２乗，平方根，√

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の展開因数分解素数・素因数分解平方根
２次方程式三平方の定理２次関数平行線・相似

※中学３年生向け「平方根，ルート」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓２乗，平方根，ルート-現在地
↓根号と大小比較

↓根号の変形
↓根号の積商
↓根号の和差
↓根号の積,展開

↓分母に根号のない形
↓同(2)
↓同(3)

↓大小比較
↓大小比較(2)

↓試験問題(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)

↓平方根→整数
↓平方根と式の値
↓平方根.式の値(入試問題)
平方根と整数.小数部分(入試問題)

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≪２乗，平方根，ルート≫
■同じ数を２つ掛けたものを，その数の２乗といいます．
【例1】
　３×３＝９だから，３の２乗は９です．これを３²＝９と書きます．

【例2】
(-3)×(-3)＝９だから，-3の２乗は９です．これを(-3)²＝９と書きます．

○ある数が正の数であっても負の数であっても，その数の２乗は１つの正の数になります．

○逆に，2乗してある正の数になる元の数は２つあります．
例えば，３の２乗も−３の２乗も９になるので，２乗して９になる元の数は３と−３の２つです．

【問題１】　正しいものを選んでください．

(1)　4の２乗

2 $\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 $\sqrt{16}$ $-\sqrt{16}$ $\pm \sqrt{16}$

解説
4×4=16

(2)　52

5 −5 ±5 10 −10 ±10

25 −25 ±25 32 −32 ±32

解説
5×5=25

(3)　(−6)2

6 −6 12 −12

$\sqrt{6}$ $-\sqrt{6}$ 36 −36

解説
(−6)×(−6)=36

■２乗してaになる元の数をaの平方根といいます．
【例3】
　３²＝９，(-3)²＝９だから，９の平方根は３と−3の２つあります．
　これらはまとめて±3で表すことができます．
　だから，９の平方根は±3ともいえます．

【例4】
　５²＝25，(-5)²＝25だから，25の平方根は５と−5の２つあります．
　これらはまとめて±5で表すことができます．
　だから，25の平方根は±5ともいえます．

■正の数aに対して，aの平方根のうちで正の数の方を $\sqrt{a}$ で表し，ルートaといいます．
【例5】
　９の平方根は３と−3の２つですが，そのうちの正の方を $\sqrt{9}$ で表します．
　だから， $\sqrt{9}=3$ です．

【例6】
　25の平方根は5と−5の２つですが，そのうちの正の方を $\sqrt{25}$ で表します．
　だから， $\sqrt{25}=5$ です．

■正の数aに対して，aの平方根のうちで負の数の方を $-\sqrt{a}$ で表し，マイナス・ルートaといいます．これは， $\sqrt{a}$ の符号だけを変えたものです．
【例7】
　９の平方根は３と−3の２つですが，そのうちの負の方を $-\sqrt{9}$ で表します．
　だから， $-\sqrt{9}=-3$ です．

【例8】
　25の平方根は5と−5の２つですが，そのうちの負の方を $-\sqrt{25}$ で表します．
　だから， $-\sqrt{25}=-5$ です．

■■正の数aに対して，aの平方根をまとめて $\pm\sqrt{a}$ で表し，プラス・マイナス・ルートaといいます．
【例9】
　９の平方根は $\pm \sqrt{9}$ すなわち $\pm 3$ です．

【例10】
　25の平方根は $\pm \sqrt{25}$ すなわち $\pm 5$ です．

【問題２】　正しいものを選んでください．

(1)　4の平方根

2 −2 ±2

$\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 −16 ±16

解説
±2

(2)　 $\sqrt{4}$

2 −2 ±2

$\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 −16 ±16

解説
2

(3)　 $-\sqrt{4}$

2 −2 ±2

$\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 −16 ±16

解説
−2

(4)　 $\pm \sqrt{4}$

2 −2 ±2

$\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 −16 ±16

解説
±2

■平方根のうちで整数や分数には直せないもの

02=0 , 12=1 , 22=4 , 32=9 , 42=16 , 52=25 , ...だから
$\sqrt{0}$ =0
$\sqrt{1}$ =1
$\sqrt{4}$ =2
$\sqrt{9}$ =3
$\sqrt{16}$ =4
$\sqrt{25}$ =5, ...です．

根号の中を先に決めて， $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt{10},..$ のような数字を考えると，これらは整数や分数では表せないことが知られています．

１つの例として， $\sqrt{2}$ はどんな数字になるか調べてみると，これはa2=2となるような正の数aを表しています．

1.42=1.96←小さ過ぎる
1.52=2.25←大き過ぎる
1.452=2.1025←大き過ぎる
1.412=1.9881←小さ過ぎる
1.422=2.0164←大き過ぎる
1.414213562=1.9999999932...←小さ過ぎる
1.414213572=2.0000000215...←大き過ぎる

　このようにして， $\sqrt{2}$ =1.41421356...辺りの数字になりますが，この小数はどこまで行っても終わりません．
　近似値としては， $\sqrt{2}$ ≒1.41を使うことが多いですが，正確な値で表したいときは根号を付けたまま
$\sqrt{2}$
で表します．
$\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt{10},..$ なども同様にして，根号の中が「平方数（=整数の２乗）」になっていなければ簡単な整数にならないので，根号をつけたままで表します．

（昔の覚え方）…今の生徒は３桁まで言えれば十分

√2√ni=1.41421356...　一夜一夜に人見頃（ひとよひとよにひとみごろ）

夜桜見物で，一夜ごとに花が見頃になっていくに連れて，人の数も見頃になっていく情景を描いたものか･･･

√3√ni=1.7320508...　人並みにおごれや（ひとなみにおごれや）
.

√5√ni=2.2360679...　富士山麓オーム鳴く（ふじさんろくオームなく）
.

√6√ni=2.44949...　似よ良く良く（によよくよく），二夜シクシク（ふたよしくしく）

［前の方］双子の兄弟の話かも･･･［後の方］泣き続けた･･･

√7√ni=2.64575...　[菜]に虫いない（なにむしいない）

語呂合わせの都合で，先頭の７も読んでしまう．･･･

※.

√1√ni=1, .

√4√ni=2, .

√8√ni=2.

√2√ni, .

√9√ni=3は，覚える必要なし．

【例題】

$\sqrt{10}$ の値について，次のうちで正しいものを選んでください．
$1\lt \sqrt{10} \lt 2,$ $2\lt \sqrt{10} \lt 3,$ $3\lt \sqrt{10} \lt 4,$ $4\lt \sqrt{10} \lt 5$

（解答）
$\sqrt{9}\lt \sqrt{10} \lt \sqrt{16}$ だから $3\lt \sqrt{10} \lt 4$ が成り立つ…（答）
（詳しく書けば $\sqrt{10}=3.16227...$ になります．）

【ポイント】
平方数（1,4,9,16,...）の根号（ $\sqrt{1},\sqrt{4},\sqrt{9},\sqrt{16},...$ ）と比較すると整数までの近似値が分かる．

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
$\sqrt{n}$	0	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$	2	$\sqrt{5}$	$\sqrt{6}$	$\sqrt{7}$	$\sqrt{8}$	3	...

【問題３】

(1)　 $\sqrt{12}$ の値について，正しいものを選んでください．

$1\lt \sqrt{12} \lt 2$ $2\lt \sqrt{12} \lt 3$ $3\lt \sqrt{12} \lt 4$

$100 \lt \sqrt{12} \lt 121$ $121 \lt \sqrt{12} \lt 169$

解説
$\sqrt{9}\lt \sqrt{12} \lt \sqrt{16}$ だから $3\lt \sqrt{12} \lt 4$
（詳しく書けば $\sqrt{12}=3.46410...$ になります．）

(2)　 $\sqrt{7}$ の値について，正しいものを選んでください．

$1\lt \sqrt{7} \lt 2$ $2\lt \sqrt{7} \lt 3$ $3\lt \sqrt{7} \lt 4$

$13 \lt \sqrt{7} \lt 15$ $48 \lt \sqrt{7} \lt 50$

解説
$\sqrt{4}\lt \sqrt{7} \lt \sqrt{9}$ だから $2\lt \sqrt{7} \lt 3$
（詳しく書けば $\sqrt{7}=2.64575...$ になります．）

(3)　 $\sqrt{30}$ の値について，正しいものを選んでください．

$3\lt \sqrt{30} \lt 4$ $4\lt \sqrt{30} \lt 5$ $5\lt \sqrt{30} \lt 6$

$6 \lt \sqrt{30} \lt 7$ $8 \lt \sqrt{30} \lt 9$

解説
$\sqrt{25}\lt \sqrt{30} \lt \sqrt{36}$ だから $5\lt \sqrt{30} \lt 6$
（詳しく書けば $\sqrt{30}=5.47722...$ になります．）

■根号の２乗や３乗
　aが０以上の数のとき，
　　「２乗してaになる正の数を $\sqrt{a}$ で，負の数を $-\sqrt{a}$ で表す」
というのが根号の約束なので，これらの数を２乗すると当然 aになります．

a>0のとき $(\sqrt{a})^2=a$
$(-\sqrt{a})^2=a$

【例】
a2=2となる元の数aは $\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ だから
$(\sqrt{2})^2=2$
$(-\sqrt{2})^2=(-1)^2(\sqrt{2})^2=2$

※いくら聞いても通じない人は，少し早口で読んでみると分かるかもしれません．

「２乗すると2になる正の数を $\sqrt{2}$ と書く」のだから，「 $\sqrt{2}$ を２乗すると2になる」．
○ $(\sqrt{2})^2=2$
○マイナスは２乗するとプラスになる．

a2=3となる元の数aは $\sqrt{3}$ と $-\sqrt{3}$ だから
$(\sqrt{3})^2=3$
$(-\sqrt{3})^2=(-1)^2(\sqrt{3})^2=3$

a2=5となる元の数aは $\sqrt{5}$ と $-\sqrt{5}$ だから
$(\sqrt{5})^2=5$
$(-\sqrt{5})^2=(-1)^2(\sqrt{5})^2=5$

$(\sqrt{2})^3,(\sqrt{2})^4,(\sqrt{2})^5,...$ や $(\sqrt{3})^3,(\sqrt{3})^4,(\sqrt{3})^5,...$ のような式は，文字式の変形と同じように計算できます．
x3=x2×xだから
$(\sqrt{2})^3=(\sqrt{2})^2\times \sqrt{2}=2\sqrt{2}$

↑２乗が出てきたら早めに数字にしてしまうのがコツ

$(\sqrt{3})^3=(\sqrt{3})^2\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}$

↑２乗が出てきたら数字にし，１つだけ残るときは根号を残す

x4=x2×x2だから
$(\sqrt{2})^4=(\sqrt{2})^2 \times (\sqrt{2})^2= 2\times 2=4$

↑２つずつ束にするのがコツ

同様にして
$(\sqrt{3})^5=(\sqrt{3})^2 \times (\sqrt{3})^2 \times \sqrt{3}=9 \sqrt{3}$

↑２つずつ束にして数字にし，１つだけ残るときは根号を残す

【問題４】　次の値に等しいものを選んでください．

(1)　 $(\sqrt{4})^2$

4 −4 ±4 $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 −16 ±16

解説
$\sqrt{4}=2$ だから $(\sqrt{4})^2=2^2=4$ と考えてもよいし，
a>0のとき $(\sqrt{a})^2=a$ の公式でa=4の場合にあたると考えて直接 $(\sqrt{4})^2=4$ としてもよい．

(2)　 $(-\sqrt{6})^2$

6 −6 ±6 $\sqrt{6}$ $\sqrt{6}$ $\pm \sqrt{6}$

36 −36 ±36

解説
a>0のとき $(-\sqrt{a})^2=a$ の公式でa=6の場合にあたるから $(-\sqrt{6})^2=6$

(3)　 $(\sqrt{6})^3$

6 −6 ±6 $6\sqrt{6}$ $-6\sqrt{6}$ $\pm 6\sqrt{6}$

216 −216 ±216

解説
$(\sqrt{6})^3=(\sqrt{6})^2\times \sqrt{6}=6\sqrt{6}$

(4)　 $(-\sqrt{5})^3$

5 −5 ±5 $5\sqrt{5}$ $-5\sqrt{5}$ $\pm 5\sqrt{5}$

$25\sqrt{5}$ $-25\sqrt{5}$ $\pm 25\sqrt{5}$

解説
$(-\sqrt{5})^3=(-\sqrt{5})^2\times (-\sqrt{5})=-5\sqrt{5}$

(5)　 $(\pm \sqrt{7})^2$

7 −7 ±7 $7\sqrt{7}$ $-7\sqrt{7}$ $\pm 7\sqrt{7}$

解説
$(\sqrt{7})^2=7$
$(-\sqrt{7})^2=7$
だから，まとめて書けば $(\pm \sqrt{7})^2=7$

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鬮ｮ莨夲ｽｽ�ｪ髯懶ｿｽ闕ｳ蟯ｩ�ｽ髯晢ｿｽ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ陷ｷ�ｶ�ｽ邇匁綜隶捺慣�ｽ�ｭ隴∵腸�ｿ�ｽ髣包ｽｳ�ｽ�ｭ髯晢ｿｽ�ｽ�ｦ髴大｣ｼ迴ｾ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ鬯ｯ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ驕抵ｿｽ�ｽ�ｫ闖ｫ�ｶ�ｽ�ｽ�ｽ�｡髴大｣ｼ迴ｾ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ鬯ｯ�ｽ�ｿ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ驍ｵ�ｺ郢ｧ�ｽ�ｽ鬘費ｽｸ�ｺ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ