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【分散】
（解説）期待値（平均値）をmとするとき，データの散らばり具合を表す値：分散Vは，次の式で定義されます． V=…(1) 表１のような度数分布表で表される場合は，xkがfkずつあるから，各々の変数を取る確率で表せば V=(x1−m)2+(x2−m)2+…+(xn−m)2 表３のように確率分布表になっている場合には V=(x1−m)2p1+(x2−m)2p2+…+(xn−m)2pn…(2) 【標準偏差】 標準偏差は分散の正の平方根（ルート）で定義されます． σ=…(3) 【分散と２乗平均の関係】 分散は，元の変数の（２乗の平均）−（平均の２乗）に等しくなります． V=E(X 2)−E(X)2…(4) （※現在では，コンピュータを利用することが多いので，分散の計算は元の定義式(1)のままで行うことができます．筆算で行う場合や様々な関係式を証明するためには，(4)も必要になります．） ○ 平均値E(X)という１種類の代表値だけでは，元のデータの散らばり具合が表せません． 次の図１の上の図と下の図とでは，平均値が同じですが，上の図ではデータが平均値付近に集まっているのに対して，下の図ではデータは散らばっており，これら２つのデータは異なる傾向を持っています．
また，ＡとＢとでは，散らばりが等しく，平均値はＢの方が大きくなっています． ＡとＤ，ＢとＣでは平均値も散らばりも異なっています． ○ データの散らばり具合を表す数字が分散V(X)（または標準偏差σ(X)）です．
散らばり具合を数値で表すために，それぞれの値xkが平均値mからどれだけ離れているか：偏差xk−mの平均を取ることが考えられますが，(*A)に示すように偏差を単純に平均すると0になっていしまい，散らばり具合を区別することはできません．
次に，負となる偏差の符号を変えて，偏差の絶対値|xk−m|の平均を取ったものを使うと，散らばり具合を表すことができますが（平均偏差），(*B)に示すように変形が煩わしく，扱いにくい式になるため，実際にはあまり使われません． 散らばり具合を表すことができて，実際の計算も行いやすいものとして，偏差の２乗(xk−m)2の平均で定義される分散というものが使われます． 期待値（平均値）をmとするとき，分散Vは，次の式で定義されます． V= （xk≧mの場合でも，xk<mの場合でも，いずれも２乗すると０以上となって，xkが平均値mからの離れるほど分子の各項は大きくなります．） 表１のように度数分布表で示され，同じ値が各々f1個，f2個，...全部でN個ある場合，分散は V= =(x1−m)2+(x2−m)2+...+(xn−m)2 表３のように =pk (k=1,2,3,...,n)とおくと， 分散は V=(x1−m)2p1+(x2−m)2p2+...+(xn−m)2pn 右に続く→
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表1（度数分布表）
表２（確率分布表）
 =pkとおく表３（確率分布表）
▼(*A) 単純に平均値との差を取ったもの：xk−mを平均しても，正負で打ち消し合って消えてしまうので使えない．
［例］ 次の例では，平均値はm=0となっている．
 =0
このように平均値との差xk−mの平均を調べても，0になってしまって，役に立たない．
▼(*B) また，平均値との差の絶対値 |xk−m|の平均（平均偏差）は，散らばりを表現する目的には最適に見えるが，変形しにくく，扱いにくいのが最大の難点
|x+a|+|x+b|や(|x+a|+|x+b|)2 のような式は簡単には変形できない． 平均偏差はめったに使われない．
◎(*C) そこで，平均値との差の２乗(xk−m)2の平均：分散V(X)と呼ばれるものを使う．
→続き
上の例では
（分散）＝
元の数が負の数であっても，正の数であっても，２乗するとすべて正の数に変わる所がミソ．さらに「変形が簡単」にできる長所がある．
（注） 分散は元の変数の２乗を使っているので，元の変数が cm のとき，分散の単位は cm2 となり，単位は合わない． 分散V(X)は非常によく使われるが，元のスケールに揃えて見るときには，分散の正の平方根（ルート）をとった標準偏差σ(X)が用いられる． ○ 分散は偏差を２乗しているので，元の変数xkと単位がそろっていません．元の変数xkと同じ単位の数字として，分散の正の平方根（ルート）で定義される標準偏差が使われます． σ= (4)の証明
分散を計算するためには，先に平均値を求めておきます． m= 次に，この平均値を使って，分散を計算します． V=…(1) (1)式の分母を変形すると (x1−m)2+(x2−m)2+(x3−m)2+…+(xN−m)2 =(x12+x22+…+xN2)−2m(x1+x2+…+xN)+Nm2 したがって分散は V=−2m+m2 =−2m2+m2 =−m2 =−( )2 ここで，xk2の平均：をE(X 2)で， xkの平均：をE(X)で表すと V=E(X 2)−E(X)2 ※度数分布表や確率分布表で示される場合にも，この関係は成り立ちます． |
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【例１】
１個のさいころを投げるとき，出る目の分散と標準偏差を求めてください．
分散を求めるためには，先に期待値を計算しておかなければなりません．
（解答）確率分布表は次のようになる．
m=(1+2+3+4+5+6)= 分散は V={ (1−)2+(2−)2+(3−)2+...+(6−)2 } ={ ()2+()2+()2+...+()2 } ={ } = 標準偏差は σ===
（参考）
散らばりを表す標準偏差σの値は，平均値mから一番遠い値までの距離ではなく，（多くの場合に）m±σの範囲に変数の約70%（詳しくいえば68.5%）程度が入るような値になっています． ⇒ σまで取れば，７割程度が含まれる． 
コンピュータを使わずに分散を計算するときは，V=E(X 2)−E(X)2の公式を使う方が簡単になります．
そのためには，まず次の表を作ってE(X 2)を求めます．
したがって V=E(X 2)−E(X)2=−()2=−= |
【例２】
５枚の硬貨を同時に投げるとき，表が出る枚数の分散と標準偏差を求めてください．
分散を求めるためには，先に期待値を計算しておかなければなりません．
（解答）5枚の硬貨を投げて，表がr枚出る確率は， 5Cr()r()5−r=()5だから 確率分布表は次のようになる．
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×= 分散は V=(0−)2+(1−)2+...+(5−)2 =++...+== 標準偏差は σ==
V=E(X 2)−E(X)2の公式を使う場合は
まず次の表を作ってE(X 2)を求めます．
したがって V=E(X 2)−E(X)2=−()2=−= |
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正しい番号を選択してください．
（玉の出方は２種類しかない）
（解答）5個ある玉の中から，3個取り出す方法は，全部で N=5C3=10通り ア） 赤玉2個と白玉1個を取り出す方法は 4C3×1C1=6通り イ） 赤玉3個と白玉0個を取り出す方法は 4C3×1C0=4通り したがって，赤玉の個数について，確率分布表は次のようになる．
m=2×+3×= 分散は， V=(2−)2×+(3−)2× =+== →3
V=E(X 2)−E(X)2の公式を使う場合は
まず次の表を作ってE(X 2)を求めます．
したがって V=E(X 2)−E(X)2=6−()2=6−= |
 【問題２】トランプのハートのカードが３枚，スペードのカードが４枚，合計７枚ある．裏返してよく切ってから，１枚ずつ２回抜き取るとき，ハートのカードが出る回数の標準偏差を求めてください．ただし，抜き取ったカードは元に戻さないものとします． 1 2 3 4 HELP
期待値→分散→標準偏差の順に求めます
７枚のカードから，カードを１枚ずつ２回取り出す（元に戻さない）方法は，全部でN=7×6=42通り ア） スペード，スペードの順に出る出方は 4×3=12通り イ） スペード，ハートまたはハート，スペードの順に出る出方は 4×3+3×4=24通り ウ） ハート，ハートの順に出る出方は 3×2=6通り したがって，ハートが出る回数について，確率分布表は次のようになる．
m=0×+1×+2×= 分散は V=(0−)2×+(1−)2×+(2−)2×== 標準偏差は σ== →1
V=E(X 2)−E(X)2の公式を使う場合は
次の表によりE(X 2)とE(X)を求めます．
E(X 2)=0×+1×+4×= したがって V=E(X 2)−E(X)2=−()2= |
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４枚の10円硬貨を同時に投げるとき，表がr (r=0,1,2,3,4)枚出る確率は，
4Cr()r()4−r=()4 V=E(X 2)−E(X)2の公式を使う場合， 次の表によりE(X 2)とE(X)を求めます．
E(X 2)=0×+1×+4×+9×+16×==5 したがって V=E(X 2)−E(X)2=5−22=1 →2
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【問題４】
２個のさいころを投げて，出た目の差（出た目の大きい方から小さい方を引くものとし，出た目が等しいときは差は０とする）の分散に最も近い値は次のどれになるか． 11.1 22.1 33.1 44.1 HELP
出た目の差は次の表のようになる．
次の表によりE(X 2)とE(X)を求めます．
=≒1.94 E(X 2) =0×+1×+4×+9×+16×+25× =≒5.83 したがって V=E(X 2)−E(X)2=5.83−1.942=5.83−3.78=2.05 →2 分散の定義式のまま計算すると，かなり複雑な分数計算になります． |
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上の表により E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.4+3×0.4=0.4+0.8+0.3=1.5 E(X 2)=0×0.1+1×0.4+4×0.4+9×0.4=0.4+1.6+0.9=2.9 したがって V=E(X 2)−E(X)2=2.9−1.52=2.9−2.25=0.65 →4
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２枚の10円硬貨を投げたときに，表がr枚出る確率は
2Cr()r()2−r=2Cr()2= となるから ア） 表が２枚，裏が０枚出る確率は イ） 表が１枚，裏が１枚出る確率は ウ） 表が０枚，裏が２枚出る確率は 確率分布表は，次のようになる．
E(X)=(−2)×+0×+2×=0 E(X 2)=0×+4×=2 したがって V=E(X 2)−E(X)2=2 σ== →2
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【問題１】
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