三平方の定理

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の展開因数分解素数・素因数分解平方根
２次方程式三平方の定理２次関数平行線・相似

※中学３年生向け「三平方の定理」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓三平方の定理-現在地
↓同(2)
↓同(3)

↓三平方の定理の応用
↓2点間の距離
↓三平方の定理の逆

↓立体の体積(入試問題)
立体の表面積.展開図(入試問題)

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《三平方の定理》

《解説》
■次のような直角三角形の３辺の長さについては，

a2+b2=c2

が成り立ちます．（これを三平方の定理といいます．）

これを用いて３辺の長さのうち２辺の長さが分かっているとき，残りの１辺の長さを求めることができます．

［証明］・・・証明の仕方は何十通り～何百通りあると言われています。中でも簡単そうなのは次の証明です。

《問題１》
次の直角三角形において，ｘの長さを求めなさい
(1)

√2√ni 　　.

√3√ni 　　.

√5√ni 　　.

√6√ni 　　3 　　5

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【答案の傾向】2012.2.19--2012.8.28の期間に寄せられた答案について（以下の問題についても同様）
(1)　答案の70％は正答ですが，√5を選ぶ誤答が9％あります．この間違いは，三平方の定理の式は一応使えるが「斜辺」と「１辺」とがはっきりと区別できていないときに起ると考えられます．この問題では，求めたいものは「１辺」ですから12+x2=22からxを求めます．

(2)

√2√ni 　　2 　　.

√10√nni 　　2.

√3√ni 　　8 　　10

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【答案の傾向】
(2)　答案の69％は正答ですが，10を選ぶ誤答が9％あります．この間違いは，三平方の定理の式は一応使えるがx2の値が出ると油断してしまってそのまま答えにしてしまうのが原因だと考えられます．x2=10からx=.

√10√nniにしなければなりません．

安心するのはまだ早い！　油断大敵！

(3)

5 　　.

√5√ni 　　.

√7√ni 　　.

√11√nni 　　13 　　.

√13√nni

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【答案の傾向】
(3)　答案の78％は正答ですが，13を選ぶ誤答が6％あります．この間違いは，三平方の定理の式は一応使えるがx2の値が出ると油断してしまってそのまま答えにしてしまうのが原因だと考えられます．x2=13からx=.

√13√nniにしなければなりません．

安心するのはまだ早い！　油断大敵！

(4)

√2√ni 　　.

√3√ni 　　2 　　3 　　4 　　6

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【答案の傾向】
(4)　答案の65％は正答ですが，4や6を選ぶ誤答が7％，8％あります．この間違いは，三平方の定理の式は一応使えるが「斜辺」と「他の辺」を求めるときがよく分かっていない場合や根号計算(2.

√5√ni)2=20が正確にできないことによると考えられます．

根号計算をしかりやろう！⇒(a.

√b√ni)2=a2b

*** いくらやってもできない場合
→ 根号計算の間違いに注意 ***

○根号の中を１つの数字に直してからルート（平方根のうちの正の方）を考えること

$\sqrt{3^2+4^2}\rightarrow$ $\sqrt{3^2}+ \sqrt{4^2}=3+ 4=7$ は×

$\sqrt{3^2+4^2}\rightarrow$ $\sqrt{9+ 16}=\sqrt{25}=5$ は○

$\sqrt{2^2-1^2}\rightarrow$ $\sqrt{2^2}-\sqrt{1^2}=2-1=1$ は×

$\sqrt{2^2-1^2}\rightarrow$ $\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ は○

○根号の中で２乗になっている数は外に出ると１つになる．１つしかないものは出られない．

$\sqrt{12}\rightarrow$ $\sqrt{2^2\cdot3}$ $=2$ $\sqrt{3}$

○根号の中に３個あるものは２個と１個に分ける

$\sqrt{8}\rightarrow$ $\sqrt{2^2\cdot2}$ $=2$ $\sqrt{2}$

《問題２》
　次の正方形の対角線の長さを求めなさい．

√2√ni　　.

√3√ni　　2　　.

√5√ni　　2.

√2√ni

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【答案の傾向】
答案の76％は正答ですが，.

√2√niを選ぶ誤答が6％あります．この間違いは，正方形と言えば斜辺は.

√2√niと短絡的に覚えてしまうことが原因だと考えられます．１辺の長さが２になっていますので，これに対応した斜辺にしなければなりません．

《問題３》
　次の正三角形の高さを求めなさい．

√2√ni　　.

√3√ni　　2　　.

√5√ni　　2.

√2√ni

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【答案の傾向】
答案の65％は正答ですが，2.

√2√niを選ぶ誤答が12％あります．
三平方の定理を使うためには，「２つの辺の長さが分かっていて，残りの１辺の長さを求める」という形にしなけれななりませんが，そのためには「正三角形」ということを利用して「頂点から垂線を引く」ことが必要です．

《問題４》
　1番目の三角形として直角をはさむ２辺の長さが１，１である直角三角形を作ります．
　次に，その斜辺と長さ１の辺を直角をはさむ２辺として，２番目の三角形を作ります．
　さらに，できた斜辺と長さ１の辺を直角をはさむ２辺として，３番目の三角形を作ります．
　同様にして，４番目の三角形を作ったとき，４番目の三角形の斜辺の長さを求めなさい．