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中学数学>> 中学３年 >>相似図形

【相似図形の性質】
　　相似図形については，３組の辺の比が等しくなる．

　⇒　この公式を使って辺の長さを求めることができる．

例
　右図１でAB//CD のとき，△AEB と△DEC が相似図形になるので AB:DC=AE:DE=BE:CE が成り立つ．
　そこで BE:CE を求めたいときは，AB:DC の比3:2 を書けばよい．（♪～「辺の比は相似比で答える」～♪）

【要点】 辺の比 BE:CE を求めたいときは，
(1)　その線分が辺になっている２つの相似図形△AEB と△DEC を見つける
(2)　すでに辺の比が分かっている他の辺の比 AB:DC を答える

例題１
　右図２において AD//BC ，AD=3 ，BC=4 ，E は BC の中点，対角線 BD と AE ，AC の交点を各々 P ，Q とするとき，
(1)　BP:PD は△APD と△EPB を見れば分かるから，2:3
(2)　BQ:QD は△AQD と△CQB を見れば分かるから，4:3
(3)　BP:PQ は(1)(2)から次のように計算で求められる．

BP:PD=2:3 だから BP=.25nBD

BQ:QD=4:3 だから BQ=.47nBD

ゆえに，BP:BQ=.25nBD : .47nBD = .25n : .47n = .1435nn : .2035nn =14:20

結局 BP:PQ=14:(20 -14)=14:6=7:3 …（答）

問題１　（もっとも簡単な整数比で答えなさい．）

　右図において AD//BC ，AD=5 ，BC=6 ，E は BC の中点，対角線 AC と BD ，ED の交点を各々 P ，Q とするとき，
(1)　AP:PC= : 採点する やり直す 解説
(2)　AQ:QC= : 採点する やり直す 解説
(3)　AP:PQ= : 採点する やり直す 解説

(1)　△APD ∽△CPB だから
AP:PC=AD:CB=5:6…（答）

(2)　△AQD ∽△CQE だから
AQ:QC=AD:CE=5:3…（答）

(3)
AP=.511nnAC

AQ=.58nAC

だから
AP:AQ=.511nnAC : .58nAC= .511nn : .58n = .4088nn : .5588nn =40:55=8:11

AP:PQ=8:(11-8)=8:3 …（答）

問題２　（もっとも簡単な整数比で答えなさい．）

　右図において AD//BC ，AE=2 ，ED=3 ，BC=7 ，対角線 BD と AC ，EC の交点を各々 P ，Q とするとき，
(1)　BP:PD= : 採点する やり直す 解説
(2)　BQ:QD= : 採点する やり直す 解説
(3)　BP:PQ= : 採点する やり直す 解説

(1)　△APD ∽△CPB だから
BP:PD=BC:DA=7:5…（答）

(2)　△EQD ∽△CQB だから
BQ:QD=BC:DE=7:3…（答）

(3)
BP=.712nnBD

BQ=.710nnBD

だから
BP:BQ=.512nnBD : .710nnBD= .712nn : .710nn = .3560nn : .4260nn =35:42=5:6

BP:PQ=5:(6-5)=5:1 …（答）

問題３　（もっとも簡単な整数比で答えなさい．）

　右図の平行四辺形 ABCD において BE=3 ，EC=2 ，CF=1 ，FD=5 ，対角線 BD と AE ，AF の交点を各々 P ，Q とするとき，
(1)　BP:PD= : 採点する やり直す 解説
(2)　BQ:QD= : 採点する やり直す 解説
(3)　BP:PQ= : 採点する やり直す 解説

(1)　△APD ∽△EPB だから
BP:PD=BE:DA=3:5…（答）

(2)　△BQA ∽△DQF だから
BQ:QD=BA:DF=6:5…（答）

(3)
BP=.38nBD

BQ=.611nnBD

だから
BP:BQ=.38nBD : .611nnBD= .38n : .611nn = .3388nn : .4888nn =33:48=11:16

BP:PQ=11:(16-11)=11:5 …（答）