現在地と前後の項目

確率変数と確率分布(1)/確率変数，確率分布(2)/期待値/分散，標準偏差/期待値，分散，標準偏差/代表値（平均値，中央値，最頻値）/度数分布表→平均値,分散,標準偏差/度数分布表をExcelで/度数分布表，相対度数分布表/分割表(クロス集計表)，散布図の作成/散布図とクロス集計/確率変数の変換(1)/確率変数の変換(2)/同時確率分布，周辺分布/資料の散布度/共分散,相関係数/チェビシェフの不等式/ベクトルの内積と相関係数/二項分布/連続型確率分布/正規分布(1)/正規分布(2)/二項分布の正規近似/母平均,母比率の推定/同［練習問題］/母平均，母比率の検定(大標本)/母集団，標本/総和記号Σ(シグマ)に慣れよう(1)/総和記号Σ(シグマ)に慣れよう(2)/センター試験.確率分布 統計(2013年～)/

■　Σ記号に慣れよう(Σ記号の値をExcelで求めるには)

■解説

(1)　10Σk = 1Σik を数値で求めるには：


　右図のようにセルA1に1，A2に2，･･･，A10に10を書き込んでおき(*1)，セルA11に関数
=SUM(A1:A10)
を書き込む(*2)．セルA11の値が答．
（初歩的な参考）
(*1)　セルA1～A10に，1～10を書き込むには
  • A1に１を書き込む
  • A1～A10をドラッグにより反転表示にする
  • メニューから「編集」→「フィル」→「連続データの作成」→「範囲：列，種類：加算，増分値：1　ＯＫ」
(*2)　セルA11に =SUM(A1:A10) を書き込むには，次のうちいずれか１つのの操作を行えばよい（１つだけ）
  1. セルA11をポイントし，ショートカットアイコンのΣをクリックする．（この問題のように連続データに続くセルでΣをクリックすると，自動的に隣接する数値データの範囲全体を加えることが多いが，求めるものと異なるときは，引き続いてドラッグし直すとよい．）
  2. メニューから「挿入」→「関数」→「数学／三角でSUM」→「数値1のところでをクリックし，A1～A10までをドラッグ（数値2の欄は空白のままにする）」
  3. セルA11に半角英数字で直接 =SUM(A1:A10) と書き込む（A1とA10の間にはセミコロン(;)でなく，コロン(:)を書き込む）
.
(2)　10Σk = 1Σik2 を数値で求めるには：
  • 右図のようにセルA1に1，A2に2，･･･，A10に10を書き込んでおき(上の例(1))，
  • 次に，セルB1に =A1^2 （^2は2乗を表わす）と書き込む
  • セルB1をポイントし，右下でマウスの形が＋になったら，B10までドラッグする（または，B1をコピーし，B2からB10までに貼り付ける=数式の貼り付けにより各々のセルの左のセルの値の２乗が得られる）．
  • セルA11に関数
    =SUM(B1:B10)
    を書き込む．セルB11の値が答．
(3)　右のようにA1～A5に数値 x1～x5 が書き込まれていて，これらの平均値を m とするとき，

.5Σk = 1Σi(xk−m)2

を求めるには：
  • まず平均値 m をセルA6に書き込む：
    • セルA6に=AVERAGE(A1:A5) と書き込む．
    • または，メニューから「挿入」→「関数」→「統計」→「AGERAGE」→「数値1のところでをクリックし，A1～A5までをドラッグ（数値2の欄は空白のままにする）」
  • 次に，セルB1に
    =(A1-$A$6)^2
    と書き込む．（$A$6とするところが重要．今の場合A$6でもよいが，とにかく式のコピー&貼り付けをするときに，平均値のセルA6が動かないことが重要）
  • セルB1をポイントし，右下でマウスの形が＋になったら，B5までドラッグする（または，B1をコピーし，B2からB5までに貼り付ける）．
  • セルB6に関数
    =SUM(B1:B5)
    を書き込む．セルB6の値が答．

■問題１　上の解説を参考にして，Excelを用いて次の値を求めなさい．

(1)

. 10Σk = 1Σi(2k+1) =



(2)

. 10Σk = 1Σi(2k−1)2 =


(3)
　右図のようにA1～D1に数値 x1～x4 が書き込まれていて，A2～D2に数値 y1～y4 が書き込まれているとき，


.4Σk = 1Σi(xk−yk )2

の値を求めなさい．（右図の値で計算しなさい）

.



解説 統計でよく使われる量とExcelでの計算
統計で使われる量 Excelでの計算
○　平均値
　n個の変数 x1，x2，x3，･･･，xn の平均値 mは，


.m = .1nn{x1+x2+x3+･･･++xn}
で定義される．
　Σ記号を用いれば，
.m = .1nnnΣk = 1Σixk
と書ける．		 　次のように，変数x1，x2，x3，･･･，x5 の値がセルA1～A5に入力されているとき，

.
これら5つの変数の平均値は，=AVERAGE(A1:A5) で求められる．
（　=SUM(A1:A5)/COUNT(A1:A5) に等しい　）
○　変動（偏差平方和）

　n個の変数 x1，x2，x3，･･･，xn の平均値を mとするとき，変動（偏差平方和） S は

.S=(x1−m)2+(x2−m)2+(x3−m)2+･･･+(xn−m)2

で定義される．
　Σ記号を用いれば，

. S=nΣk = 1Σi(xk−m)2
と書ける．		 　次のように，変数x1，x2，x3，･･･，x5 の値がセルA1～A5に入力されているとき，

.
これら5つの変数の変動は，
(1) A6 に平均値を求める：=AVERAGE(A1:A5)
(2) B1に=(A1-$A$6)^2と書き込むみ，B5までコピー貼り付け
(3) B6に=SUM(B1:B5) ･･･これが変動
○　分散
　分散はデータのばらつき具合を表わす量で，n個の変数 x1，x2，x3，･･･，xn の分散は，平均値を mとするとき


.V = .1nn{(x1−m)2+(x2−m)2+(x3−m)2+･･･+(xn−m)2}

で定義される．
　これはΣ記号を用いて，

.V = .1nnnΣk = 1Σi(xk−m)2
と書ける．

※　上に述べた変動（偏差平方和） S との関係は


. S=nV , V=.Snn
 　次のように，変数x1，x2，x3，･･･，x5 の値がセルA1～A5に入力されているとき，

.
これら5つの変数の分散は，=VARP(A1:A5) で求めることができる．
　Excelのメニューから関数を選択するときは，メニュー→「挿入」→「関数」→「統計」→VARP
※　Excel関数として，よく似たものが他にもあるので注意
※　分散は，1つの関数で直接求められるようになっている．
※　これを用いれば，上に述べた変動（偏差平方和）は，
=VARP(範囲)*個数で求められる．
○　不偏分散
　分散と同様にデータのばらつきを表わす量であるが，n個の変数 x1，x2，x3，･･･，xn が母集団から取られた標本であるとき，母集団の分散の推定値を不偏分散という．
　不偏分散は，


..1n-1nnn{(x1−m)2+(x2−m)2+(x3−m)2+･･･+(xn−m)2}

で定義される．
　これはΣ記号を用いて，

..1n-1nnnnΣk = 1Σi(xk−m)2
と書ける．
※　不偏分散の方が単純に求めた分散よりも少し大きい．
※　（不偏分散）×(n -1)=変動=(分散)×(n) が成り立つ．		 　次のように，変数x1，x2，x3，･･･，x5 の値がセルA1～A5に入力されているとき，

.
これら5つの変数の不偏分散は，=VAR(A1:A5) で求められる．
　Excelのメニューから関数を選択するときは，メニュー→「挿入」→「関数」→「統計」→VAR
※　Excel関数として，よく似たものが他にもあるので注意
○　（単純）標準偏差
　n個の変数 x1，x2，x3，･･･，xn の標準偏差 s は，平均値を mとするとき，
s=.√.1nn{(x1−m)2+(x2−m)2+(x3−m)2+･･･+(xn−m)2}√nnnnnnnnnnnnnnnnnnni

　これは，Σ記号を用いて，

. s=.√.1nnnΣk_=_1Σi(xk−m)2√nnnnnni

と書ける．
※　上に述べた分散 V との関係は，

. s2=V
　次のように，変数x1，x2，x3，･･･，x5 の値がセルA1～A5に入力されているとき，

.
これら5つの変数の標準偏差は，=STDEVP(A1:A5) で求められる．
　Excelのメニューから関数を選択するときは，メニュー→「挿入」→「関数」→「統計」→STDEVP
※　Excel関数として，よく似たものが他にもあるので注意
○　（標本からの推定した母集団の）標準偏差
　n個の標本 x1，x2，x3，･･･，xn から推定される母集団の標準偏差 σ は，平均値を mとするとき，
σ=.√_.1n-1nn{(x1−m)2+(x2−m)2+(x3−m)2+･･･+(xn−m)2}√nnnnnnnnnnnnnnnnnnnni

　これは，Σ記号を用いて，

.σ=.√_.1n-1nnnΣk_=_1Σi(xk−m)2√nnnnnnni

と書ける．
※　上に述べた不偏分散の正の平方根となっている．
 　次のように，変数x1，x2，x3，･･･，x5 の値がセルA1～A5に入力されているとき，
これら5つの標本から推定される母集団の標準偏差は，=STDEV(A1:A5) で求められる．
　Excelのメニューから関数を選択するときは，メニュー→「挿入」→「関数」→「統計」→STDEV
※　Excel関数として，よく似たものが他にもあるので注意
○　ベクトルの内積（Excelの用語では配列の積）
　２つのベクトル
−−>uw=(x1 , x2 , x3 , ... , xn)
−−>vw=(y1 , y2 , y3 , ... , yn)
の内積は，

.−−>uw·−−>vw=x1y1+x2y2+x3y3 ... + xnyn

で定義される．
　これは，Σ記号を用いて，

.−−>uw·−−>vw=nΣk = 1Σixkyk
と書ける．

　ベクトル −−>uw=(x1 , x2 , x3 , ... , xn) の大きさ |−−>uw| は，

.|−−>uw|=.√x12+x22+x32_..._+_xn2√nnnnnnnnni

で定義される．
　これはΣ記号を用いれば，

.|−−>uw|=.√nΣk_=_1Σixk2√nnni
と書かれる．
.

　次のように，ベクトル −−>uw　の成分 x1，x2，x3，･･･，x5 がセルA1～A5に入力されており，
　ベクトル −−>vw　の成分 y1，y2，y3，･･･，y5 がセルB1～B5に入力されているとき，
これら２つのベクトルの内積 −−>uw·−−>vw は，
=SUMPRODUCT(A1:A5,B1:B5) で求めることができる．
　　［　積（PRODUCT）の和（SUM）の意味　］
　Excelのメニューから関数を選択するときは，メニュー→「挿入」→「関数」→「数学／三角」→SUMPRODUCT
（配列１にA1:A5，配列2にB1:B5を指定する．配列3は空白）

※　SUMPRODUCTは要素数が等しい列と列，行と行に使える．
※　C1に=A1*B1とし，この式をC2からC5にコピー貼り付けの後，C6に=SUM(C1:C5) としても同じ結果が得られる．

■問題2　上の解説を参考にして，Excelを用いて次の値を求めなさい．

　右の表において，セルA1～A10に入力されている値を，各々x1 , x2 , x3 , ... , x10 とし，セルB1～B10に入力されている値を各々y1 , y2 , y3 , ... , y10 とするとき，次の値を求めなさい．
　なお，これらの値を転記するには，画面上でドラッグ・コピーし，Excel上に貼り付けるとよい．
　
(1)　.110nn10Σk = 1Σixk=


(2)　x1 , x2 , x3 , ... , x10 の平均値を m とするとき，

　　　10Σk = 1Σi(xk−m)2=


(3)　　x1 , x2 , x3 , ... , x10 の平均値を m とするとき，

　　　.110nn10Σk = 1Σi(xk−m)2=


(4)　　　x1 , x2 , x3 , ... , x10 の平均値を m とするとき，

　　　.19n10Σk = 1Σi(xk−m)2=

(小数第2位まで求めなさい．)

(5)　　10Σk = 1Σixkyk=


(6)　　x1 , x2 , x3 , ... , x10 の平均値を m ，y1 , y2 , y3 , ... , y10 の平均値を n とするとき，

　　　10Σk = 1Σi(xk−m)(yk−n)=


(7)　　x1 , x2 , x3 , ... , x10 の平均値を mとするとき，

　　　.√_.19n10Σk_=_1Σi(xk−m)2√nnnnnnni=


(小数第2位まで求めなさい．)
　 A B
1 3 1
2 4 -2
3 4 3
4 5 2
5 5 -2
6 5 4
7 6 -1
8 6 -3
9 7 2
10 8 3
























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