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現在地と前後の項目 平行線と線分の比/相似図形を探す問題1/相似図形を探す問題2/相似図形を作る問題/相似図形と辺の比/相似，平行線と比/中点連結定理1/中点連結定理2/問題以上,答以下/入試問題1/入試問題2/入試問題3/入試問題4/証明の進め方5/角の二等分線と補助線/面積比/メネラウスの定理,チェバの定理/ ■ 中点連結定理1→ 印刷用PDF版は別頁
【要点】
△ABC の AB，AC の中点をそれぞれ M，N とするとき， MN//BC …(1) MN=  12 BC …(2)が成り立ちます． これを「中点連結定理」といいます． |
図1
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 問題1
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△ABC において AB，BC の中点がそれぞれ P，Q だから，PQ//AC …(1) PQ= 12 AC …(2)が成り立ちます． (2)から，PQ=3 同様にして，QR= 12 BA=4 , RP= 12 CB=5も成り立ちます． |
 問題2
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△ABD に中点連結定理を適用すると PQ= 12 AB=3△ABC に中点連結定理を適用すると SR= 12 AB=3また △BCD に中点連結定理を適用すると QR= 12 DC=4△ACD に中点連結定理を適用すると PS= 12 DC=4が成り立ちます． |
（補助線を引く） 問題3
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対角線 AC と PQ の交点を R とすると， 「平行線と線分の比」の性質から  AP:PB=AR:RC=DQ:QC=1:1△ABC に中点連結定理を適用すると PR= 12 BC=5△ACD に中点連結定理を適用すると RQ= 12 AD=2が成り立ちます． したがって，PQ=5+2=7 |
（補助線を引く） 問題4
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△ABC に中点連結定理を適用するとPQ//AC PQ= 12 AC△BCD に中点連結定理を適用すると SR//AC SR= 12 ACが成り立ちます． PQ//AC , AC//SR より PQ//SR PQ= 12 AC , SR= 12 より PQ=SRこれにより，向かい合う１組の辺 PQ , SR が平行でかつ長さが等しいことが言えます． ※ この問題では「向かい合う１組の辺が平行でかつ長さが等しい → 平行四辺形」という定理を使ったが，「２組の向かい合う辺がそれぞれ平行 → 平行四辺形」という定理を使って証明するときは，次の(Ａ)のように書けばよい．また，「２組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい → 平行四辺形」という定理を使って証明するときは，次の(Ｂ)のように書けばよい． (Ａ) PQ//AC , SR//ACより PQ//AC QR//BD , PS//BDより QR//BD 以上により ２組の向かい合う辺がそれぞれ平行だから PQRS は平行四辺形 (Ｂ) PQ= 12 AC , SR= 12 ACより PQ=SRQR= 12 BD , PS= 12 BDより QR=PS以上により ２組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しいから PQRS は平行四辺形 |
 問題5
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PQ= 12 AB=SRQR= 12 DC=PSさらに AB=CD だから PQ=QR=RS=SP が成り立つ ４辺の長さが等しい四角形は「ひし形」と呼ばれる． |
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