総和記号,Σ,シグマ

大きな区分

現在地と前後の項目

確率変数と確率分布(1)/確率変数，確率分布(2)/期待値/分散，標準偏差/期待値，分散，標準偏差/代表値（平均値，中央値，最頻値）/度数分布表→平均値,分散,標準偏差/度数分布表をExcelで/度数分布表，相対度数分布表/分割表(クロス集計表)，散布図の作成/散布図とクロス集計/確率変数の変換(1)/確率変数の変換(2)/同時確率分布，周辺分布/資料の散布度/共分散,相関係数/チェビシェフの不等式/ベクトルの内積と相関係数/二項分布/連続型確率分布/正規分布(1)/正規分布(2)/二項分布の正規近似/母平均,母比率の推定/同［練習問題］/母平均，母比率の検定(大標本)/母集団，標本/総和記号Σ(シグマ)に慣れよう(1)/総和記号Σ(シグマ)に慣れよう(2)/センター試験.確率分布統計(2013年～)/

== 総和記号Σ(シグマ)に慣れよう ==(初心者向き) ○　和を表わす記号Σでは，次のように「式」の形のところの「変数で指定されたものを」「初めの値」から「終りの値まで」「1ずつ増やして」できる項の「和」を表わす．	例1 5Σk = 1Σi k = 1+2+3+4+5　（ = 15 になる）例2 7Σk = 1Σi k = 1+2+3+4+5+6+7　（ = 28 になる）例3 4Σk = 2Σi k = 2+3+4　（ = 9 になる）
○　Σ記号の内部で使う「変数」は，「式」の部分と同じ文字であればよく，どんな文字が使われているかは，和を求めた結果に影響しない．（変数が，式の部分と異なる文字のときは，無関係になりむしろ簡単になる[後出:例6,7参照]）	例4 4Σk = 1Σi k = 1+2+3+4　（ = 10 になる） 4Σm = 1Σi m = 1+2+3+4　（ = 10 になる）
○　「変数」で指定された文字だけを順に増加させるものとし，それ以外の文字や定数は変化させない．	例5 4Σi = 1Σi 5i = 5･1+5･2+5･3+5･4　(= 5+10+15+20 = 50 になる） (この i は虚数とは関係ない) 例6 4Σm = 1Σi n = n+n+n+n　( = 4n になる) 例7 4Σk = 1Σi 5 = 5+5+5+5　( = 20 になる) (注) 単に nΣk = 1Σi 　と書けば nΣk = 1Σi1 を表わす約束になっている．したがって，nΣk = 1Σi 　= 1+1+…+1 = n となる．
○　「変数」は添字や指数などに使われることもある．	例8 5Σk = 1Σi ak = a1+a2+a3+a4+a5 例9 4Σk = 1Σi 2k = 21+22+23+24 = 2+4+8+16 ( = 30 になる)
○　Σ記号は積でつながっている範囲まで作用する．作用する範囲を明確にするために「かっこ」が使える．	例10 5ΣN = 1Σi N+1 = ( 1+2+3+4+5 )+1　（ = 16 になる）例11 5ΣN = 1Σi( N+1 ) = ( 2+3+4+5+6)　（ = 20 になる）例12 5Σk = 1Σik(k+1) = 1･2+2･3+3･4+4･5+5･6 = (2+6+12+20+30=70になる）例13 nΣk = 1Σi( k+1 )2 = ( 1+1 )2+( 2+1 )2+…+( n+1 )2
○　Σ記号が有限個の和を表わすとき，次の性質を満たす．（和差，定数倍のΣは，Σの和差，定数倍になる） (1)　nΣk = 1Σi ( ak+ bk ) = nΣk = 1Σi ak+ nΣk = 1Σi bk (2)　nΣk = 1Σi cak = cnΣk = 1Σi ak （ただし，積や商のΣはΣの積や商とは一般に等しくない．） $\sum_{k=1}^na_kb_k\ne\sum_{k=1}^na_k\sum_{k=1}^nb_k$ $\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b_k}\ne\frac{\sum_{k=1}^na_k}{\sum_{k=1}^nb_k}$	証明 (1)　nΣk=1Σi ( ak+ bk )=( a1+ b1 )+( a2+ b2 )+…+( an+ bn ) =( a1+a2+…+an )+ ( b1+b2+…+bn ) = nΣk=1Σi ak+ nΣk=1Σi bk $\sum_{k=1}^1 (a_k+ b_k)$ は，１つの項 $(a_1+ b_1)$ を表す． $\sum_{k=1}^2 (a_k+ b_k)=(a_1+ b_1)+(a_2+ b_2)=(a_1+ a_2)+(b_1+ b_2)$ $=\sum_{k=1}^2 a_k+ \sum_{k=1}^2 b_k$ $\sum_{k=1}^3 (a_k+ b_k)=(a_1+ b_1)+(a_2+ b_2)+ (a_3+ b_3)$ $=(a_1+ a_2 + + a_3 )+ (b_1 + b_2 + b_3)$ $=\sum_{k=1}^3 a_k+ \sum_{k=1}^3 b_k$ 同様にして $\sum_{k=1}^n (a_k+ b_k)=(a_1+ b_1)+(a_2+ b_2)+ \cdot \cdot \cdot + (a_n+ b_n)$ $=(a_1+ a_2 + \cdot \cdot \cdot + a_n )+ (b_1 + b_2 + \cdot \cdot \cdot + b_n)$ $=\sum_{k=1}^n a_k+ \sum_{k=1}^n b_k$ ※（無限個の和については，足し方の順序を勝手に変えると結果が変わってしまうことがあるが，）有限個の数列の和については，足し算の順序をどのように入れ替えても結果が等しくなるので， $a_k$ の組と $b_k$ の組に分けて足してもよいということを表している (2)　nΣk=1Σi cak= ca1+ca2+…+can =c( a1+a2+…+an )=cnΣk=1Σi ak
○　括弧を展開して別々に総和を求めることができる．	例14 nΣk=1Σi( xk−c )2=nΣk=1Σi( xk2−2cxk+c2 ) = nΣk=1Σixk2−2cnΣk=1Σixk+nΣk=1Σic2

例15
右の表のように，変数 X が n 個の値 x1, x2, …, xn をとるとき，これらn個の値の期待値（平均値）は，
$E(X)=\bar{X}=\frac{x_1+ x_2+\cdots+ x_n}{n}=\frac{\sum_{k=1}^nx_k}{n}$

変数 X

…

例16
右の度数分布表において

度数の総和は N=nΣk=1Σifk

変数 Xの期待値（平均値）は
$E(X)=\bar{X}=\frac{x_1f_1+ x_2f_2+\cdots+ x_nf_n}{n}$
だから，
$E(X)=\bar{X}=\frac{\sum_{k=1}^nx_kf_k}{N}=\frac{\sum_{k=1}^nx_kf_k}{\sum_{k=1}^nf_k}$

変数 X	x1	x2	…	xn	計
度数	f1	f2	…	fn	N

例17
確率変数 X の確率分布が右の表で与えられるとき，確率変数 X の期待値（平均値）は，
$E(X)=\bar{X}=x_1p_1+ x_2p_2+\cdots+ x_np_n$
で定義されるから，
$E(X)=\bar{X}=\sum_{k=1}^nx_kp_k$

確率変数 X	x1	x2	…	xn	計
確率	p1	p2	…	pn	1

■簡単な穴埋め問題
(1)

(2)

nΣk=1Σi k2=12+22+…+2　

(3)
m= .

1nn nΣk=1Σi xk　とおくとき， .

1nn nΣk=1Σi( xk−m )2=.

1nn nΣk=1Σi( xk2−xk+2 ) =.

1nn nΣk=1Σixk2−2 .

nnnn nΣk=1Σixk+.

1nnnΣk=1Σi2

=.

1nn nΣk=1Σixk2−2m2+m2 =.

1nn nΣk=1Σixk2−m2

(4)

nΣk=1Σi pk=1， E=nΣk=1Σi xk pk， F=nΣk=1Σi xk2pk，V=nΣk=1Σi( xk−E )2pk　のとき，V を E，F で表わすと，

V=nΣk=1Σi( xk2−xk+2 ) pk=nΣk=1Σixk2pk−2EnΣk=1Σixk pk+E2nΣk=1Σipk=−22+2=F−E2

(※英字の大文字・小文字の区別あり)

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