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===　三平方の定理の逆 ===
《解説》
■次のような直角三角形の三辺の長さについては，
a2+b2=c2
が成り立ちます．（これを三平方の定理といいます．）
■逆に，三辺の長さについて，
a2+b2=c2
が成り立つとき，その三角形は直角三角形です．
（これを三平方の定理の逆といいます．）
　一番長い辺が斜辺です．

※　直角三角形であるかどうかを調べるには，
a2+b2 と c2 を比較してみれば分かります．
【例】
　三辺の長さが 3,4,5 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには，
5 が一番長い辺だから，
　　42+52=?=32
　　52+32=?=42
　　が成り立つ可能性はないから，調べる必要はない．
　　32+42 =?= 52
　　が成り立つかどうか調べればよい．
32+42=9+16=25 , 52=25　だから，32+42=52
ゆえに，直角三角形である．

【例】
　三辺の長さが 4 , 5 , 6 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには，
42+52≠62　により，直角三角形ではないといえる．

【要点】
　小さい方の２辺を直角な２辺として，２乗の和 a2+b2　を作り，一番長い辺を斜辺として c2 を作る．
a2+b2=c2　⇒　直角三角形
a2+b2≠c2　⇒　直角三角形ではない

■問題１　次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき，これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい．
（４組のうち１組が直角三角形です．）
（1）
　「3 , 3 , 4」　　　　「3 , 4 , 4」　

「3 , 4 , 5」　　　「3 , 4 , 6」
（2）
　「1 , 2 , 2」　　　「1 , 2 , 」

「1 , 2 , 」　　　「1 , 2 , 」
（3）
　「1 , , 」　　　「1 , , 」

「1 , , 2」　　　 「1 , , 3」
（4）
　「5 , 11 , 12」　　　「5 , 12 , 13」

「6 , 11 , 13」　　　「6 , 12 , 13」
（5）
　「8 , 39 , 41」　　　「8 , 40 , 41」

「9 , 39 , 41」　　　「9 , 40 , 41」

■問題２ 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき，これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい．
（むずかしい）

(1)
「 − , + , 」
「 − , + , 2 」
「 − , + , 4 」
「 − , + , 8 」


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(2)
「3 −1 , 3 +1 , 2 」
「3 −1 , 3 +1 , 6 」
「− , + , 2 」
「− , + , 9 」


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(3)
「2 − , +2 , 2 」
「2 − , +2 , 2 」
「2 − , +2 , 5 」
「2 − , +2 , 3 」


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===　ピタゴラス数の問題　===
○　次の式の m , n に適当な正の整数(ただし m>n)を入れれば,「三辺の長さが整数となる直角三角形」ができます． （正の整数で三平方の定理を満たすものは，ピタゴラス数と呼ばれます．）

(2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2

左辺は　4m2n2+m4-2m2n2+n4
右辺は　m4+2m2n2+n4 だから等しい

例　m=2,n=1 を代入すると 42+32=52　となります．（このとき，3 , 4 , 5 の組がピタゴラス数）
■（自由研究）
　左の式を利用して,三辺の長さが整数となる直角三角形を1組見つけなさい．（上の問題にないもので答えなさい･･･ただし，このホームページでは,あまり大きな数字の計算はできないので,どの辺の長さも100以下で答えなさい．）
2+2=2

参考↓


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