■ 三平方の定理の逆
《解説》
■次のような直角三角形の三辺の長さについては，
a2+b2=c2
が成り立ちます．（これを三平方の定理といいます．）
■逆に，三辺の長さについて，
a2+b2=c2
が成り立つとき，その三角形は直角三角形です．
（これを三平方の定理の逆といいます．）
一番長い辺が斜辺です． |
※ 直角三角形であるかどうかを調べるには，
a2+b2 と c2 を比較してみれば分かります．
例
三辺の長さが 3,4,5 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには，
5 が一番長い辺だから，
42+52=?=32
52+32=?=42
が成り立つ可能性はないから，調べる必要はない．
32+42 =?= 52
が成り立つかどうか調べればよい．
32+42=9+16=25 , 52=25 だから，32+42=52
ゆえに，直角三角形である．
例
三辺の長さが 4 , 5 , 6 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには，
42+52≠62 により，直角三角形ではないといえる．
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【要点】
小さい方の２辺を直角な２辺として，２乗の和 a2+b2 を作り， 一番長い辺を斜辺として c2 を作る．
これらが等しいとき ⇒ 直角三角形（他の組合せで，a2+b2=c2 となることはない．）
これらが等しくないとき ⇒ 直角三角形ではない
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■ 問題 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき，これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい．
（４組のうち１組が直角三角形です．）
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（1）
「3 , 3 , 4」 「3 , 4 , 4」 「3 , 4 , 5」 「3 , 4 , 6」
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（2）
「1 , 2 , 2」 「1 , 2 ,  √5nnnn」 「1 , 2 , √6nnnn」 「1 , 2 , √7nnnn」
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| （3）
「1 , √5nnnn , √6nnnn」 「1 , √5nnnn , √7nnnn」 「1 , √5nnnn , 2√2nnnn」
「1 , √5nnnn
, 3」
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| （4）
「5 , 11 , 12」 「5 , 12 , 13」 「6 , 11 , 13」 「6 , 12 , 13」
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| （5）
「8 , 39 , 41」 「8 , 40 , 41」 「9 , 39 , 41」 「9 , 40 , 41」
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■ 問題 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき，これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい．（ややむずかしい）
(1)
「
√5nnnn−
√3nnnn ,
√5nnnn+
√3nnnn ,
√15nnnnn
」
「
√5nnnn−
√3nnnn ,
√5nnnn+
√3nnnn ,
2√15nnnnn
」
「
√5nnnn−
√3nnnn ,
√5nnnn+
√3nnnn ,
4
」
「
√5nnnn−
√3nnnn ,
√5nnnn+
√3nnnn ,
8
」
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Help
(√5nnnn−√3nnnn)2+(√5nnnn+√3nnnn)2
=5+3−2√15nnnn +5+3+2√15nnnnn =16
=42
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(2)
「3
√3nnnn−1
,
3
√3nnnn+1
, 2
√14nnnnn
」
「3
√3nnnn−1
,
3
√3nnnn+1
, 6
√3nnnn
」
「√7nnnn−
√2nnnn ,
√7nnnn+
√2nnnn ,
2√14nnnnn
」
「√7nnnn−
√2nnnn ,
√7nnnn+
√2nnnn ,
9
」
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Help
(3√3nnnn−1)2+(3√3nnnn+1)2
=27+1−6√3nnnn +27+1+6√3nnnn =56
=(2√14nnnn )2
(√7nnnn−√2nnnn )2+(√7nnnn+√2nnnn )2
=7+2−2√14nnnn +7+2+2√14nnnnn =18
=(3√2nnnn )2
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(3)
「2
√3nnnn−√2nnnn
,
√3nnnn+2√2nnnn
, 2√5nnnn
」
「2
√3nnnn−√2nnnn
,
√3nnnn+2√2nnnn
, 2√6nnnn
」
「2
√3nnnn−√2nnnn
,
√3nnnn+2√2nnnn
, 5
」
「2
√3nnnn−√2nnnn
,
√3nnnn+2√2nnnn
, 3√3nnnn
」
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Help
(2√3nnnn−√2nnnn )2+(√3nnnn+2√2nnnn)2
=12+2−4√6nnnn +3+8+4√6nnnn =25
=52
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■ ピタゴラス数の問題
○ 次の式の m , n に適当な正の整数(ただし m>n)を入れれば,「三辺の長さが整数となる直角三角形」ができます． （正の整数で三平方の定理を満たすものは，ピタゴラス数と呼ばれます．）
(2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2
左辺は 4m2n2+m4-2m2n2+n4
右辺は m4+2m2n2+n4 だから等しい
例 m=2,n=1 を代入すると 42+32=52 となります．（このとき，3 , 4 , 5 の組がピタゴラス数）
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■ 問題
左の式を利用して,三辺の長さが整数となる直角三角形を1組見つけなさい．（上の問題にないもので答えなさい･･･ただし，このホームページでは,あまり大きな数字の計算はできないので,どの辺の長さも100以下で答えなさい．）
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