec{a} + 2 \vec{b}}{5}

このようにPをA寄りの点にするには（Aに「ひいき」するには）Aに掛ける数字を大きくすることになる

【予備知識２】

　原点をOとし，△ABCの頂点の位置ベクトルを各々

A (\vec{a})

B (\vec{b})

C (\vec{c})

とするとき

\vec{O X} = \frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r} (p, q, r > 0)

によって定まる点Xは
(1)

\vec{O X} = \frac{(p + q) \frac{p \vec{a} + q \vec{b}}{p + q} + r \vec{c}}{r + (p + q)}

と変形すると，ABをq:pに内分する点

\frac{p \vec{a} + q \vec{b}}{q + p}

をRとおくと，RCをr:(p+q)に内分する点となっている．
同様にして
(2)

\vec{O X} = \frac{p \vec{a} + (q + r) \frac{q \vec{b} + r \vec{c}}{q + r}}{(q + r) + p}

のようにも変形できるから，BCをr:qに内分する点

\frac{q \vec{b} + r \vec{c}}{r + q}

を，Pとおくと，XはPAをp:(q+r)に内分する点となっている．
(3) 内分点Qと線分BQについても同様のことがいえる

逆に，上の図のようにABをq:pに内分する点をRとし，ACをr:pに内分する点をQとするとき，

このとき平面幾何のチェバの定理により
BP:PC=r:qになる

BQ, CRの交点Xは

\vec{O X} = \frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r}

を満たすこともいえる．

（参考）
　内分点を組み立てていく操作は，何回でも行うことができ，例えば右図のような四角形ABCDについて

\vec{O X} = \frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c} + s \vec{d}}{p + q + r + s}

(p, q, r, s > 0)

によって定まる点Xは
(1)

\vec{O X} = \frac{(p + q) \frac{p \vec{a} + q \vec{b}}{p + q} + (r + s) \frac{r \vec{c} + s \vec{d}}{r + s}}{(r + s) + (p + q)}

と変形すれば，右図のEGを(r+s):(p+q)に内分する点となる．
(2)

\vec{O X} = \frac{(p + s) \frac{p \vec{a} + s \vec{d}}{p + s} + (q + r) \frac{q \vec{b} + r \vec{c}}{q + r}}{(q + r) + (p + s)}

と変形すれば，右図のHFを(q+r):(p+s)に内分する点となる．
(3)

\vec{O X} = \frac{(p + q + r) \frac{(p + q) \frac{p \vec{a} + q \vec{b}}{p + q} + r \vec{c}}{p + q + r} + s \vec{d}}{((p + q) + r) + s}

と変形すれば，右図のECをr:(p+q)に内分する点をJとするとき，JDをs:(p+q+r)に内分する点となる．
※(1)(2)(3)は同じ位置ベクトルであるから，同一の点を表す．（上記のように作った線分は１点で交わるともいえる）

【予備知識３】

　原点をOとし，△ABCの頂点の位置ベクトルを各々

A (\vec{a})

B (\vec{b})

C (\vec{c})

とする．
　△ABCの内部に１点Xをとり，AXの延長が線分BCと交わる点をP，BXの延長が線分CAと交わる点をQ，CXの延長が線分ABと交わる点をRとするとき
　△XBC:△XCA:△XABの面積比をp:q:rとすると，Xの位置ベクトルは

\vec{O X} = \frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r} (p, q, r > 0)

で表される．

(1) △XBCと△XCAは底辺が共通のXCで，高さの比はその底辺に引いた垂線の長さの比になるが，垂線の長さ自体は図に直接書かれていなくても，XCに交わる線分BR:RAに等しいと言える．
　底辺が共通で高さの比が，BR:RAだから，面積の比はBR:RAに等しい．
したがって，BR:RA=p:q
同様にして
(2) △XBCと△XABは底辺が共通のXBで，高さの比はその底辺に引いた垂線の長さの比になるが，垂線の長さ自体は図に直接書かれていなくても，XBに交わる線分CQ:QAに等しいと言える．
　底辺が共通で高さの比が，CQ:QAだから，面積の比はCQ:QAに等しい．
したがって，CQ:QA=p:r
同様にして(3)BP:PC=r:qも言える．
(1)(2)(3)から定まる点Xは【予備知識２】の図と同じであるから，Xの位置ベクトルは

\vec{O X} = \frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r}

になる．

重心

\vec{O G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}

（解説）
　高校の授業や教科書では通常，右図の茶色で示したように，「重心とは」線分ABの中点Rと頂点Cを結ぶ線分CRを2:1に内分する点として導入するので

\vec{O G} = \frac{2 \frac{1 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}}{2} + \vec{c}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}

が得られる．

　これに対して，右図で緑色で示したように，「重心とは」ABの中点Rと頂点Cを結ぶ線分CRと，CAの中点Qと頂点Bを結ぶ線分BQの交点として導入すると（３本目も１点で交わることは知られているから２本の交点を求めればよい），

　右図においてp:q:r=1:1:1とすると

\vec{O G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}

で定まる点Gは，

\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{(1 + 1) \frac{1 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}}{1 + 1} + \vec{c}}{3}

= \frac{(1 + 1) \frac{1 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{c}}{1 + 1} + \vec{b}}{3}

となって，CRの内分点でもあり，BQの内分点にもなっているから，これらの交点，すなわち重心を表す．

直線のベクトル方程式の交点を求めてもよいが，次のような形で求めると，「一般に２次元ベクトルでは３つのベクトルが１次独立とは言えない」から，係数比較をする根拠が崩れる．（

p_{1} \vec{a} + q_{1} \vec{b} + r_{1} \vec{c} = p_{2} \vec{a} + q_{2} \vec{b} + r_{2} \vec{c}

から

p_{1} = p_{2}, q_{1} = q_{2}, r_{1} = r_{2}

をいうには無理がある．）

\vec{O G} = \vec{c} + s (\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c})

…(*1)

\vec{O G} = \vec{b} + t (\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b})

…(*2)
これを避けるため，Aを原点として，平行でなくかつ零ベクトルでもない２つのベクトル

\vec{b}, \vec{c}

を用いて求めると

\vec{O G} = \vec{c} + s (\frac{\vec{b}}{2} - \vec{c})

…(1)

\vec{O G} = \vec{b} + t (\frac{\vec{c}}{2} - \vec{b})

…(2)
から，

s = t = \frac{2}{3}

として

\vec{O G} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}

が得られる．

外心

\vec{O J} = \frac{(\sin 2 A) \vec{a} + (\sin 2 B) \vec{b} + (\sin 2 C) \vec{c}}{\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C}

…(2.1)

（解説）
△ABCの外接円の中心（外心）をJとおくと，中学校で習う円周角の定理により，中心角は円周角の２倍になるから，∠BJC=2A, ∠CJA=2B, ∠AJB=2Cとなる．

Δ B J C = \frac{1}{2} \times R \times R \times \sin 2 A

Δ C J A = \frac{1}{2} \times R \times R \times \sin 2 B

Δ A J B = \frac{1}{2} \times R \times R \times \sin 2 C

したがって，これらの面積比は

Δ B J C : Δ C J A : Δ A J B = \sin 2 A : \sin 2 B : \sin 2 C

【予備知識３】の結果から

\vec{O J} = \frac{(\sin 2 A) \vec{a} + (\sin 2 B) \vec{b} + (\sin 2 C) \vec{c}}{\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C}

辺の長さも使って表せば

\vec{O J} = \frac{(a \cos A) \vec{a} + (b \cos B) \vec{b} + (c \cos C) \vec{c}}{a \cos A + b \cos B + c \cos C}

…(2.2)
（解説）
２倍角公式によりsin2A=2sinAcosA
正弦定理により

\sin A = \frac{a}{2 R}

\sin 2 A = 2 \frac{a}{2 R} \cos A = \frac{a \cos A}{R}

B, Cについても同様であるから

\vec{O J} = \frac{(\sin 2 A) \vec{a} + (\sin 2 B) \vec{b} + (\sin 2 C) \vec{c}}{\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C}

= \frac{\frac{a \cos A}{R} \vec{a} + \frac{b \cos B}{R} \vec{b} + \frac{c \cos C}{R} \vec{c}}{\frac{a \cos A}{R} + \frac{b \cos B}{R} + \frac{c \cos C}{R}}

= \frac{(a \cos A) \vec{a} + (b \cos B) \vec{b} + (c \cos C) \vec{c}}{a \cos A + b \cos B + c \cos C}

垂心

\vec{O H} = \frac{(\tan A) \vec{a} + (\tan B) \vec{b} + (\tan C) \vec{c}}{\tan A + \tan B + \tan C}

…(3.1)

（解説）
△ARC, △BRCは直角三角形だから
CR=BRtanB=ARtanA
だから
AR:RB=tanB:tanA
同様にして
AQ:QC=tanC:tanA
BP:PC=tanC:tanB
【予備知識２】の内容と照らし合わせると，

\vec{O H} = \frac{(\tan A) \vec{a} + (\tan B) \vec{b} + (\tan C) \vec{c}}{\tan A + \tan B + \tan C}

辺の長さも使って表せば

\vec{O H} = \frac{\frac{a}{\cos A} \vec{a} + \frac{b}{\cos B} \vec{b} + \frac{c}{\cos C} \vec{c}}{\frac{a}{\cos A} + \frac{b}{\cos B} + \frac{c}{\cos C}}

…(3.2)
（解説）
(3.1)を

\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{a}{2 R \cos A}

を使って変形すると（B, Cも同様）

\vec{O H} = \frac{\frac{a}{2 R \cos A} \vec{a} + \frac{b}{2 R \cos B} \vec{b} + \frac{c}{2 R \cos C} \vec{c}}{\frac{a}{2 R \cos A} + \frac{b}{2 R \cos B} + \frac{c}{2 R \cos C}}

= \frac{\frac{a}{\cos A} \vec{a} + \frac{b}{\cos B} \vec{b} + \frac{c}{\cos C} \vec{c}}{\frac{a}{\cos A} + \frac{b}{\cos B} + \frac{c}{\cos C}}

※(3.1)(3.2)いずれも１つの角が90°のときは式が定義されないが，例えばAが直角のときは，右図のようにその頂点Aが垂心になる．B, Cが直角の場合も同様．

Aが直角 ⇒

\vec{O H} = \vec{a}

Bが直角 ⇒

\vec{O H} = \vec{b}

Cが直角 ⇒

\vec{O H} = \vec{c}

内心

辺の長さで表せば

\vec{O I} = \frac{a \vec{a} + b \vec{b} + c \vec{c}}{a + b + c}

…(4.1)
（解説）

　三角形の各頂点から内心に引いた直線は，頂点の角の二等分線になる．
（これは，右図においてAPが∠Aの二等分線になるということで，一般には×印で示した内接円と辺BCの接点を通るとは限らない．）
　平面幾何の角の二等分線に関する定理によれば，このような場合，BP:PC=AB:AC=c:bが成り立つ．（ただし，緑色の数値は比率）

この定理は，中学校で習わない場合もあり，高校では数学Ａで平面幾何を選択することが少ないので，いずれにせよ習っていない場合があるが，ベクトルを使って次のように簡単に証明することができる．

\vec{A B} = \vec{p}, \vec{A C} = \vec{q}

とおくとき，これらを単純に足して２で割ると，長さの長い方に引きずられて，角の二等分線にならないので，その大きさで割って，各々を単位ベクトルにしておくと，角の二等分線方向を向く．

\frac{\vec{p}}{| \vec{p} |}, \frac{\vec{q}}{| \vec{q} |}

の２つのベクトルを使って考える．

\vec{A P} = t (\frac{\vec{p}}{| \vec{p} |} + \frac{\vec{q}}{| \vec{q} |})

\vec{A P} = \vec{p} + s (\vec{q} - \vec{p})

この方程式から

t = \frac{| \vec{p} | \cdot | \vec{q} |}{| \vec{p} | + | \vec{q} |}

\vec{A P} = \frac{| \vec{q} | \vec{p} + | \vec{p} | \vec{q}}{| \vec{p} | + | \vec{q} |}

が求まる．すなわち，PはBCを

| \vec{p} | : | \vec{q} |

に内分することが言える．
※このページの先頭で述べた，△ABCの辺や角に対する通常の命名法との対応は，

| \vec{p} | = c, | \vec{q} | = b

になります．

同様にして，AR:RB=b:a, CQ:QA=a:cも言えるから，【予備知識２】の結果を使うと

\vec{O I} = \frac{a \vec{a} + b \vec{b} + c \vec{c}}{a + b + c}

\vec{O I} = \frac{(\sin A) \vec{a} + (\sin B) \vec{b} + (\sin C) \vec{c}}{\sin A + \sin B + \sin C}

…(4.2)
（解説）
(4.1)の結果に，正弦定理を用いてa=2RsinA（b,cも同様）を代入すると

\vec{O I} = \frac{(2 R \sin A) \vec{a} + (2 R \sin B) \vec{b} + (2 R \sin C) \vec{c}}{2 R \sin A + 2 R \sin B + 2 R \sin C}

= \frac{(\sin A) \vec{a} + (\sin B) \vec{b} + (\sin C) \vec{c}}{\sin A + \sin B + \sin C}

相互関係

J,G,Hは1直線上にある［オイラー線と呼ばれる］

\vec{J H} = 3 \vec{J G}

…(5)
（解説）

外心，重心，垂心は１直線上にあることを示すことができる．（内心は，これら３点と同一直線上にあるとは限らない）

　(5.1)を直接示そうとすると，

\vec{O J}, \vec{O G}, \vec{O H}

の差を比較することになるが，これらはすでに複雑な三角関数の分数式になっているので，通分などが容易ではない．

　そこで，

\vec{O J}, \vec{O G}, \vec{O H}

それ自体を使って，右図のようにGがJHを1:2に内分する点となっていることを示してみる．

\vec{O J} = \frac{(\sin 2 A) \vec{a} + (\sin 2 B) \vec{b} + (\sin 2 C) \vec{c}}{\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C}

\vec{O G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}

\vec{O H} = \frac{(\tan A) \vec{a} + (\tan B) \vec{b} + (\tan C) \vec{c}}{\tan A + \tan B + \tan C}

より

\frac{2 \vec{O J} + \vec{O H}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}

を示せばよい．すなわち

2 \vec{O J} + \vec{O H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}

…(*)
を示せばよい．

一般に，(2次元の)3個のベクトルについては

s_{1} \vec{a} + t_{1} \vec{b} + u_{1} \vec{c}

= s_{2} \vec{a} + t_{2} \vec{b} + u_{2} \vec{c}

\overset{\overset{\times}{\to}}{\underset{\circ}{\leftarrow}} s_{1} = s_{2}, t_{1} = t_{2}, u_{1} = u_{2}

の関係に気を付けなければならないが，

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

の係数が各々等しければ，和も等しい（←方向）ことは言える．

(*)において，左辺の

\vec{a}

の係数は

2 \frac{\sin 2 A}{\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C} + \frac{\tan A}{\tan A + \tan B + \tan C}

…(**)

　(**)の第1項の分母は，和積の公式と２倍角公式を使って次のように変形できる．

\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C = 4 \sin A \sin B \sin C

（途中経過）

\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C

= 2 \sin (A + B) \cos (A - B) + \sin 2 C

= 2 \sin (π - C) \cos (A - B) + \sin 2 C

= 2 \sin C \cos (A - B) + 2 \sin C \cos C

= 2 \sin C {\cos (A - B) + \cos C}

= 2 \sin C [\cos (A - B) + \cos {π - (A + B)}]

= 2 \sin C {\cos (A - B) - \cos (A + B)}

= 2 \sin C {- 2 \sin A \sin (- B)}

= 4 \sin A \sin B \sin C

　(**)の第2項の分母は，加法定理を使って次のように変形できる．

\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C

（途中経過）

\tan C = \tan {π - (A + B)} = - \tan (A + B)

= - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

分母を払うと

\tan C (1 - \tan A \tan B) = - (\tan A + \tan B)

\tan C - \tan C \tan A \tan B = - \tan A - \tan B

\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C

以上のように分母を変形すると(**)は，次の形になる

2 \frac{\sin 2 A}{4 \sin A \sin B \sin C} + \frac{\tan A}{\tan A \tan B \tan C}

= \frac{4 \sin A \cos A}{4 \sin A \sin B \sin C} + \frac{1}{\tan B \tan C}

= \frac{\cos A}{\sin B \sin C} + \frac{\cos B \cos C}{\sin B \sin C}

= \frac{\cos {π - (B + C)}}{\sin B \sin C} + \frac{\cos B \cos C}{\sin B \sin C}

= \frac{- \cos (B + C)}{\sin B \sin C} + \frac{\cos B \cos C}{\sin B \sin C}

= \frac{- \cos B \cos C + \sin B \sin C}{\sin B \sin C} + \frac{\cos B \cos C}{\sin B \sin C}

= \frac{\sin B \sin C}{\sin B \sin C} = 1

これにより，(*)左辺の

\vec{a}

の係数が１になることが示された．
同様にして，(*)左辺の

\vec{b}, \vec{c}

の係数も１になるから，結局(*)が成立することが示される．

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∀∅ フーガト短調 BWV578 ♪♫

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角形の重心,内心,外心,垂心(ベクトル,三角関数) について／18.7.12］

勉強になりました。ありがとうございます。　角の２等分線の説明のでは、AB=b AC=c ですが、内心の解説では、AB=c, AC=bとなっており、読んでいて躊躇しました。また、内心の解説で、BP:PC=AB:AC=b:c と記述があります。図からは、 BP:PC=AB:AC=c:b となります。後者が正しいと思いますがいかがでしょうか。　角の２等分線の説明の記号は、ABCを使わず、UVRとか別な記号を使うといいかもです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図の方を直しました．

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