■三平方の定理の応用

【三平方の定理】
　右図のような直角三角形については
b2+c2=a2
が成り立つ．
○三平方の定理を使えば，直角三角形の２辺の長さが分かれば残りの１辺の長さが求められる．
たとえば右図では，
b , c が分かっていれば a が求められる．
a , c が分かっていれば b が求められる．
a , b が分かっていれば c が求められる．
例1　右図で黄色の三角形について三平方の定理を使うとAHの長さが求めることができ，
　さらに求めたAHの長さとCHの長さを使って青色の三角形について三平方の定理を使うと辺ACの長さを求めることができる．
22+x2=(2√5nnnn)2
4+x2=20
x2=16
x=4 (>0)
さらに 42+32=y2
y2=25
y=5 (>0)
問題１　右図において x , y の長さを求めなさい．
x=
y=
採点する やり直す
問題２　右図において CD の長さ x を求めなさい．
x=
採点する やり直す
例2　長方形の向かい合う辺の長さは等しいので，右図で AH=DC になる．
　このAH の長さとAB の長さから三角形ABH について三平方の定理を使うと辺BH が求まり，HC，AD の長さが分かる．
AH=DC=√3nnnn
△ABH に三平方の定理を適用すると
(√3nnnn)2+BH2=(√7nnnn)2
3+BH2=7
BH2=4
BH=2 (>0)
したがって
CH=3
x=3
問題３　右図において CD の長さ x を求めなさい．
x=
採点する やり直す
例3　右図で AC の長さは三平方の定理で求められるが，
　さらに相似図形の性質を使えば，AC:BC=AB:x になるので，x が求められる．（相似図形の性質をまだ習っていないときはこちらを先に読む）
直角三角形ABC に三平方の定理を適用すると
202+152=AC2
AC2=400+225=625=252
AC=25 (>0)
△ABC と△ADB は直角三角形で１つの角A が共通だから「２つの角がそれぞれ等しい」．したがって△ABC∽△ADB
相似三角形の２組の辺の比は等しいから
対応する辺の組み合わせを間違わないことが大切
∠A は共通
∠A+∠ACB=90°
∠A+∠ABD=90°
だから，AC, CB ; AB, BD の順に組にする．
AC:CB=AB:x
25:20=15:x
25x=300
x=12

（別解）
　この問題については，△ABC の面積S を２通りの方法で表して，それらが等しいことからx を求める方法もある．（１つの方法で行き詰ったときのために，別ルートも覚えておくと助かることがある．）
AB · BC / 2 = S = AC · x / 2
AB · BC = 2S = AC · x
15 · 20 = 2S = 25 · x
x=12
問題４　右図において BD の長さ x を求めなさい．
x=
採点する やり直す
例4　二等辺三角形では，頂点から底辺に引いた垂線は底辺を二等分するので，直角三角形を使って高さを求めることができる．
　さらに相似図形の性質を使えば，右図 DC の長さも求められる．
　△ABC はAB=AC の二等辺三角形だから，A からBC に垂線BE をひくとAE⊥BC，BE=EC=3 になる．
　直角三角形ABE に三平方の定理を適用すると
32+AE2=92
AE2=72
AE=6√2nnnn (>0)
△ABE と△BCD は直角三角形で１つの角B が共通だから「２つの角がそれぞれ等しい」．したがって△ABE∽△BCD
相似三角形の２組の辺の比は等しいから
BA:AE=BC:CD
9:6√2nnnn=6:x
9x=36√2nnnn
x=4√2nnnn

（別解）
　△ABC の面積をS とおくと
AE · BC / 2 = S = AB · x / 2
6√2nnnn · 6 / 2 = 9 · x / 2
両辺を２倍して分母をはらうと
36√2nnnn= 9 · x
x=4√2nnnn
問題５　右図の二等辺三角形ABC において頂点 C からAB にひいた垂線の長さ x を求めなさい．
x=√nnnnnn
採点する やり直す
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