平方根の大小比較

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の展開因数分解素数・素因数分解平方根
２次方程式三平方の定理２次関数平行線・相似

※中学３年生向け「平方根，ルート」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓２乗，平方根，ルート
↓根号と大小比較-現在地

↓根号の変形
↓根号の積商
↓根号の和差
↓根号の積,展開

↓分母に根号のない形
↓同(2)
↓同(3)

↓大小比較
↓大小比較(2)

↓試験問題(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)

↓平方根→整数
↓平方根と式の値
↓平方根.式の値(入試問題)
平方根と整数.小数部分(入試問題)

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根号で表された数の大小比較
○根号の中の数が大きくなると，ルートの値も大きくなります．

【例】
(1) 2<3だから $\sqrt{2}\lt \sqrt{3}$

（小数で言えば1.41421...<1.73205...ですが，この小数が分からなくても大小比較ができるところがミソです）

(2) 5<6だから $\sqrt{5}\lt \sqrt{6}$

（小数で言えば2.23606...<2.44949...）

小数のルートも根号の中の数字の大小と一致します．
(3) 1.2<1.3だから $\sqrt{1.2}\lt \sqrt{1.3}$

（1.095...<1.140...）

分数の大小でも同様です．
(4) $\frac{1}{3}\lt \frac{1}{2}$ だから $\sqrt{\frac{1}{3}}\lt \sqrt{\frac{1}{2}}$

（0.5773...<0.7071...）

○負の根号の大小は，正の根号の大小と逆になります．

【例】
(1) 2<3→ $\sqrt{2}\lt \sqrt{3}$
→ $-\sqrt{3}\lt -\sqrt{2}$
(2) 5<7→ $\sqrt{5}\lt \sqrt{7}$
→ $-\sqrt{7}\lt -\sqrt{5}$

○根号の付いている数と根号の付いていない数の大小を比較するには，両方とも根号の付いた形に直せばよい

【例】
(1) 3と $\sqrt{7}$ とではどちらが大きいか？という問題では
3を $\sqrt{9}$ に直して考えて， $\sqrt{9}\gt\sqrt{7}$ だから $3\gt\sqrt{7}$
(2) 4と $\sqrt{18}$ の大小を比較するには
$4=\sqrt{16}\lt\sqrt{18}$ のように短縮形で書いてもよい．

【問題１】　次の各組の数の中で最も大きなものを選んでください．
（クリックしてください）

(1) $\sqrt{3}$ $\sqrt{5}$ $\sqrt{7}$

解説
3<5<7だから $\sqrt{3}\lt \sqrt{5} \lt \sqrt{7}$
最も大きなものは $\sqrt{7}$ になります

(2) $\sqrt{19}$ $\sqrt{17}$ $\sqrt{15}$

解説
15<17<19だから $\sqrt{15}\lt \sqrt{17} \lt \sqrt{19}$
最も大きなものは $\sqrt{19}$ になります．
※これらの値が小数に直せなくても，大小の比較はできることに注意ましょう

(3) $-\sqrt{8}$ $-\sqrt{11}$ $-\sqrt{5}$

解説
5<8<11だから $\sqrt{5}\lt \sqrt{8} \lt \sqrt{11}$
符号を変えると逆順になって $-\sqrt{11}\lt -\sqrt{8} \lt -\sqrt{5}$
最も大きなものは $-\sqrt{5}$ になります．

(4) $\sqrt{8}$ 4 $\sqrt{12}$

解説
$\sqrt{8}\lt \sqrt{12} \lt \sqrt{16}$ だから $\sqrt{8}\lt \sqrt{12} \lt 4$
最も大きなものは4になります．

(5) $\sqrt{0.1}$ $\sqrt{0.2}$ 0.3

解説
0.32=0.09だから $0.3=\sqrt{0.09}$
$\sqrt{0.09}\lt \sqrt{0.1} \lt \sqrt{0.2}$ だから $0.3\lt \sqrt{0.1} \lt \sqrt{0.2}$
最も大きなものは $\sqrt{0.2}$ になります．

(6) $\sqrt{0.7}$ $\sqrt{0.8}$ 0.9

解説
0.92=0.81だから $0.9=\sqrt{0.81}$
$\sqrt{0.7}\lt \sqrt{0.8} \lt \sqrt{0.81}$ だから $\sqrt{0.7}\lt \sqrt{0.8} \lt 0.9$
最も大きなものは0.9になります．

【問題２】　次の各組の数の中で最も大きなものを選んでください．
（クリックしてください）

(1) $\sqrt{0.7}$ 0.8 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

解説
0.82=0.64だから $0.8=\sqrt{0.64}$
また，分数を小数に直すと $\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{0.5}$
$\sqrt{0.5}\lt \sqrt{0.64} \lt \sqrt{0.7}$ だから $\sqrt{\frac{1}{2}}\lt 0.8 \lt \sqrt{0.7}$
最も大きなものは $\sqrt{0.7}$ になります．

(2) $\frac{3}{2}$ $\sqrt{\frac{4}{3}}$ $\sqrt{\frac{5}{4}}$

解説
$\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2=\frac{9}{4}$ だから $\frac{3}{2}=\sqrt{\frac{9}{4}}$
分数を通分すると $\frac{9}{4}=\frac{27}{12},\frac{4}{3}=\frac{16}{12},\frac{5}{4}=\frac{15}{12}$
$\frac{15}{12}\lt \frac{16}{12}\lt \frac{27}{12}$ だから $\sqrt{\frac{15}{12}}\lt \sqrt{\frac{16}{12}}\lt \sqrt{\frac{27}{12}}$
最も大きなものは $\sqrt{\frac{27}{12}}=\frac{3}{2}$ になります．

(3) −1 $-\sqrt{\frac{4}{3}}$ $-\sqrt{\frac{3}{2}}$

解説
$1=\sqrt{1}$ として根号の中を比較する．
分数を通分すると $1=\frac{6}{6},\frac{4}{3}=\frac{8}{6},\frac{3}{2}=\frac{9}{6}$
$\frac{6}{6}\lt \frac{8}{6}\lt \frac{9}{6}$ だから $\sqrt{\frac{6}{6}}\lt \sqrt{\frac{8}{6}}\lt \sqrt{\frac{9}{6}}$
符号を変えると $-\sqrt{\frac{9}{6}}\lt -\sqrt{\frac{8}{6}}\lt -\sqrt{\frac{6}{6}}$
最も大きなものは $-\sqrt{\frac{6}{6}}=-1$ になります．

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