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【要約】
　表１のように，変数x1 ,x2 ,x3 ,...,xNが合計N個あるとき，それらの平均値（期待値）は，
m=E(X)=…(1)
　表５のように，確率変数x1 , x2 , ...に対応する確率が各々p1 , p2 , ...のとき，平均値（期待値）は
m=E(X)=x1 p1+x2 p2+x3 p3+...+xn pn…(2)

◎　平均値（期待値）の長所
　平均値は，「真ん中あたりがどこにあるか」を示しており，統計データを集約するときに最も重要なものです．以下に示すように，平均値にも弱点はありますが，ほとんどすべての統計において平均値が使われます．

　元の変数x1 ,x2 ,x3 ,...,xNがN個のデータであるのに対して，平均値はただ１個の数値です．だから，元のデータが持っていた情報量がN次元であったのに対して，平均値はたった1次元の情報しか持っていません．これは平均値に限らず，統計データの代表値にはすべて当てはまることですが，平均値という中心付近を表す代表値１つだけでは，元のデータが持っていた「各々の個性」は表現できません．それでも，N個の生のデータを引きずっていく煩わしさよりは，１個の数値で全体の傾向がわかる便利さに目を向けることが重要です．

△　平均値の弱点→別の代表値を使う場合
　例えば，図２のように，極端値（外れ値）を含むようなデータにおいては，平均値は「順位の中央」からかなり離れた所に来ます．

　順位を重視して，上半分と下半分の中央に来る値は「中央値（メジアン）」と呼ばれます．
　(*2)式を見るとわかるように，平均値の計算においては，すべての変数xkの値が，公平に同じ確率で評価されています．これは，どの値xkが少し変化しても，そのだけ平均値に反映されることを示しています．
　例えば，a<b<cでcが極端に大きな外れ値のとき，平均値では
=a+b+c
となりますが，中央値（メジアン）は
=a+b+c=b
となって，極端値cが変化しても影響を受けません．
　このような中央値（メジアン）は「順位の中央」に着目して，上半分と下半分に分けたいときなどに用いられます．
図２


△　平均値の弱点→別の代表値を使う場合
　図３がある商品（例えば靴）のサイズや価格帯と売れ行きを表しているような場合に，平均値付近の商品を品ぞろえしても，対応できません．平均値は「真ん中あたり」を表してはいますが，「最もよく売れるサイズや価格帯」に一致するとは限りません．
　頻度が最大となっている（山が一番高い）値を「最頻値（モード）」といい，売れ筋商品を考えるような場合に使われます．

【要約】
　N個の変数からなるデータの特徴を幾つかの数値に集約して表すときに，通常２つの数値が使われます．

【例題１】
　２つのさいころを同時に投げるとき，出た目の和の期待値を求めてください．

◆ポイント◆　⇒「期待値」ときたら「確率分布表」を作る！

和が2 → 1通り
和が3 → 2通り
…
和が12 → 1通り

【例題２】
　袋の中に赤玉が３個，白玉が２個，合計５個の玉が入っているとき，次の各々の場合について，２つの期待値を比較してください．

(1) 同時に２個取り出すとき，その中に含まれる赤玉の個数の期待値，白玉の個数の期待値

(2) １個ずつ２回取り出すとき，赤玉が取り出される回数の期待値．ただし，取り出した玉は元に戻さない場合（=非復元抽出の場合）と取り出した玉を元に戻す場合（=復元抽出の場合）

(3) 取り出した玉は元に戻さない（=非復元抽出）ものとして，赤玉が出るまで１個ずつ取すときの取り出す回数の期待値と白玉が出るまで１個ずつ取り出すときの取り出す回数の期待値

◆ポイント◆　⇒「期待値」ときたら「確率分布表」を作る！

（参考）
　通俗的な感覚（答案に書いても○してもらえない理由付け）だけで言えば，2個のうちで赤玉が含まれる期待値（平均値）が，なら，残りは白玉だから，白玉の期待値（平均値）は2−=となりそうに思える．
　実際，後に確率変数の変換の項目で，２つの確率変数X ,YについてE(X+Y)=E(X)+E(Y)が成り立つことが示されるので，X+Y=2 → E(X+Y)=2のとき，E(X)+E(Y)=2という予想が正しいことがわかる．

　さらにまた，通俗的な感覚だけで言えば，赤玉が３個と白玉が２個あるのだから，赤玉の個数の期待値と白玉の個数の期待値は，:=3:2になっているのではないかと予想できる．
　実際，赤玉が３個と白玉が２個あるときに，３個同時に取り出す場合でも，赤玉の個数の期待値と白玉の個数の期待値は，:=3:2が成り立っている．（ただし，この場合は，+=3）

（参考）
　通俗的な感覚（答案に書いても○してもらえない理由付け）だけで言えば，２個同時に取り出すときと，１個ずつ２回取り出すときの，赤玉の個数，白玉の個数の期待値は，結果が一致しているから，いつでも同じになるのではないか，と予想できる．
　実際，２個同時に取り出すときは，（組合せ）÷（組合せ）となるのに対して，非復元で１個ずつ取り出すときは（順列）÷（順列）となって，分母・分子とも2!倍になるだけだから，結果は一致する．

（参考）
　非復元抽出の場合と復元抽出の場合とで結果が一致する．
　その理由を，通俗的（答案に書いても○してもらえない理由付け）に考えてみると，復元抽出の場合は，玉の数は毎回3：2であるのに対して，非復元抽出の場合は玉の数が減っていくことを考慮に入れる必要がある．
　すなわち，非復元抽出の場合，１回目に赤玉が出る確率は0.6，白玉が出る確率は0.4だから，２回目を取るときには，全部で4個のうちに赤玉が2.4個，白玉が1.6個，3：2の割合で含まれることになり，赤の「濃さ」は変わらない．（元が濃いと出やすいから，取った玉を戻さない場合でも濃さは変わらない）．
　そのような訳で，復元抽出の場合と非復元抽出の場合とで結果が一致すると考えられる．

（参考）
　通俗的な感覚だけで言えば，赤玉の方が多く入っているので，赤玉が出るまでの回数の方が少なくなるはずであるが，玉が3:2の割合で入っているときに，出るまでの回数が3:4となる関係（他の比率でも通用する関係）を示すのは簡単ではない．

　正しい番号を選択してください．

【問題１】
　２つのさいころを同時に投げて，大きい方の目をM，小さい方の目をmとする（２つの目が等しいときは，M, mいずれもその等しい値とする）．M, mの期待値に最も近い組合せは次のうちどれか．

1E(m)=2.0, E(M)=4.0 2E(m)=2.2, E(M)=3.8
3E(m)=2.5, E(M)=4.5 4E(m)=2.7, E(M)=4.3

解説

m	1	2	3	4	5	6
1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	2	2	2	2
3	1	2	3	3	3	3
4	1	2	3	4	4	4
5	1	2	3	4	5	5
6	1	2	3	4	5	6

M	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	2	3	4	5	6
3	3	3	3	4	5	6
4	4	4	4	4	5	6
5	5	5	5	5	5	6
6	6	6	6	6	6	6

mは上の表のように決まるから，確率分布表は

m	1	2	3	4	5	6	計
P							1

　E(m)=1×+2×+...+6×==2.52..
Mの確率分布表は

M	1	2	3	4	5	6	計
P							1

　E(M)=1×+2×+...+6×==4.47..

【問題２】
　袋の中に赤玉４個，白玉１個が入っている．同時に３個取り出すとき，その中に含まれる赤玉の個数の期待値を求めてください．



12.0 22.4 32.7 43.5

解説

5個ある玉の中から，3個取り出す方法は，全部で
N=5C3=10通り
ア） 赤玉2個と白玉1個を取り出す方法は
4C3×1C1=6通り
イ） 赤玉3個と白玉0個を取り出す方法は
4C3×1C0=4通り
したがって，赤玉の個数について，確率分布表は次のようになる．

X	2	3	計
P			1

赤玉の個数の期待値は
E(X)=2×+3×==2.4

【問題３】
　トランプのハートのカードが３枚，スペードのカードが４枚，合計７枚ある．裏返してよく切ってから，１枚ずつ２回抜き取るとき，ハートのカードが出る回数の期待値を求めてください．ただし，抜き取ったカードは元に戻さないものとします．


1 2 3 4

解説

７枚のカードから，カードを１枚ずつ２回取り出す（元に戻さない）方法は，全部で
N=7×6=42通り
ア） スペード，スペードの順に出る出方は
4×3=12通り
イ） スペード，ハートまたはハート，スペードの順に出る出方は
4×3+3×4=24通り
ウ） ハート，ハートの順に出る出方は
3×2=6通り
したがって，ハートが出る回数について，確率分布表は次のようになる．

X	0	1	2	計
P				1

ハートが出る回数の期待値は
E(X)=0×+1×+2×==

【問題４】
　５枚の10円硬貨を同時に投げるとき，表が出る枚数の期待値を求めてください．
［例］　表表表裏裏⇒表は３枚

1 22 3 43 5

解説

5枚のうちr (r=0,1,2,..,5)枚が表となる確率は
5Cr()r()n−r=5Cr()5
だから，確率分布表は次のようになる

X	0	1	2	3	4	5	計
P	5C0	5C1	5C2	5C3	5C4	5C5	1

すなわち

X	0	1	2	3	4	5	計
P							1

E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=

【問題５】
　トランプのハートのカードが３枚，スペードのカードが４枚，合計７枚ある．裏返してよく切ってから，ハートが出るまで１枚ずつ取るとき，取る回数の期待値を求めてください．ただし，取ったカードは元に戻さないものとします．

12 2 3 43

解説

ア）　１回目にハートが出る確率は，

イ）　１回目にスペードが出て，２回目にハートが出る確率は，
×
ウ）　１回目，２回目にスペードが出て，３回目にハートが出る確率は，
××
エ）　１回目，２回目，３回目にスペードが出て，４回目にハートが出る確率は，
×××
オ）　１回目〜４回目にスペードが出て，５回目にハートが出る確率は，
××××1

X	1	2	3	4	5	計
P						1

E(X)=1×+2×+3×+4×+5×==2

【問題６】
　３枚の10円硬貨を投げて，表が出た枚数を数えるにあたって，なるべく表の枚数が多くなるように，次のルールで行うことにする．
（Ｉ）　１回目は３枚同時に投げる．
（II）　１回目が表になった硬貨はそのままにしておき，裏になった硬貨だけをもう一度投げ直して，２回目に表が出たものも表の枚数に入れる．
　このようにして，２回目までに表となる硬貨の枚数の期待値を求めてください．

1 22 3 4 5

解説

ア）１回目に３枚とも裏となる確率は，3C0()3=
　裏が出た３枚を２回目に投げたときに，２回目に表が0,1,2,3枚出る確率は，,,,
イ）１回目に表が１枚（裏が２枚）出る確率は，3C1()3=
　裏が出た２枚について，２回目に表が0,1,2枚出る確率は，,,
ウ）１回目に表が２枚（裏が１枚）出る確率は，3C2()3=
　裏が出た１枚について，２回目に表が0,1枚出る確率は，,
エ）１回目に表が３枚出る確率は，3C3()3=
　この場合は，２回目は投げない．

表の数	0	1	2	3
0→×	0 (	1	2	3 )
1→×	1 (	2	3 )	×
2→×	2 (	3 )	×	×
3→	3 ×	×	×	×

E(X)=0×+1×+2×+3×
+1×+2×+3×
+2×+3×
+3×=

【問題７】

　箱の中に赤玉が１個，青玉が２個，黄玉が４個，白玉が13個入っているくじがあり，１個取り出したときに，赤玉が出たら1000円，青玉が出たら500円，黄玉が出たら100円もらえ，白玉ははずれとなっている．このくじで玉を１個を取り出すとき，もらえる金額の期待値を求めてください．

190（円） 2100（円） 3110（円） 4120（円）

解説

　次の表の水色の部分が確率分布表（玉の色は関係ない）

玉の色	赤	青	黄	白	計
変数X（円）	1000	500	100	0	計
確率P					1

E(X)=1000×+500×+100×+0×==120

【問題８】

　ある学校で生徒の家庭学習時間を調査したら次の表のようになった．この学校の生徒の家庭学習時間の期待値（平均値）を求めてください．

T（時間）	0	1	2	3	4	計
割合（％）	60	30	6	3	1	100

10.55 20.95 31.15 42.25

解説

　確率分布表は次のようになる．

T（時間）	0	1	2	3	4	計
P	0.60	0.30	0.06	0.03	0.01	1

E(T)=0×0.6+1×0.3+2×0.06+3×0.03+4×0.01=0.55
　初歩的な計算ミスとして，0×0.6を0.6としてしまうものが，時々見られるので注意してください．