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高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 確率･統計

【分散】
　期待値（平均値）をmとするとき，データの散らばり具合を表す値：分散Vは，次の式で定義されます．
V=.(x1−m)2+(x2−m)2+(x3−m)2+…+(xN−m)2Nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn…(1)
　表１のような度数分布表で表される場合は，xkがfkずつあるから，各々の変数を取る確率.fkNnnで表せば
V=(x1−m)2.f1Nnn+(x2−m)2.f2Nnn+…+(xn−m)2.fnNnn
　表３のように確率分布表になっている場合には
V=(x1−m)2p1+(x2−m)2p2+…+(xn−m)2pn…(2)
【標準偏差】
　標準偏差は分散の正の平方根（ルート）で定義されます．
σ=.√V√nni…(3)
【分散と２乗平均の関係】
　分散は，元の変数の（２乗の平均）－（平均の２乗）に等しくなります．
V=E(X 2)−E(X)2…(4)
（※現在では，コンピュータを利用することが多いので，分散の計算は元の定義式(1)のままで行うことができます．筆算で行う場合や様々な関係式を証明するためには，(4)も必要になります．）

　散らばり具合を数値で表すために，それぞれの値xkが平均値mからどれだけ離れているか：偏差xk−mの平均を取ることが考えられますが，(*A)に示すように偏差を単純に平均すると0になっていしまい，散らばり具合を区別することはできません．

　次に，負となる偏差の符号を変えて，偏差の絶対値|xk−m|の平均を取ったものを使うと，散らばり具合を表すことができますが（平均偏差），(*B)に示すように変形が煩わしく，扱いにくい式になるため，実際にはあまり使われません．

　散らばり具合を表すことができて，実際の計算も行いやすいものとして，偏差の２乗(xk−m)2の平均で定義される分散というものが使われます．

▼(*A)　単純に平均値との差を取ったもの：xk−mを平均しても，正負で打ち消し合って消えてしまうので使えない．

.(−3)+(−2)+(−1)+1+2+33nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn=0

▼(*B)　また，平均値との差の絶対値 |xk−m|の平均（平均偏差）は，散らばりを表現する目的には最適に見えるが，変形しにくく，扱いにくいのが最大の難点
|x+a|+|x+b|や(|x+a|+|x+b|)2
のような式は簡単には変形できない．

平均偏差.|−3|+|−2|+|−1|+|1|+|2|+|3|3nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnはめったに使われない．

◎(*C)　そこで，平均値との差の２乗(xk−m)2の平均：分散V(X)と呼ばれるものを使う．
（分散）＝.(−3)2+(−2)2+(−1)2+12+22+323nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

（注）　分散は元の変数の２乗を使っているので，元の変数が cm のとき，分散の単位は cm2 となり，単位は合わない．
　分散V(X)は非常によく使われるが，元のスケールに揃えて見るときには，分散の正の平方根（ルート）をとった標準偏差σ(X)が用いられる．

　分散を計算するためには，先に平均値を求めておきます．
m=.x1+x2+…+xNNnnnnnnnnnnn
　次に，この平均値を使って，分散を計算します．
V=.(x1−m)2+(x2−m)2+(x3−m)2+…+(xN−m)2Nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn…(1)
(1)式の分母を変形すると
(x1−m)2+(x2−m)2+(x3−m)2+…+(xN−m)2
=(x12+x22+…+xN2)−2m(x1+x2+…+xN)+Nm2
したがって分散は
V=.x12+x22+…+xN2Nnnnnnnnnnnnn−2m.x1+x2+…+xNNnnnnnnnnnnn+m2
=.x12+x22+…+xN2Nnnnnnnnnnnnn−2m2+m2
=.x12+x22+…+xN2Nnnnnnnnnnnnn−m2
=.x12+x22+…+xN2Nnnnnnnnnnnnn−( .x1+x2+…+xNNnnnnnnnnnnn)2
ここで，xk2の平均：.x12+x22+…+xN2NnnnnnnnnnnnnをE(X 2)で，
xkの平均：.x1+x2+…+xNNnnnnnnnnnnnをE(X)で表すと
V=E(X 2)−E(X)2
※度数分布表や確率分布表で示される場合にも，この関係は成り立ちます．

【例１】
　１個のさいころを投げるとき，出る目の分散と標準偏差を求めてください．

分散を求めるためには，先に期待値を計算しておかなければなりません．

（参考）
散らばりを表す標準偏差σの値は，平均値mから一番遠い値までの距離ではなく，（多くの場合に）m±σの範囲に変数の約70%（詳しくいえば68.5%）程度が入るような値になっています．
⇒　σまで取れば，７割程度が含まれる．

　コンピュータを使わずに分散を計算するときは，V=E(X 2)−E(X)2の公式を使う方が簡単になります．
　そのためには，まず次の表を作ってE(X 2)を求めます．

X 2	1	4	9	16	25	36	計
P	.16n	.16n	.16n	.16n	.16n	.16n	1

E(X 2)=(1+4+9+16+25+36).16n=.916nn
したがって
V=E(X 2)−E(X)2=.916nn−(.72n)2=.916nn−.494nn=.3512nn

【例２】
　５枚の硬貨を同時に投げるとき，表が出る枚数の分散と標準偏差を求めてください．

分散を求めるためには，先に期待値を計算しておかなければなりません．

　V=E(X 2)−E(X)2の公式を使う場合は
　まず次の表を作ってE(X 2)を求めます．

X 2	0	1	4	9	16	25	計
P	.132nn	.532nn	.1032nn	.1032nn	.532nn	.132nn	1

E(X 2)=.5+40+90+80+2532nnnnnnnnnnnnnn=.24032nnn=.152nn
したがって
V=E(X 2)−E(X)2=.152nn−(.52n)2=.152nn−.254nn=.54n

　正しい番号を選択してください．

【問題１】
　袋の中に赤玉４個，白玉１個が入っている．同時に３個取り出すとき，その中に含まれる赤玉の個数の分散を求めてください．



1.625nn 2..√6√ni5nn 3.125nn 46

HELP

（解答）
5個ある玉の中から，3個取り出す方法は，全部で
N=5C3=10通り
ア） 赤玉2個と白玉1個を取り出す方法は
4C3×1C1=6通り
イ） 赤玉3個と白玉0個を取り出す方法は
4C3×1C0=4通り
したがって，赤玉の個数について，確率分布表は次のようになる．

X	2	3	計
P	.610nn	.410nn	1

　赤玉の個数の期待値は
m=2×.610nn+3×.410nn=.125nn
　分散は，
V=(2−.125nn)2×.610nn+(3−.125nn)2×.410nn
=.425nn.35n+.925nn.25n=.130125nnn=.625nn

【問題２】
　トランプのハートのカードが３枚，スペードのカードが４枚，合計７枚ある．裏返してよく切ってから，１枚ずつ２回抜き取るとき，ハートのカードが出る回数の標準偏差を求めてください．ただし，抜き取ったカードは元に戻さないものとします．


1.2.√5√ni7nnn 2.67n 3.87n 4.2049nn

HELP

７枚のカードから，カードを１枚ずつ２回取り出す（元に戻さない）方法は，全部で
N=7×6=42通り
ア） スペード，スペードの順に出る出方は
4×3=12通り
イ） スペード，ハートまたはハート，スペードの順に出る出方は
4×3+3×4=24通り
ウ） ハート，ハートの順に出る出方は
3×2=6通り
したがって，ハートが出る回数について，確率分布表は次のようになる．

X	0	1	2	計
P	.1242nn	.2442nn	.642nn	1

ハートが出る回数の期待値は
m=0×.27n+1×.47n+2×.17n=.67n
分散は
V=(0−.67n)2×.27n+(1−.67n)2×.47n+(2−.67n)2×.17n=.14049×7nnnn=.2049nn
標準偏差は
σ=.√V√nni=.2.√5√ni7nnn

【問題３】
　４枚の10円硬貨を同時に投げるとき，表が出る枚数の分散を求めてください．

1.34n 21 3.74n 42

HELP

　４枚の10円硬貨を同時に投げるとき，表がr (r=0,1,2,3,4)枚出る確率は，
4Cr(.12n)r(.12n)4−r=.4!r!(4−r)!nnnnnnn(.12n)4 　V=E(X 2)−E(X)2の公式を使う場合，
　次の表によりE(X 2)とE(X)を求めます．

X	0	1	2	3	4	計
X 2	0	1	4	9	16
P	.116nn	.416nn	.616nn	.416nn	.116nn	1

E(X)=0×.116nn+1×.416nn+2×.616nn+3×.416nn+4×.116nn=.3216nn=2
E(X 2)=0×.116nn+1×.416nn+4×.616nn+9×.416nn+16×.116nn=.8016nn=5
したがって
V=E(X 2)−E(X)2=5−22=1

【問題４】
　２個のさいころを投げて，出た目の差（出た目の大きい方から小さい方を引くものとし，出た目が等しいときは差は０とする）の分散に最も近い値は次のどれになるか．

11.1 22.1 33.1 44.1

HELP

【問題５】
　次の確率分布に従う確率変数Xの分散を求めてください．

X	0	1	2	3	計
P	0.1	0.4	0.4	0.1	1

10.35 20.45 30.55 40.65

HELP

X	0	1	2	3	計
X 2	0	1	4	9
P	0.1	0.4	0.4	0.1	1

　上の表により
E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.4+3×0.4=0.4+0.8+0.3=1.5
E(X 2)=0×0.1+1×0.4+4×0.4+9×0.4=0.4+1.6+0.9=2.9
したがって
V=E(X 2)−E(X)2=2.9−1.52=2.9−2.25=0.65

【問題６】
　２枚の10円硬貨を同時に投げて，
（表が出た枚数）－（裏が出た枚数）
を得点とするとき，得点の標準偏差を求めてください．

11 2.√2√ni 3.√3√ni 42 5.√5√ni

HELP

　２枚の10円硬貨を投げたときに，表がr枚出る確率は
2Cr(.12n)r(.12n)2−r=2Cr(.12n)2=.2Cr4nnn
となるから
ア）　表が２枚，裏が０枚出る確率は .14n
イ）　表が１枚，裏が１枚出る確率は .24n
ウ）　表が０枚，裏が２枚出る確率は .14n
　確率分布表は，次のようになる．

X	−2	0	2	計
X 2	4	0	4
P	.14n	.12n	.14n	1

　表により
E(X)=(−2)×.14n+0×.12n+2×.14n=0
E(X 2)=0×.12n+4×.12n=2
したがって
V=E(X 2)−E(X)2=2
σ=.√V√nni=.√2√ni

初めてメールさせて頂きます。 詳細にご説明頂いております、本統計学の頁には大変お世話になっております。有難うございます。 一つ質問があります。分散を求める場合には偏差平方和を自由度で除すと思っていましたが、本ページの最初の部分に記載されている分散ではＮで除されています。これは確率変数を扱っているからでしょうか。ご回答頂ければ幸甚に存じます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は高校生向けの教材なので，推測統計には触れていません．
　すなわち，その頁で述べている

は，与えられたN個の標本の分散です…(1)
これに対して，あなたが言っておられるのは

で，与えられたN個の標本から推測される母集団の分散です．…(2)
　今日ではコンピュータを使って何万個のデータでも簡単に処理できるので，全数検査も可能です．全数検査では分散は(1)式になります．［記述統計］
これに対して，与えられたN個のデータが巨大な母集団から抽出された標本であるときに，元の母集団の分散は(2)式になります．［推測統計］
　これらの違いや相互関係についてはこの頁に書いています．
　なお，Excelでは(1)に対応する標本分散は VARP() で求めることができ，(2)に対応する母集団分散は VAR() で求めることができます．

［追伸］
おはようございます。昨日（11/14）、分散の分母がＮか（Ｎ－１）かにつきましてご質問させて頂いた者です。早々のご対応有難うございました。記述統計と推測統計の違いであった点、よく理解出来ました。ご丁寧な回答有難うございます。今後共よろしくご指導下さい。