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■記号と用語 右図１のような「普通のさいころ」１個と，６の目を１の目に書き換えてⅠの目が２つあるように「細工をしたさいころ」１個の合計２個のさいころを投げて，出た目の数を各々X, Yとします．このとき，X, Yの出方に応じて確率を考えるには，右の表１のようにX, Yの確率分布を同時に考えます． このように，２つの確率変数の分布を同時に考えたものを同時確率分布（または同時分布，結合確率分布）といいます． （細工がしてある方のさいころは，１の目が２倍出て，６の目が出ないので，Yの分布は通常のさいころとは異なっています．）
同時確率分布においては，X, Yのすべての値の組に対して確率を考えます．例えば，表１において桃色の背景色で示したものは， X=2, Y=1となる確率がであること すなわち P(X=2, Y=1)= となることを表しています． 水色の背景色で示した数字は，周辺分布と呼ばれ，例えばX=1の右端にある欄は，X=1でYがすべての値をとるときの確率の合計になっています．このようにして，右の欄はYの値が何であるかを問わずにXの値だけを指定したときの確率を表しています． これに対して，下端の水色の背景色で示した数字は，Xの値が何であるかを問わずにYの値だけを指定したときの確率を表しています． 一般に，同時確率分布および周辺分布は，次の表３のような表で表され， P(X=xi , Y=yj )=pijは同時確率分布を表し， P(X=xi )=pi·がXの周辺分布を P(Y=yj )=p·jがYの周辺分布を表しています． 周辺分布は，pi· , p·jのように，ドットを付けて表し， 例えば P(X=x1 )=p11+p12+…+p1n=p1· P(Y=y1 )=p11+p21+…+pm1=p·1 などとなります．
E(X)=x1 p1·+x2 p2·+…+xm pm· E(Y)=y1 p·1+y2 p·2+…+yn p·n と表されることになります． |
図１
表２
下に示した1クラス40人の生徒の身長・体重の「クロス集計表」（左の表）とそれを「同時確率分布」（右の表）に直したものを見比べて，周辺分布が同時確率分布の和になることを理解してください． すなわち P(X=xi )=pi1+pi2+…+pin=pi· P(Y=yj )=p1j+p2j+…+pmj=p·j などが成り立つのは，クロス集計表で各行，各列の小計を周辺和に書くという約束事をそのまま総数（この例では40）で割って確率で書いたものです． この事情の説明には，この他には何もむずかしい定理を使っていません．
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次の表で与えられる同時確率分布について，以下の問題１～６に答えてください．
（表の見方に慣れるための問題）
【問題１】 表中の同時確率p13 , p21 , p22 , p23および周辺確率p2· , p·2の値を求めてください． 1 p13=0.1 , p21=0.1 , p22=0.1 , p23=0.2 p2·=0.4 , p·2=0.3 2 p13=0.1 , p21=0.1 , p22=0.2 , p23=0.1 p2·=0.4 , p·2=0.3 3 p13=0.1 , p21=0.1 , p22=0.1 , p23=0.2 p2·=0.3 , p·2=0.4 4 p13=0.1 , p21=0.1 , p22=0.2 , p23=0.1 p2·=0.3 , p·2=0.4 解説
P(X)の周辺確率について，0.6+p2·=1だから
p2·=0.4 (1 2のいずれかに絞られる) P(Y)の周辺確率について，0.5+p·2+0.2=1だから p·2=0.3 同時確率も次にように求まる 0.4+0.1+p13=0.6だからp13=0.1 0.4+p21=0.5だからp21=0.1 0.1+p22=0.3だからp22=0.2 0.1+p23=0.2だからp23=0.1 →2 |
E(X)=1×0.6+2×0.4=1.4
→3
E(Y)=1×0.5+2×0.3+3×0.2=1.7 E(Y 2)=1×0.5+4×0.3+9×0.2=3.5 だから V(Y)=E(Y 2)−E(Y) 2=3.5−1.72=3.5−2.89=0.61 →2 |
Y|
■X+Yの期待値E(X+Y) 表１のような同時確率分布と表２のようなX+Yの値が与えられたときに，X+Yの期待値を求めるためには，すべてのi , jに対して，(xi+yj )pijを求めて，足すことになります． 具体的には E(X+Y)=2×+3×+…+6× +3×+4×+…+7× +…… +7×+8×+…+11× = となります． このような計算は，非常に込み入っていて大変なので，もっと簡単に計算する方法として，次の公式が利用できます．
X, Yが独立であるかどうかに関係なく，つねに
【例】E(X+Y)=E(X)+E(Y)…(1) が成り立つ． 上の表１，表２で与えられる確率変数X, Yについては E(X)=1×+2×+…+6×== E(Y)=1×+2×+…+5×== だから E(X+Y)=E(X)+E(Y)=+= で求めることができます． |
(1)の証明 E(X+Y) =(x1+y1)p11+(x1+y2)p12+(x1+y3)p13+…+(x1+yn)p1n +(x2+y1)p21+(x2+y2)p22+(x2+y3)p23+…+(x2+yn)p2n +………… +(xm+y1)pm1+(xm+y2)pm2+(xm+y3)pm3…+(xm+yn)pmn =x1(p11+p12+p13+…+p1n) +x2(p21+p22+p23+…+p2n) +………… +xm(pm1+pm2+pm3+…+pmn) +y1(p11+p21+p31+…+pm1) +y2(p12+p22+p32+…+pm2) +………… +yn(p1n+p2n+p3n+…+pmn) =x1p1·+x2p2·+……+xmpm·+y1p·1+y2p·2+……+ynp·n =E(X)+E(Y) さらに，一般に次の関係が成り立ちます．
a, bが定数であるとき，X, Yが独立であるかどうかに関係なく，つねに
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)…(2) X, Y, Zが独立であるかどうかに関係なく，つねに E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)…(3) |
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【例題１】
大中小３個のさいころを同時に投げるとき，出た目の和の期待値を求めてください．
さいころ２個までなら一覧表を作って調べることができますが､３個になると場合分けが多過ぎて大変です．そこで，３つの変数の和の期待値の定理を利用して求めます．
大中小のさいころの出た目を各々X, Y, Zとおくと，
=(1+2+3+4+5+6)== Y, Zについても同様に E(Y)=E(Z)= となるから E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=×3=…（答）
正しい番号を選択してください．
E(X)=3, E(Y)=2 → E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=6+2=8
→4
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E(X)=0×+1×= Y, Zも同様だから E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=++==1.5 →2
E(X)=0×+1×+2×+3×= しかし，この問題は上の答案のように，１枚ずつの期待値の和としても求めることができるということです．
【問題６】
100円硬貨と500円硬貨を１枚ずつ合計２枚同時に投げて，表を向いた硬貨をもらえることにするとき，もらえる金額の期待値を求めてください． 1300円 2400円 3500円 4600円 解説
表を向く100円硬貨の枚数をX (X=0, 1)，表を向く500円硬貨の枚数をY (Y=0, 1)とすると
E(X)=E(Y)= もらえる金額は100X+500Yだから E(100X+500Y)=100E(X)+500E(Y)=+=300 →1
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【要点】
（解説）［和差の期待値］ X, Yが独立であるかどうかに関係なく，つねに E(X+Y)=E(X)+E(Y)…(1)再掲 E(X−Y)=E(X)−E(Y)…(1’) ［積の期待値］ X, Yが独立であるとき E(XY)=E(X)E(Y)…(4) ［和差の分散］ X, Yが独立であるとき V(X+Y)=V(X)+V(Y)…(5) すなわち σ2=σx2+σy2…(6) ただしV(X−Y)=V(X)+V(Y)に注意 (1’)← (2)式のE(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)において，a=1, b=−1とおくと E(X−Y)=E(X)−E(Y) (4)←
≪２つの確率変数X, Yの独立の定義≫
上の定義により，X, Yが独立であるとき，同時確率分布および周辺分布は次のようになります．すべてのi, jについて P(X=xi , Y=yj )=P(X=xi )P(Y=yj ) が成り立つとき，すなわち pij=pi·p·j が成り立つとき，確率変数X, Yは独立であるという．
※ 独立 ⇔ 各々の同時確率が周辺確率の積になる
=x1 y1 p1· p·1+x1 y2 p1· p·2+…+x1 yn p1· p·n +x2 y1 p2· p·1+x2 y2 p2· p·2+…+x2 yn p2· p·n +………… +xm y1 pm· p·1+xm y2 pm· p·2+…+xm yn pm·p·n =x1 p1· (y1 p·1+y2 p·2+…+yn p·n ) +x2 p2· (y1 p·1+y2 p·2+…+yn p·n ) +………… +xm pm· (y1 p·1+y2 p·2+…+yn p·n ) =(x1 p1·+x2 p2·++…+xm pm· )(y1 p·1+y2 p·2+…+yn p·n ) =E(X)E(Y)
【例】
次の表のように，どの列（縦の並び）についても比率が同じで，どの行（横の並び）についても比率が同じになるときに，独立であるといえます．
縦の並びが同じ比率⇒Yに関係なくXの比率が同じ：XはYから独立 |
(5)← V(X)=E(X 2)−E(X)2の公式により V(X+Y)=E((X+Y)2)−E(X+Y)2 ここで(1)により E((X+Y)2)=E(X 2+2XY+Y 2) =E(X 2)+2E(XY)+E(Y 2) はつねに成立します． また(1)により E(X+Y)2=E(X+Y)E(X+Y)=(E(X)+E(Y))2 =E(X)2+2E(X)E(Y)+E(Y)2 もつねに成立します． したがって V(X+Y)=E(X 2)−E(X)2 +E(Y 2)−E(Y)2 +2E(XY)−2E(X)E(Y) =V(X)+V(Y) +2E(XY)−2E(X)E(Y) X, Yが独立であるときは，E(XY)=E(X)E(Y)だから V(X+Y)=V(X)+V(Y) が成り立ちます．
V(XY) = V(X)V(Y)ではないことに注意
 (5)式は，分散の代わりに標準偏差で表すと
V(X+Y)=σ2
のときに，三平方の定理（ピタゴラスの定理）が成り立つことを示しています．V(X)=σx2 V(Y)=σy2
σ2=σx2+σy2
☆独立とは無関係，無相関，直角ということ☆
次の同時確率分布で与えられる確率変数X, Yが独立であるとき，以下の問題７～９に答えてください．
周辺確率の和から 0.6+0.3+p·3=1 p·3=0.1 →1 確率変数X, Yが独立であるから，同時確率は周辺確率の積に等しい． p11=p1·×p·1=0.7×0.6=0.42 →4 まず，周辺確率の和の性質から 0.7+p2·=1 p2·=0.3 また，問題７の結果から p·3=0.1 次に，確率変数X, Yが独立であるから，同時確率は周辺確率の積に等しいから p23=p2·×p·3=0.3×0.1=0.03 →2 |
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【問題10】
右図のような「普通のさいころ」１個と，６の目を１の目に書き換えてⅠの目が２つあるように「細工をしたさいころ」１個の合計２個のさいころを投げて，出た目の数を各々X, Yとします．このとき，出た目の積XYの期待値を求めてください. 1 2 7 3 4 解説 E(X)=1×+2×+3×+4×+5×+6× =(1+2+3+4+5+6)== E(Y)=1×+2×+3×+4×+5× =(2+2+3+4+5)== X, Yは独立だから E(XY)=E(X)E(Y)== →3 もちろん，同時確率のすべての値についてXY×pXYの和を求めてもできる． E(XY)=1×+2×+… +2×+4×+… +…… +6×+12×+…+30×= しかし，このような計算は非常に長くなるため，上記の答案のように独立な変数X, Yの期待値を別々に求めて，それらの積を計算すればよい． |
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独立な確率変数X, Yの期待値および標準偏差が次の表のように与えられているとき，以下の問題11～14に答えてください．
V(X)=σX2
V(aX)=a2V(X)
V(X)=E(X 2)−E(X)2
確率変数X, Yは独立だから E(XY)=E(X)E(Y)=3×7=21
→4V(X)=E(X 2)−E(X)2
によりE(X 2)=V(X)+E(X)2=σX2+mX2
=12+32=10
→3 |
V(aX)=a2V(X)
によりV(2Y)=22V(Y)=22σY2
=4×4=16
→4
確率変数X, Yは独立だから
V(X+Y)=V(X)+V(Y)
=σX2+σY2
=1+4=5
→2 |
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