三平方の定理の応用

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の展開因数分解素数・素因数分解平方根
２次方程式三平方の定理２次関数平行線・相似

※中学３年生向け「三平方の定理」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓三平方の定理
↓同(2)
↓同(3)

↓三平方の定理の応用-現在地
↓2点間の距離
↓三平方の定理の逆

↓立体の体積(入試問題)
立体の表面積.展開図(入試問題)

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===三平方の定理の応用===

【三平方の定理】
　次の図のような直角三角形については

b2+c2=a2

が成り立つ．

○三平方の定理を使えば，直角三角形の２辺の長さが分かれば残りの１辺の長さが求められる．
たとえば次の図では，

b , c が分かっていれば a が求められる．
a , c が分かっていれば b が求められる．
a , b が分かっていれば c が求められる．

例1　次の図で黄色の三角形について三平方の定理を使うとAHの長さが求めることができ，
　さらに求めたAHの長さとCHの長さを使って青色の三角形について三平方の定理を使うと辺ACの長さを求めることができる．

22+x2=(2

√5nnnn)2

4+x2=20

x2=16

x=4 (>0)

さらに 42+32=y2

y2=25

y=5 (>0)

問題１　次の図において x , y の長さを求めなさい．

(

√7nnnn)2+x2=(4

√2nnnn)2

7+x2=32

x2=25
x=5 (>0)

(

√11nnnnn)2+52=y2

y2=36
y=6 (>0)

問題２　次の図において CD の長さ x を求めなさい．

直角三角形ABC について三平方の定理を適用すると

12+AB2=(

√5nnnn)2

AB2=4

AB=2 (>0)

直角三角形ABD について三平方の定理を適用すると

22+(x+1)2=(

√13nnnnn)2

(x+1)2=9
x+1=3 (>0)
x=2

例2　長方形の向かい合う辺の長さは等しいので，次の図で AH=DC になる．
　このAH の長さとAB の長さから三角形ABH について三平方の定理を使うと辺BH が求まり，HC，AD の長さが分かる．

AH=DC=

√3nnnn

△ABH に三平方の定理を適用すると

(

√3nnnn)2+BH2=(

√7nnnn)2

3+BH2=7

BH2=4
BH=2 (>0)

したがって

CH=3

x=3

問題３　次の図において CD の長さ x を求めなさい．

A からBC に垂線AH を引くと

HC=AD=5 , BH=2

直角三角形ABH に三平方の定理を適用すると

BH2+AH2=AB2
22+x2=(2

√5nnnn)2
4+x2=20
x2=16
x=4 (>0)

例3　次の図で AC の長さは三平方の定理で求められるが，
　さらに相似図形の性質を使えば，AC:BC=AB:x になるので，x が求められる．

直角三角形ABC に三平方の定理を適用すると

202+152=AC2
AC2=400+225=625=252
AC=25 (>0)

△ABC と△ADB は直角三角形で１つの角A が共通だから「２つの角がそれぞれ等しい」．したがって△ABC∽△ADB
相似三角形の２組の辺の比は等しいから

対応する辺の組み合わせを間違わないことが大切
∠A は共通
∠A+∠ACB=90°
∠A+∠ABD=90°
だから，AC, CB ; AB, BD の順に組にする．

AC:CB=AB:x
25:20=15:x
25x=300
x=12

（別解）
　この問題については，△ABC の面積S を２通りの方法で表して，それらが等しいことからx を求める方法もある．（１つの方法で行き詰ったときのために，別ルートも覚えておくと助かることがある．）

AB · BC / 2 = S = AC · x / 2
AB · BC = 2S = AC · x
15 · 20 = 2S = 25 · x
x=12

問題４　次の図において BD の長さ x を求めなさい．

△ABC に三平方の定理を適用すると

AB2+BC2=AC2
(

√5nnnn)2+BC2=52
5+BC2=25
BC2=20
BC=2

√5nnnn (>0)

△ACB∽△ABD だから

AC:CB=AB:x
5:2

√5nnnn=

√5nnnn:x
5x=10
x=2

例4　二等辺三角形では，頂点から底辺に引いた垂線は底辺を二等分するので，直角三角形を使って高さを求めることができる．
　さらに相似図形の性質を使えば，次の図 DC の長さも求められる．

　△ABC はAB=AC の二等辺三角形だから，A からBC に垂線BE をひくとAE⊥BC，BE=EC=3 になる．
　直角三角形ABE に三平方の定理を適用すると

32+AE2=92
AE2=72
AE=6

√2nnnn (>0)

△ABE と△BCD は直角三角形で１つの角B が共通だから「２つの角がそれぞれ等しい」．したがって△ABE∽△BCD
相似三角形の２組の辺の比は等しいから

BA:AE=BC:CD
9:6

√2nnnn=6:x
9x=36

√2nnnn
x=4

√2nnnn

（別解）
　△ABC の面積をS とおくと

AE · BC / 2 = S = AB · x / 2
6

√2nnnn · 6 / 2 = 9 · x / 2
両辺を２倍して分母をはらうと
36

√2nnnn= 9 · x
x=4

√2nnnn

問題５　次の図の二等辺三角形ABC において頂点 C からAB にひいた垂線の長さ x を求めなさい．

　△ABC は二等辺三角形だからAE⊥BC，BE=EC=

√3nnnn になる．
　△ABE に三平方の定理を適用すると

(

√3nnnn)2+AE2=32
3+AE2=9
AE2=6
AE=

√6nnnn (>0)

△ABE∽△BCD だから

BA:AE=BC:x
3:

√6nnnn=2

√3nnnn:x
3x=

√6nnnn · 2

√3nnnn = 6

√2nnnn
x=2

√2nnnn

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