２乗，平方根，√

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の展開因数分解素数・素因数分解平方根
２次方程式三平方の定理２次関数平行線・相似

※中学３年生向け「平方根，ルート」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓２乗，平方根，ルート-現在地
↓根号と大小比較

↓根号の変形
↓根号の積商
↓根号の和差
↓根号の積,展開

↓分母に根号のない形
↓同(2)
↓同(3)

↓大小比較
↓大小比較(2)

↓試験問題(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)

↓平方根→整数
↓平方根と式の値
↓平方根.式の値(入試問題)
平方根と整数.小数部分(入試問題)

...（携帯版）メニューに戻る

...(ＰＣ版)メニューに戻る

← PC用は別頁

≪２乗，平方根，ルート≫
■同じ数を２つ掛けたものを，その数の２乗といいます．
【例1】
　３×３＝９だから，３の２乗は９です．これを３²＝９と書きます．

【例2】
(-3)×(-3)＝９だから，-3の２乗は９です．これを(-3)²＝９と書きます．

○ある数が正の数であっても負の数であっても，その数の２乗は１つの正の数になります．

○逆に，2乗してある正の数になる元の数は２つあります．
例えば，３の２乗も−３の２乗も９になるので，２乗して９になる元の数は３と−３の２つです．

【問題１】　正しいものを選んでください．

(1)　4の２乗

2 $\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 $\sqrt{16}$ $-\sqrt{16}$ $\pm \sqrt{16}$

解説
4×4=16

(2)　52

5 −5 ±5 10 −10 ±10

25 −25 ±25 32 −32 ±32

解説
5×5=25

(3)　(−6)2

6 −6 12 −12

$\sqrt{6}$ $-\sqrt{6}$ 36 −36

解説
(−6)×(−6)=36

■２乗してaになる元の数をaの平方根といいます．
【例3】
　３²＝９，(-3)²＝９だから，９の平方根は３と−3の２つあります．
　これらはまとめて±3で表すことができます．
　だから，９の平方根は±3ともいえます．

【例4】
　５²＝25，(-5)²＝25だから，25の平方根は５と−5の２つあります．
　これらはまとめて±5で表すことができます．
　だから，25の平方根は±5ともいえます．

■正の数aに対して，aの平方根のうちで正の数の方を $\sqrt{a}$ で表し，ルートaといいます．
【例5】
　９の平方根は３と−3の２つですが，そのうちの正の方を $\sqrt{9}$ で表します．
　だから， $\sqrt{9}=3$ です．

【例6】
　25の平方根は5と−5の２つですが，そのうちの正の方を $\sqrt{25}$ で表します．
　だから， $\sqrt{25}=5$ です．

■正の数aに対して，aの平方根のうちで負の数の方を $-\sqrt{a}$ で表し，マイナス・ルートaといいます．これは， $\sqrt{a}$ の符号だけを変えたものです．
【例7】
　９の平方根は３と−3の２つですが，そのうちの負の方を $-\sqrt{9}$ で表します．
　だから， $-\sqrt{9}=-3$ です．

【例8】
　25の平方根は5と−5の２つですが，そのうちの負の方を $-\sqrt{25}$ で表します．
　だから， $-\sqrt{25}=-5$ です．

■■正の数aに対して，aの平方根をまとめて $\pm\sqrt{a}$ で表し，プラス・マイナス・ルートaといいます．
【例9】
　９の平方根は $\pm \sqrt{9}$ すなわち $\pm 3$ です．

【例10】
　25の平方根は $\pm \sqrt{25}$ すなわち $\pm 5$ です．

【問題２】　正しいものを選んでください．

(1)　4の平方根

2 −2 ±2

$\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 −16 ±16

解説
±2

(2)　 $\sqrt{4}$

2 −2 ±2

$\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 −16 ±16

解説
2

(3)　 $-\sqrt{4}$

2 −2 ±2

$\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 −16 ±16

解説
−2

(4)　 $\pm \sqrt{4}$

2 −2 ±2

$\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 −16 ±16

解説
±2

■平方根のうちで整数や分数には直せないもの

02=0 , 12=1 , 22=4 , 32=9 , 42=16 , 52=25 , ...だから
$\sqrt{0}$ =0
$\sqrt{1}$ =1
$\sqrt{4}$ =2
$\sqrt{9}$ =3
$\sqrt{16}$ =4
$\sqrt{25}$ =5, ...です．

根号の中を先に決めて， $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt{10},..$ のような数字を考えると，これらは整数や分数では表せないことが知られています．

１つの例として， $\sqrt{2}$ はどんな数字になるか調べてみると，これはa2=2となるような正の数aを表しています．

1.42=1.96←小さ過ぎる
1.52=2.25←大き過ぎる
1.452=2.1025←大き過ぎる
1.412=1.9881←小さ過ぎる
1.422=2.0164←大き過ぎる
1.414213562=1.9999999932...←小さ過ぎる
1.414213572=2.0000000215...←大き過ぎる

　このようにして， $\sqrt{2}$ =1.41421356...辺りの数字になりますが，この小数はどこまで行っても終わりません．
　近似値としては， $\sqrt{2}$ ≒1.41を使うことが多いですが，正確な値で表したいときは根号を付けたまま
$\sqrt{2}$
で表します．
$\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt{10},..$ なども同様にして，根号の中が「平方数（=整数の２乗）」になっていなければ簡単な整数にならないので，根号をつけたままで表します．

（昔の覚え方）…今の生徒は３桁まで言えれば十分

√2√ni=1.41421356...　一夜一夜に人見頃（ひとよひとよにひとみごろ）

夜桜見物で，一夜ごとに花が見頃になっていくに連れて，人の数も見頃になっていく情景を描いたものか･･･

√3√ni=1.7320508...　人並みにおごれや（ひとなみにおごれや）
.

√5√ni=2.2360679...　富士山麓オーム鳴く（ふじさんろくオームなく）
.

√6√ni=2.44949...　似よ良く良く（によよくよく），二夜シクシク（ふたよしくしく）

［前の方］双子の兄弟の話かも･･･［後の方］泣き続けた･･･

√7√ni=2.64575...　[菜]に虫いない（なにむしいない）

語呂合わせの都合で，先頭の７も読んでしまう．･･･

※.

√1√ni=1, .

√4√ni=2, .

√8√ni=2.

√2√ni, .

√9√ni=3は，覚える必要なし．

【例題】

$\sqrt{10}$ の値について，次のうちで正しいものを選んでください．
$1\lt \sqrt{10} \lt 2,$ $2\lt \sqrt{10} \lt 3,$ $3\lt \sqrt{10} \lt 4,$ $4\lt \sqrt{10} \lt 5$

（解答）
$\sqrt{9}\lt \sqrt{10} \lt \sqrt{16}$ だから $3\lt \sqrt{10} \lt 4$ が成り立つ…（答）
（詳しく書けば $\sqrt{10}=3.16227...$ になります．）

【ポイント】
平方数（1,4,9,16,...）の根号（ $\sqrt{1},\sqrt{4},\sqrt{9},\sqrt{16},...$ ）と比較すると整数までの近似値が分かる．

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
$\sqrt{n}$	0	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$	2	$\sqrt{5}$	$\sqrt{6}$	$\sqrt{7}$	$\sqrt{8}$	3	...

【問題３】

(1)　 $\sqrt{12}$ の値について，正しいものを選んでください．

$1\lt \sqrt{12} \lt 2$ $2\lt \sqrt{12} \lt 3$ $3\lt \sqrt{12} \lt 4$

$100 \lt \sqrt{12} \lt 121$ $121 \lt \sqrt{12} \lt 169$

解説
$\sqrt{9}\lt \sqrt{12} \lt \sqrt{16}$ だから $3\lt \sqrt{12} \lt 4$
（詳しく書けば $\sqrt{12}=3.46410...$ になります．）

(2)　 $\sqrt{7}$ の値について，正しいものを選んでください．

$1\lt \sqrt{7} \lt 2$ $2\lt \sqrt{7} \lt 3$ $3\lt \sqrt{7} \lt 4$

$13 \lt \sqrt{7} \lt 15$ $48 \lt \sqrt{7} \lt 50$

解説
$\sqrt{4}\lt \sqrt{7} \lt \sqrt{9}$ だから $2\lt \sqrt{7} \lt 3$
（詳しく書けば $\sqrt{7}=2.64575...$ になります．）

(3)　 $\sqrt{30}$ の値について，正しいものを選んでください．

$3\lt \sqrt{30} \lt 4$ $4\lt \sqrt{30} \lt 5$ $5\lt \sqrt{30} \lt 6$

$6 \lt \sqrt{30} \lt 7$ $8 \lt \sqrt{30} \lt 9$

解説
$\sqrt{25}\lt \sqrt{30} \lt \sqrt{36}$ だから $5\lt \sqrt{30} \lt 6$
（詳しく書けば $\sqrt{30}=5.47722...$ になります．）

■根号の２乗や３乗
　aが０以上の数のとき，
　　「２乗してaになる正の数を $\sqrt{a}$ で，負の数を $-\sqrt{a}$ で表す」
というのが根号の約束なので，これらの数を２乗すると当然 aになります．

a>0のとき $(\sqrt{a})^2=a$
$(-\sqrt{a})^2=a$

【例】
a2=2となる元の数aは $\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ だから
$(\sqrt{2})^2=2$
$(-\sqrt{2})^2=(-1)^2(\sqrt{2})^2=2$

※いくら聞いても通じない人は，少し早口で読んでみると分かるかもしれません．

「２乗すると2になる正の数を $\sqrt{2}$ と書く」のだから，「 $\sqrt{2}$ を２乗すると2になる」．
○ $(\sqrt{2})^2=2$
○マイナスは２乗するとプラスになる．

a2=3となる元の数aは $\sqrt{3}$ と $-\sqrt{3}$ だから
$(\sqrt{3})^2=3$
$(-\sqrt{3})^2=(-1)^2(\sqrt{3})^2=3$

a2=5となる元の数aは $\sqrt{5}$ と $-\sqrt{5}$ だから
$(\sqrt{5})^2=5$
$(-\sqrt{5})^2=(-1)^2(\sqrt{5})^2=5$

$(\sqrt{2})^3,(\sqrt{2})^4,(\sqrt{2})^5,...$ や $(\sqrt{3})^3,(\sqrt{3})^4,(\sqrt{3})^5,...$ のような式は，文字式の変形と同じように計算できます．
x3=x2×xだから
$(\sqrt{2})^3=(\sqrt{2})^2\times \sqrt{2}=2\sqrt{2}$

↑２乗が出てきたら早めに数字にしてしまうのがコツ

$(\sqrt{3})^3=(\sqrt{3})^2\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}$

↑２乗が出てきたら数字にし，１つだけ残るときは根号を残す

x4=x2×x2だから
$(\sqrt{2})^4=(\sqrt{2})^2 \times (\sqrt{2})^2= 2\times 2=4$

↑２つずつ束にするのがコツ

同様にして
$(\sqrt{3})^5=(\sqrt{3})^2 \times (\sqrt{3})^2 \times \sqrt{3}=9 \sqrt{3}$

↑２つずつ束にして数字にし，１つだけ残るときは根号を残す

【問題４】　次の値に等しいものを選んでください．

(1)　 $(\sqrt{4})^2$

4 −4 ±4 $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ $\pm \sqrt{2}$

16 −16 ±16

解説
$\sqrt{4}=2$ だから $(\sqrt{4})^2=2^2=4$ と考えてもよいし，
a>0のとき $(\sqrt{a})^2=a$ の公式でa=4の場合にあたると考えて直接 $(\sqrt{4})^2=4$ としてもよい．

(2)　 $(-\sqrt{6})^2$

6 −6 ±6 $\sqrt{6}$ $\sqrt{6}$ $\pm \sqrt{6}$

36 −36 ±36

解説
a>0のとき $(-\sqrt{a})^2=a$ の公式でa=6の場合にあたるから $(-\sqrt{6})^2=6$

(3)　 $(\sqrt{6})^3$

6 −6 ±6 $6\sqrt{6}$ $-6\sqrt{6}$ $\pm 6\sqrt{6}$

216 −216 ±216

解説
$(\sqrt{6})^3=(\sqrt{6})^2\times \sqrt{6}=6\sqrt{6}$

(4)　 $(-\sqrt{5})^3$

5 −5 ±5 $5\sqrt{5}$ $-5\sqrt{5}$ $\pm 5\sqrt{5}$

$25\sqrt{5}$ $-25\sqrt{5}$ $\pm 25\sqrt{5}$

解説
$(-\sqrt{5})^3=(-\sqrt{5})^2\times (-\sqrt{5})=-5\sqrt{5}$

(5)　 $(\pm \sqrt{7})^2$

7 −7 ±7 $7\sqrt{7}$ $-7\sqrt{7}$ $\pm 7\sqrt{7}$

解説
$(\sqrt{7})^2=7$
$(-\sqrt{7})^2=7$
だから，まとめて書けば $(\pm \sqrt{7})^2=7$

...（携帯版）メニューに戻る

...メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります