根号計算（式の値）.高校入試問題

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== 根号計算（式の値）の入試問題 ==
〇このページでは，高校入試問題としてよく出る根号計算のうち，次の例題のような形で式の値を求める問題を扱います．

【例題１】

$x=\sqrt{5}+ 3,\hspace{5}y=\sqrt{5}-3$ のとき， $2x^2-2y^2$ の値を求めなさい。求め方も書くこと。

（山形県2017年入試問題）

　このくらいの問題では，力任せに単純計算主義で押し通していっても，一応できますが，与えられた式と求めるべき式の関係を利用して解くのがよい解き方です．
　見通しがよく，点検しやすい答案にすると，もっと複雑な問題を解くときでも，間違いが少なくなると考えるとよいでしょう．

（解答）
与えられた条件から
$x+ y=2\sqrt{5}$
$x-y=6$
になるから
$2x^2-2y^2=2(x+ y)(x-y)$
$=2\times 2\sqrt{5}\times 6=24\sqrt{5}$ …（答）

【要点１】
与えられた条件式が
$x=\sqrt{a}+\sqrt{b},\hspace{5}y=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
とか
$x=a+\sqrt{b},\hspace{5}y=a-\sqrt{b}$
などの形をしているときは，問題を解く前に，あらかじめ
$x+ y,\hspace{5}x-y,\hspace{5}xy$
などの簡単で使えそうな式を作っておき，求めたい式をそれらで表す．

※以下に引用する高校入試問題で，元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

【問題１】　（画面上で解答するには，選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

$x=\sqrt{5}+\sqrt{2},\hspace{5}y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$ のときの，式 $x^2y-xy^2$ の値を求めなさい。

（岐阜県2017年入試問題）

解説やり直す

$6\sqrt{2}$ $6\sqrt{5}$ $2\sqrt{5}+\sqrt{10}$ $4\sqrt{5}-2\sqrt{10}$

求める式は
$x^2y-xy^2=xy(x-y)$
と変形できるから， $xy$ と $x-y$ が判れば計算できる．
$xy=(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=5-2=3$
$x-y=(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$
ゆえに
$x^2y-xy^2=xy(x-y)=3\times 2\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$ …（答）

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(2)
$a=\sqrt{5}+ 2,\hspace{5}b=\sqrt{5}-2$ のとき， $a^2-ab+ b^2$ の値を求めよ。

（奈良県2017年入試問題）

解説やり直す

$15$ $17$ $19$ $21$

$a^2-ab+ b^2=(a-b)^2+ ab$
だから， $a-b$ と $ab$ の値が分かればよい．
$a-b=4$
$ab=5-4=1$
したがって
$a^2-ab+ b^2=(a-b)^2+ ab=16+ 1=17$ …（答）

（別解）
$a^2-ab+ b^2=(a+ b)^2-3ab$
だから， $a+ b$ と $ab$ の値が分かればよい．
$a+ b=2\sqrt{5}$
$ab=5-4=1$
したがって
$a^2-ab+ b^2=(a+ b)^2-3ab$
$=20-3=17$ …（答）

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(3)
$x=\sqrt{7}+ 2,\hspace{5}y=\sqrt{7}-2$ のとき， $x^2-y^2$ の値を求めよ。

（京都府2015年入試問題）

解説やり直す

$4$ $8$ $4\sqrt{4}$ $8\sqrt{7}$

$x^2-y^2=(x+ y)(x-y)$ だから， $x+ y$ と $x-y$ の値を求めておけばよい．
$x+ y=2\sqrt{7}$
$x-y=4$
したがって
$(x+ y)(x-y)=2\sqrt{7}\times 4=8\sqrt{7}$ …（答）

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(4)

$x=\frac{5+\sqrt{7}}{2},\hspace{5}y=\frac{5-\sqrt{7}}{2}$ のとき，
$(x+ 3y)^2+(3x-y)^2+ 20xy$ の値を求めよ。

（東京都2017年入試問題）

解説やり直す

$50$ $150$ $250$ $350$

$(x+ 3y)^2+(3x-y)^2+ 20xy$ を変形しておくと
$x^2+ 6xy+ 9y^2+ 9x^2-6xy+ y^2+ 20xy$
$=10x^2+ 20xy+ 10y^2=10(x+ y)^2$
ここで
$x+ y=\frac{5+\sqrt{7}}{2}+\frac{5-\sqrt{7}}{2}=\frac{10}{2}=5$
したがって
$10(x+ y)^2=10\times 5^2=250$ …（答）

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【例題２】

$x=\sqrt{5}+ 1$ のとき， $x^2-2x+ 1$ の値を求めなさい。

（茨城県2017年入試問題）

（準備）
［２次方程式から解を求めるには］

≪1≫
２次方程式 $x^2-2x-4=0$ を解の公式を使って解くと
$x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2}$
$=1\pm\sqrt{5}$

【解の公式】
$a\ne 0$ のとき
$ax^2+ bx+ c=0$
の解は
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

つまり
２次方程式： $x^2-2x-4=0\overset{\overset{\circ}{\rightarrow}}{\underset{\circ}{\leftarrow}}x=1\pm\sqrt{5}$ ：解

≪2≫
この結果は，次のように $(\hspace{20})^2$ を作っていく変形によっても得られます．
$x^2-2x-4=0$
$x^2-2x+ 1-1-4=0$
$x^2-2x+ 1=5$
$(x-1)^2=5$ …(*1)
したがって
$x-1=\pm\sqrt{5}$ …(*2)
$x=1\pm\sqrt{5}$
つまり
２次方程式： $x^2-2x-4=0\overset{\overset{\circ}{\rightarrow}}{\underset{\circ}{\leftarrow}}x=1\pm\sqrt{5}$ ：解

［解から２次方程式を作るには］
≪3≫
　上記のように，２次方程式から解を求める変形は，教科書などで何度も練習しますが，解が分かっているときに元の２次方程式を作るにはどうしたらよいか？
　上記の(*1)を(*2)にすると，方程式→解の変形ですが，(*2)を(*1)にすると，解→方程式の変形になっているのです．

【間違ってはいけないこと】

たとえば，１つの解が $x=1+\sqrt{5}$ のとき，このまま両辺を２乗しても，きれいな形にはなりません．
$x=1+\sqrt{5}$
$x^2=(1+\sqrt{5})^2=1+ 2\sqrt{5}+ 5=6+ 2\sqrt{5}$
となって，根号が残ります．

【次のようにやるとできます】

(*2)の形にするには，「右辺に根号が１つだけある形」でなければなりません．すなわち
$x-1=\sqrt{5}$
の両辺を２乗すると
$(x-1)^2=5$
$x^2-2x+ 1=5$
$x^2-2x-4=0$ …できあがり！

≪4≫
【解から方程式が作れたら，なぜうれしいのか】

例えば，次のような問題があるとします．

(1) $x=1+\sqrt{5}$ のとき， $x^2-2x+ 1$ の値を求めよ．
(2) $x=1+\sqrt{5}$ のとき， $x^2-2x-5$ の値を求めよ．

上で練習したように， $x=1+\sqrt{5}$ のとき， $x^2-2x-4=0$ であることが使えるので
(1)　両辺に5を加えると $x^2-2x+ 1=5$
(2)　両辺から1を引くと $x^2-2x-5=-1$

このように，２次式の値を求める問題が解けます．

※この程度の問題では，(A)上記の解き方を身に着けるのに要する時間が１時間くらいだとして，なおかつ(B)上記の方法を知らなくても体力勝負の単純計算主義でも解けるという生徒が何割かは残るでしょう．
しかし，もっと複雑な問題になったら，やはり(A)方式でないと無理になります．
【高校の問題の例】

$x=1+\sqrt{5}$ のとき， $x^4-9x^2-6x+ 5$ の値を求めよ．
【解答】 $x=1+\sqrt{5}$ のとき， $x^2-2x-4=0$ …(1)
$x^4-9x^2-6x+ 7$
$=($ $x^2-2x-4$ $)(x^2+ 2x+ 1)+ 3$ …(2)
(1)の結果を使うと(2)は $3$ となります．…（答）

※この教材の作者（私）がどんなに頑張って教えても，「中学生向きにはあまり複雑な問題は出せない」ので，単純に計算してもできる問題ばかりになるため，この解き方のありがたさは理解してもらえないかもしれません．

（参考）
≪1≫≪2≫において $\overset{\overset{\circ}{\rightarrow}}{\underset{\circ}{\leftarrow}}$ で示したように，２次方程式の解は２つあります．つまり， $x=1-\sqrt{5}$ のときも， $x^2-2x-4=0$ が成り立ちます．したがって，次のような問題も同様にして解けます．

(3) $x=1-\sqrt{5}$ のとき， $x^2-2x$ の値を求めよ．
(4) $x=1-\sqrt{5}$ のとき， $x^2-2x+ 5$ の値を求めよ．

$x=1-\sqrt{5}$ のとき， $x-1=-\sqrt{5}$ だから，両辺を2乗すると
$(x-1)^2=(-\sqrt{5})^2=5$
$x^2-2x+ 1=5$
$x^2-2x-4=0$
以上の結果を利用すると
(3)　 $x^2-2x=4$
(4)　 $x^2-2x+ 5=9$

（例題２の解答）

$x-1=\sqrt{5}$ だから，両辺をそれぞれ２乗すると
$(x-1)^2=(\sqrt{5})^2$
$x^2-2x+ 1=5$ …（答）
（参考）
単純計算主義で押し通した場合は，次のような答案になるでしょう．（間違いにはならない）
$x^2-2x+ 1=(\sqrt{5}+ 1)^2-2(\sqrt{5}+ 1)+ 1$
$=5+ 2\sqrt{5}+ 1-2\sqrt{5}-2+ 1=5$ …（答）

【要点２】
右辺を根号だけにしてから２乗する．
$x=a+\sqrt{b}\hspace{5}\rightarrow\hspace{5}x-a=\sqrt{b}$

※元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

【問題２】

(1)
$x=-4+\sqrt{2}$ のとき， $x^2+ 8x+ 16$ の値を求めなさい。

（埼玉県2015年入試問題）

解説やり直す

$\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$ $2$ $3$

$x=-4+\sqrt{2}$ のとき
$x+ 4=\sqrt{2}$
両辺を２乗すると
$x^2+ 8x+ 16=2$ …（答）

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(2)
$x=3-\sqrt{7}$ のとき， $x^2-6x+ 9$ の値を求めなさい。

（神奈川県2015年入試問題）

解説やり直す

$-7$ $7$ $-6\sqrt{7}$ $6\sqrt{7}$

$x=3-\sqrt{7}$ のとき
$x-3=-\sqrt{7}$
両辺を２乗すると
$x^2-6x+ 9=7$ …（答）

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(3)
$x=3+\sqrt{2}$ のとき， $x^2-6x$ の値を求めよ。

（愛知県Ａ 2000年入試問題）

解説やり直す

$-7$ $7$ $-6\sqrt{2}$ $6\sqrt{2}$

$x=3+\sqrt{2}$ のとき
$x-3=\sqrt{2}$
両辺を２乗すると
$x^2-6x+ 9=2$
$x^2-6x=-7$ …（答）

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(4)

$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ のとき， $4x^3+ 4x^2-2x-1$ の値を求めよ。

（西大和学園2017年入試問題）

解説やり直す

$2-\sqrt{5}$ $2+\sqrt{5}$ $-2-\sqrt{5}$ $-2+\sqrt{5}$

$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ のとき
$2x=-1+\sqrt{5}$
$2x+ 1=\sqrt{5}$
両辺を２乗すると
$4x^2+ 4x+ 1=5$
$4x^2+ 4x-4=0$
$x^2+ x-1$ $=0$ …(1)
このとき
$x^3+ 4x^2-2x-1=4x($ $x^2+ x-1$ $)+ 2x-1$ …(2)
(2)の赤で示した部分は(1)により０となって消えるから
(2)→
$2x-1=2\times\frac{-1+\sqrt{5}}{2}-1$
$=-1+\sqrt{5}-1=-2+\sqrt{5}$ …（答）
※この問題は，高校生１年生向けならば簡単な問題であるが，中学３年生向けとしては難し過ぎる（割り算して次数を下げることまでは習っていない）

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