※中学3年生向け「平方根,ルート」について,このサイトには次の教材があります. この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ![]() ![]() |
そもそも
【分母に根号がない形とは】
(解説)【例1】 この数字のだいたいの大きさを求めるために, のように「小数点を移動」して割り算を始めようとしても, これに対して のように前から順に必要な桁数だけ求めることができます. |
【例2】 文字式で
これと同様に
のような形をしていると, の形になっていると と簡単にすることができます. ※このように,さまざまな計算の中に ※分母に根号がない形に変形すると,分子に根号が登場するのが普通ですが,「分子に」根号があるのは「横に」根号があるのと同じで,よい形なのです.
「分母に根号がない形」あるいは「分母に根号を含まない形」に変形することを,高校では「分母の有理化」といいますが,この用語は中学校の教科書には出ていないようです.(高校でもう一度習います).
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基本
【例】
(1) (1)
○中学校で習う「根号」は2乗すればその中に書かれた数を表すようになっています.
≪例≫ そこで,「分母に書かれた根号と同じ数を掛けると根号がはずれる」というのが,分母から根号を取り除くための基本的な考え方です. だから,要点は簡単で,分母に ○しかし,分母だけに勝手に この変形は,小学校以来,通分や約分のときに学んで来た変形です. ○分母を根号のない形にするためには,分子にも根号を掛けなければなりません.そうすると分子が根号のある形になります.これは仕方のないことです. 分母をきれいにするためには,分子がボロボロになってもよい.「分母を助けるために分子には泣いてもらう」と割り切ること.両方によい顔をしようなどと中途半端に気を使うと間違ってしまう. (2)
▲次の答案は間違いではないが,このように書くと「この子は勉強をしていない」とばれてしまうので,できれば避けた方がよい.
![]() だから,下に書いた答案のように,片方しかない |
(3) (4)
【例】…(これよりも下の解説は中学生には難しい・・・できなくてもよい.今,何をしてるのか確かめるために流し読みする程度)
(*1)~(*2)の形の問題は,中学校の教科書では登場しません.これらは高校1年生で習うはずです.(*1) そもそも,1つの根号で書かれた (*1) 分母が根号の和になっていれば,根号の差を掛ける (*2) 分母が根号の差になっていれば,根号の和を掛ける (*) 3つ以上の和や差になっているときは,何回かに分けて行う (こんな問題を中学生向けに出すことはない) (*) 分母に「整数や分数で表せない数」(高校ではこれを無理数という)がある場合でも,平方根で書ける数でなければ2乗しても整数や分数にはなりません.例えば,円周率 |
例と答
次の各式を分母に根号のない形にしてください.和や差になっているものは,できるだけ簡単にしてください.
(1)
(解答)(途中経過) |
(2)
(解答)(途中経過) |
(3)
(解答)(途中経過) |
(4)
(解答)(途中経過) |
(5)
(解答)(途中経過) ![]() |
(6)
(解答)(途中経過) ![]() |
(7)
(解答)(途中経過) |
(8)
(解答)(途中経過) 初めに,根号の中を約分して簡単にしておきます. 次に,分母と分子の2つの根号に分けます.
←
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(9)
(解答)(途中経過) 初めに,根号の中を約分して簡単にしておきます. 次に,分母と分子の2つの根号に分けます. |
(10)
(解答)(途中経過)
第2項を「分母に根号がない形」に直して
の形に持ち込む方向で変形していきます.
← (上に掛けてある)ということは(横に掛けてある)というのと全く同じ
次のように分子に集めてもよい. |
(11)
(解答)(途中経過) 初めに,根号の中を簡単にしておきます. ![]() 次に,第2項を分母に根号のない形に直します. 次のように分子に集めてもよい |
(12)
(解答)(途中経過) 第1項は,根号2つの分数に分けます.第2項は分数を約分しておきます. さらに第2項を根号2つの分数に分けます. 以下の手順は,前の問題と同様です. ただし,分数が幾つもあるときの≪進め方≫は,次のように考えます.
▲「通分すると複雑になる」
◎「1つずつ分母を書き替える」 次のように分子に集めてもよい |
問題1
分母に根号のない形にしてください.(選択肢の中から正しいものをクリック) |
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