二次方程式１

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の展開因数分解素数・素因数分解平方根
２次方程式三平方の定理２次関数平行線・相似

※中学３年生向け「２次方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓x²=a による解き方-現在地
↓(x+a)²=A による解き方

↓因数分解による解き方
↓同(2)
↓同(3)

↓二次方程式の解の公式
↓根号計算（約分の復習）

↓二次方程式の解き方（まとめ）
↓二次方程式の解き方（まとめ2）
二次方程式の入試問題

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※なお高校生以上向きの２次方程式，３次以上の方程式については次の教材があります．

２次方程式の解の公式（虚数解含む）

３次方程式

フリ－ソフト wxMaxima による高次,連立方程式の解き方

===≪2次方程式の解≫=== 【解説】
■平方根の復習

２乗したときに $a(\gt 0)$ になる元の数を $a$ の平方根といい， $\pm \sqrt{a}$ で表わします．

だから，

２次方程式 $x^2=a$ （ただし $a\gt 0$ ）の解は $x=\pm \sqrt{a}$ で表されます．

【例】

(1)　 $x^2=3$ の解は $x=\pm \sqrt{3}$
(2)　 $x^2=4$ の解は $x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$
(3)　 $x^2=12$ の解は $x=\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$

○肩の２を取る代わりに相手に±√が付く
○自分（x）が楽になれば，相手（a）は苦しくなる

【問題１】　次の２次方程式の解を求めてください．
（下の選択肢から選んでください）

x2=3

[第1問 / 全8問]次の問題解説↓

$x=\pm \sqrt{2}$ $x=\pm \sqrt{3}$ $x=\pm \sqrt{5}$

$x=\pm 2\sqrt{5}$ $x=\pm 2\sqrt{2}$ $x=\pm 3\sqrt{2}$

$x=\pm 4\sqrt{2}$ $x=\pm \sqrt{7}$

x=±2 x=±3 x=±4 x=±5 x=±8

$x=\pm \frac{3}{2}$ $x=\pm \frac{7}{4}$ $x=\pm \frac{9}{4}$

$x=\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$ $x=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

===≪2次方程式の解≫=== 【解説】

$x^2=a$ → $x=\pm \sqrt{a}$ の応用として，
$x^2+ 6x+9=7$
すなわち
$(x+3)^2=7$
のような２次方程式も解くことができます．

※この変形方法を使えば，別の頁で扱っている「因数分解による解き方」では解けないような問題でも解くことができます．この変形方法を使えば，どんな２次方程式でも解くことができますが，その結果は「２次方程式の解の公式」にまとめられているので，ここで無理に覚える必要はありません．
　ここでは，単に $\pm \sqrt{a}$ の練習問題だと考えればよい．

■ $(x+ k)^2=a$ の形の方程式は

x+k=Xとおくと

$X^2=a$ の解は
$X=\pm \sqrt{a}$ だから
元に戻すと
$x+ k=\pm \sqrt{a}$
$x=-k \pm \sqrt{a}$
のように解けます．

【例】

(1)　 $(x + 3)^2=7$ → $x+ 3=\pm \sqrt{7}$
3を移項すると → $x=-3 \pm \sqrt{7}$
※7は平行根 $\pm \sqrt{7}$ に変わることに注意
※3は移項によって符号が逆になることに注意

(2)　 $(x - 2)^2=9$ → $x- 2=\pm \sqrt{9}=\pm 3$
−2を移項すると → $x=2 \pm 3$
2+3=5 , 2−3=−1だからx=−1, 5

※(1) $-3 + \sqrt{7},-3-\sqrt{7}$ のように分けても簡単にならないものは「±」のままでよい．
※(2)のように分ければ簡単になるものは，x=2±3の形ではなく，x=−1, 5のように分けなければならない．

【問題２】　次の２次方程式の解を求めてください．
（下の選択肢から選んでください）

(x+3)2=2

[第1問 / 全6問]次の問題解説↓