→ 携帯版は別頁

【復習】（反復試行の確率）
　１回の試行で事象Ａが起る確率をpとするとき，この試行をn回繰り返して，事象Ａがちょうどr回起る確率は
ただし，q=1−p
r=0, 1, 2, ..., n−1, n

【例１】
　10円硬貨を５回投げるとき，表がちょうど２回出る確率

【例２】
　正しく作られたさいころは，６回のうち１回の割合で１の目が出るようになっています．このさいころを６回投げたとき，１の目が１回出る確率を求めてください．

　６回投げると１の目が「必ず」１回出るという意味に解釈すると，問題が成り立たなくなります．
　６回投げたときに，１の目から６の目までが完全に１回ずつ出るようなさいころは，正しく作られたさいころではないことは，経験的にも分かるはずです：１の目から５の目までが出たときに，次は「必ず」６の目が出るようになっていれば，それは確率的な動きではなく，「いかさま賭博のさいころ」になります．
　６回のうち１回の「割合」で１の目が出るとは，１回の 試行で１の目が出る確率がp=ということです．

【復習問題１】
　10円硬貨を4回投げるとき，ちょうど2回表が出る確率を求めてください．
1 2 3 4

HELP

　反復試行の確率の公式において， n=4, r=2, p=, q=を代入 4C2 ()2()2=6×=

【復習問題２】
　100円硬貨を10枚同時に投げるとき，少なくとも１枚表が出る確率を求めてください．


（次のうちで最も近い値を選んでください．）

10.9 20.99 30.999 40.9999 50.99999

HELP

　独立試行の定理（=反復試行の確率の公式）において， n=10, r=0, p=, q=を代入すると 　全部裏が出る確率は 10C0 ()0()10=
　余事象の定理により，
（少なくとも１枚表が出る確率）＝１−（全部裏が出る確率）
を求めると
1−==0.9990234

【復習問題３】
　さいころを３回投げたとき，５以上の目がちょうど２回出る確率を求めてください．

1 2 3 4 5

HELP

　さいころを１回投げたとき，目の出方{1,2,3,4,5,6}のうちで５以上の目が出るのは{5,6}の2通りだから，反復試行の確率の公式において， n=3, r=2, p=, q=を代入 3C2 ()2()1=3×=

（二項分布という名前）
二項の和のｎ乗を展開したときの各項がこの確率になるので，上記の確率分布を二項分布といいます．
(p+q)n=nC0 p0qn+nC1 p1qn−1+...+nCn pnq0

この記号は，f(x, y)=x2yや5C2=10のような値をあらわすものではなく，単に「１回の試行である事象が起る確率がpであるとき，その試行をn回反復するときに，その事象が起る回数を表す二項分布」ということを短く書いただけのものです．
【例】
　B(5, )は，「１回の試行である事象が起る確率が
であるとき，その試行を5回繰り返したときに，その事象が起る回数の二項分布」を表します．
　B(2, )は，「１回の試行である事象が起る確率が
であるとき，その試行を2回繰り返したとき，その事象が起る回数の二項分布」を表します．

この言い方については，難しく考えずに慣れればよい．

【例３】
　確率変数Xが二項分布B(5, )に従うとき，X=3となる確率を求めてください．

例えば，10円硬貨を１回投げたときに，表が出る確率は
p=で，この試行をn=5回繰り返してちょうどX=3回表が
出る確率を求めることに対応しています．

【例４】
　確率変数Xが二項分布B(2, )に従うとき，X=1となる確率を求めてください．

例えば，さいころを１回投げたときに，１の目が出る確率
はp=で，この試行をn=2回繰り返してちょうどX=1 回１の目が出る確率を求めることに対応しています．

【例４】
　袋の中に赤玉が３個と白玉が２個とが入っている．よくかき混ぜて，１個取り出し，玉の色を調べてから元に戻すという試行を３回繰り返すとき，赤玉が出る回数Xの確率分布を求めてください．

　「確率分布を求めよ」という問題には，確率分布表で答えるとよい．このためには，
n=3
r=0, 1, 2, 3
p= , q=1−=
として，r=0からr=3までのすべての値について
3Cr prq3−r
の値を求めます．

【問題１】
　確率変数Xが二項分布B(4, )に従うとき，X=1となる
確率を求めてください．

1 2 3 4

HELP

n=4，r=1，p= , q=1−=として，nCr prqn−r
の値を求めます．
4C1()1()3=4××=

【問題２】
　確率変数Xが二項分布B(5, )に従うとき，0≦X≦3と
なる確率P(0≦X≦3)を求めてください．

1 2 3 4

HELP

n=5，r=0,1,2,3,4，p= , q=として，nCr prqn−r
の値を求めて，確率分布表を作ります．

X	0	1	2	3	4	5	計
P							1

表の水色の部分の和を求めると，0≦X≦3となる確
率P(0≦X≦3)は， +++==

【問題３】
　袋の中に赤玉４個と白玉１個とが入っている．よくかき混ぜて，１個取り出し，玉の色を調べてから元に戻すという試行を３回繰り返すとき，赤玉が出る回数Xの確率分布として正しいものを選んでください．

X	0	1	2	3	計
P					1

X	0	1	2	3	計
P					1

X	0	1	2	3	計
P					1

X	0	1	2	3	計
P					1

n=3，r=0,1,2,3，p= , q=として，nCr prqn−r
の値を求めて，確率分布表を作ります．
→3

【二項分布の期待値，分散，標準偏差】
　確率変数Xが二項分布B(n, p)に従うとき

ただし，q=1−p

【例５】
　１枚の10円硬貨を５回投げるとき，表が出る回数をXと
すると，Xは二項分布B(5, )に従います．
　確率変数Xの期待値はE(X)=5×==2.5 　確率変数Xの分散はV(X)=5××= 　確率変数Xの標準偏差はσ(X)==≒1.12

【例６】
　１個のさいころを10回投げるとき，１の目が出る回数をXと
すると，Xは二項分布B(10, )に従います．
　確率変数Xの期待値はE(X)=10×=≒1.7 　確率変数Xの分散はV(X)=10××= 　確率変数Xの標準偏差はσ(X)==≒1.18

　確率変数の和X+Yの期待値については，X, Yが独立であるか否かに関わらずつねに
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
が成り立ちます．
　この関係は，３つの確率変数の和の場合にも成り立ちます．
E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)
　さらに，もっと一般的に，ｎ個の確率変数の和の場合にも成り立ちます．
E(X1+X2+...+Xn )=E(X1 )+E(X2 )+...+E(Xn )…(E)

実際には，Xrは，第r回目の試行で事象Ａが起こるときXr=1，起らないときXr=0の２つの値のどちらかになります.

(px+q)n= nC0 p0qnx0 +nC1 p1qn−1x1 +nC2 p2qn−2x2
+...+nCr prqn−rxr+...
+nCn−1 pn−1q1xn−1 +nCn pnq0xn…(A)

(p+q)n= nC0 p0qn +nC1 p1qn−1 +nC2 p2qn−2
+...+nCr prqn−r+...
+nCn−1 pn−1q1 +nCn pnq0
ここでp+q=1だから

n(px+q)n−1p= 0 +1nC1 p1qn−1x0 +2nC2 p2qn−2x1
+...+rnCr pr−1qn−rxr−1+...
+(n−1)nCn−2 pn−1q1xn−2 +nnCn pnq0xn−1…(B)

n(p+q)n−1p= 0 +1nC1 p1qn−1 +2nC2 p2qn−2
+...+rnCr pr−1qn−r+...
+(n−1)nCn−2 pn−1q1 +nnCn pnq0

ここでp+q=1だから
0+1nC1 p1qn−1 +2nC2 p2qn−2
+...+rnCr pr−1qn−r+...
+(n−1)nCn−2 pn−1q1 +nnCn pnq0=np
したがって
E(X)=np

　ところが，式(B)は
rnCr prqn−rxr−1になっているので，これをさらに微分すると
r(r−1)nCr prqn−rxr−2
となってしまって
r2nCr prqn−r
の形にもっていけません．
　そこで，(B)の両辺にxを掛けて１次次数を上げてから微分します．

np(px+q)n−1x= 0 +1nC1 p1qn−1x1 +2nC2 p2qn−2x2
+...+rnCr pr−1qn−rxr+...
+(n−1)nCn−2 pn−1q1xn−1 +nnCn pnq0xn…(C)

np{ (n−1)(px+q)n−2px+(px+q)n−1 }=
0+12nC1 p1qn−1x0 +22nC2 p2qn−2x1
+...+r2nCr pr−1qn−rxr−1+...
+(n−1)2nCn−2 pn−1q1xn−2 +n2nCn pnq0xn−1…(D)

np{ (n−1)(p+q)n−2p+(p+q)n−1 }=
0+12nC1 p1qn−1 +22nC2 p2qn−2
+...+r2nCr pr−1qn−r+...
+(n−1)2nCn−2 pn−1q1 +n2nCn pnq0

ここでp+q=1だから
0+12nC1 p1qn−1 +22nC2 p2qn−2
+...+r2nCr pr−1qn−r+...
+(n−1)2nCn−2 pn−1q1 +n2nCn pnq0
=np{ (n−1)p+1 }=n2p2−np2+np

【問題４】
　確率変数Xが二項分布B(8, )に従うとき，Xの期待値と分散を求めてください．

1期待値2，分散2
2期待値2，分散4
3期待値4，分散2
4期待値4，分散4


HELP

n=8, p=, q=だから E(X)=np=8×=4 V(X)=npq=8××=2

【問題５】
　１個のさいころを60回投げるとき，５の目が出る回数の期待値と標準偏差を求めてください．（最も近い値を選んでください）

1 期待値10回，標準偏差2.89回
2 期待値10回，標準偏差8.33回
3 期待値50回，標準偏差6.45回
4 期待値50回，標準偏差41.7回

HELP

n=60, p=, q=だから E(X)=np=60×=10 V(X)=npq=60××= σ(X)==≒2.89 →1

【問題６】
　10枚の10円硬貨を同時に投げるとき，表が8枚以上出る確率を求めてください．（最も近い値を選んでください）

1 0.1 2 0.07 3 0.05 4 0.01

HELP

　この問題は，期待値や分散を求める問題ではなく，個々の確率を求める問題なので，二項分布の確率分布表に戻って考えます．すなわち，次の表においてX=8,9,10となる確率を求めます．

X	…	…	7	8	9	10	計
P	…	…	10C7()10	10C8()10	10C9()10	10C10()10	1

P(X≧8)=45×+10×+1×=≒0.05

→3

【問題７】
　二項分布B(n, p)の平均が10以上で，標準偏差が1以下のとき，pはどのような値になりますか．

1 p<0.1 2 0.4<p<0.6
3 0.7<p<0.8 4 p>0.9

HELP

E(X)=np≧10…(*1)
V(X)=σ(X)2=npq≦1…(*2)
(*1)(*2)より
10q≦npq≦1
q≦=0.1
したがって，p=1−q≧0.9
→4

【問題８】
　10円硬貨を何回か投げて，少なくとも１回は表が出る確率を90%以上にするためには，何回以上投げることにするとよいか．

1 3回以上 2 4回以上
3 5回以上 4 6回以上

HELP

n回投げて全部裏が出る確率は，nC0()n= 余事象の確率により，少なくとも１回は表が出る確率は1−
したがって
1−≧
1−≧
≧
2n≧10
23=8, 24=16だからn≧4
→2

【問題９】
　１個のさいころを18回投げるとき，３以上の目が出る回数の期待値と標準偏差を求めてください．

1 期待値6，標準偏差2 2 期待値6，標準偏差4
3 期待値12，標準偏差2 4 期待値12，標準偏差4

HELP

さいころを１回投げるとき，目の出方の総数は{ 1,2,3,4,5,6 }の６通り
そのうち，３以上の目が出るのは{ 3,4,5,6 }の４通り
したがって
p=, q=
二項分布B(18, )の
→3

【問題10】
　確率変数Xが二項分布B(100, 0.9)に従うとき，Xの期待値と分散を求めてください．

1 期待値10，分散1 2 期待値10，分散3
3 期待値90，分散9 4 期待値90，分散90

HELP

E(X)=np=100×0.9=90
V(X)=npq=100×0.9×0.1=9
→3

【問題11】
　袋の中に赤玉が３個と白玉が２個とが入っている．よくかき混ぜて，１個取り出し，玉の色を調べてから元に戻すという試行を３回繰り返すとき，赤玉が出る回数Xの標準偏差を求めてください．

1 2 3 4

HELP

n=3, p=, q=だから
V(X)=3××=
σ(X)=
→2