角の二等分線と補助線

【比例←相似図形】
　平行線の性質（相似）を利用すると，比例の関係を示すことができます．
　例えば右図１において
△ABC∽△DBEならばBD:DA=BE:EC が成り立つと言えます．

【角の二等分線の性質】
　△ABCにおいて右図２のように線分ADが∠Aを二等分しているとき，
BD:DC=BA:AC が成り立ちます．

≪注意すべきこと≫
　右図２ではDはBCの中点ではありません．右図２のように頂点Aが右寄りになっているとき∠BAD=∠DACとしたとき（角の二等分線を引いたとき）には，BDの方がDCよりも長くなります．
　まずはじめに，この頁ではDがBCの中点になっている話をしているのではなく，ADが∠Aの二等分になっている場合を取り扱っていることに注意してください．
　△ABCが二等辺三角形になるような特別な場合を除けば，一般にはBD≠DCになり，角の二等分線ADによって辺BCは二等分されません．

例１
　△ABCにおいて線分ADが∠Aを二等分しているとき，右図３のようにCからDAに平行線を引きBAの延長との交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．

仮定によりADは∠BACの二等分線だから
∠BAD=∠DAC…(2)
平行線の同位角は等しいから
∠BAD=∠AEC…(3)
平行線の錯角は等しいから
∠DAC=∠ACE…(4)
(2)(3)(4)より
∠AEC=∠ECA…(5)
△ACEは両底角が等しいから二等辺三角形で
AE=AC…(6)

【要約】

補助線として平行線を引くと，
相似図形ができて比例が証明できる．

問１
　△ABCにおいて線分ADが∠Aを二等分しているとき，右図４のようにBからDAに平行線を引きCAの延長との交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．次の空欄を埋めてください．

仮定によりADは∠BACの二等分線だから
∠BAD=∠…(2)
BE//DAで平行線の同位角は等しいから
∠BEA=∠…(3)
BE//DAで平行線の錯角は等しいから
∠EBA=∠…(4)
(2)(3)(4)から
∠BEA=∠…(5)
△BEAは両底角が等しいから二等辺三角形で
BA=…(6)

問２
　△ABCにおいて線分ADが∠Aを二等分しているとき，右図５のようにCからABに平行線を引きADの延長との交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．次の空欄を埋めてください．

はじめに，△BDA∽△CDEを使ってBD:DC=BA:ECを示し，次にEC=ACを示すという方針で証明します．

問３
　△ABCにおいて∠Aの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をDとするとき，右図６のようにDからCAに平行線を引きBAの延長との交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．次の空欄を埋めてください．

はじめに，△BED∽△BACを使ってBD:DC=BE:EAを示し，次にEA=ED，さらにBE:ED=BA:ACを示すと証明できます．

問４
　△ABCにおいて∠Aの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をDとするとき，右図７のようにCからABに平行線を引きADとの交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．次の空欄を埋めてください．

問５
　△ABCにおいて∠Aの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をDとするとき，右図８のようにCからADに平行線を引きABとの交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．次の空欄を埋めてください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

【角の二等分線の性質】　△ABCにおいて右図２のように線分ADが∠Aを二等分しているとき， BD:DC=BA:AC が成り立ちます． ※この定理は中学校では習いませんので，中学生に対して「覚えなさい」とか「この問題がよく出る」というようなことは言えませんが，ヒントを示してこの定理を誘導する問題ならありえます．　角の二等分線の性質は高校数学Ａの教科書で登場しますが，数学Ａの中で平面幾何を選択することはほとんどないため，この定理に接する機会はめったにありません． ≪注意すべきこと≫ 　右図２ではDはBCの中点ではありません．右図２のように頂点Aが右寄りになっているとき∠BAD=∠DACとしたとき（角の二等分線を引いたとき）には，BDの方がDCよりも長くなります．　まずはじめに，この頁ではDがBCの中点になっている話をしているのではなく，ADが∠Aの二等分になっている場合を取り扱っていることに注意してください．　△ABCが二等辺三角形になるような特別な場合を除けば，一般にはBD≠DCになり，角の二等分線ADによって辺BCは二等分されません．	図２
例１　△ABCにおいて線分ADが∠Aを二等分しているとき，右図３のようにCからDAに平行線を引きBAの延長との交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．（証明） AD//ECだから，平行線の性質（または相似図形の性質）により BD:DC=BA:AE…(1) また，次のようにしてAE=ACを示すことができる．仮定によりADは∠BACの二等分線だから ∠BAD=∠DAC…(2) 平行線の同位角は等しいから ∠BAD=∠AEC…(3) 平行線の錯角は等しいから ∠DAC=∠ACE…(4) (2)(3)(4)より ∠AEC=∠ECA…(5) △ACEは両底角が等しいから二等辺三角形で AE=AC…(6) (1)(6)より BD:DC=BA:AC…(証明終り)	図３【要約】補助線として平行線を引くと，相似図形ができて比例が証明できる．
問１　△ABCにおいて線分ADが∠Aを二等分しているとき，右図４のようにBからDAに平行線を引きCAの延長との交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．次の空欄を埋めてください．（証明） BE//DAだから，平行線の性質（または相似図形の性質）により BD:DC=EA:…(1) また，次のようにしてEA=BAを示すことができる．仮定によりADは∠BACの二等分線だから ∠BAD=∠…(2) BE//DAで平行線の同位角は等しいから ∠BEA=∠…(3) BE//DAで平行線の錯角は等しいから ∠EBA=∠…(4) (2)(3)(4)から ∠BEA=∠…(5) △BEAは両底角が等しいから二等辺三角形で BA=…(6) (1)(6)より BD:DC=BA:…(証明終り) 採点するやり直すHelp	図４
問２　△ABCにおいて線分ADが∠Aを二等分しているとき，右図５のようにCからABに平行線を引きADの延長との交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．次の空欄を埋めてください．（証明）はじめに，△BDA∽△CDEを使ってBD:DC=BA:ECを示し，次にEC=ACを示すという方針で証明します． △ABDと△ECDについて AB//CEにより，平行線の錯角が等しいから ∠BAD=∠…(1) 対頂角は等しいから ∠BDA=∠…(2) (1)(2)により対応する２組の角がそれぞれ等しいから △ABD∽△…(3) (3)により BD:DC=BA:…(4) 次に△AECについて仮定によりADは∠BACの二等分線だから ∠DAC=∠…(5) AB//CEにより，平行線の錯角が等しいから ∠DEC=∠…(6) (5)(6)より△AECは両底角が等しいから二等辺三角形で EC=…(7) (4)(7)により BD:DC=BA:…(証明終り) 採点するやり直すHelp	図５

問３　△ABCにおいて∠Aの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をDとするとき，右図６のようにDからCAに平行線を引きBAの延長との交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．次の空欄を埋めてください．（証明）はじめに，△BED∽△BACを使ってBD:DC=BE:EAを示し，次にEA=ED，さらにBE:ED=BA:ACを示すと証明できます． △BDEと△BCAについて CA//DEにより，平行線の性質（相似図形の性質）から BD:DC=BE:…(1) △EADについて平行線の錯角は等しいから ∠CAD=∠…(2) 仮定によりADは∠Aの外角の二等分線だから ∠CAD=∠…(3) △EADは両底角が等しいから二等辺三角形になり AE=…(4) (1)(4)により BD:DC=BE:…(5) さらに，△EBD∽△ABCにより BE:ED=BA:…(6) (5)(6)により BD:DC=BA:…(証明終り) 採点するやり直すHelp	図６
問４　△ABCにおいて∠Aの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をDとするとき，右図７のようにCからABに平行線を引きADとの交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．次の空欄を埋めてください．（証明） △BDAと△CDEについて BA//CEにより，平行線の性質（相似図形の性質）から BD:DC=BA:…(1) △ACEについて平行線の錯角は等しいから ∠FAE=∠…(2) 仮定により ∠FAE=∠…(3) (2)(3)より△ACEは両底角が等しいから二等辺三角形になり EC=…(4) (1)(4)により BD:DC=BA:…(5) 採点するやり直すHelp	図７
問５　△ABCにおいて∠Aの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をDとするとき，右図８のようにCからADに平行線を引きABとの交点をEとおくと，BD:DC=BA:ACとなることを証明することができます．次の空欄を埋めてください．（証明） △BDAと△BCEについて DA//CEにより，平行線の性質（相似図形の性質）から BD:DC=BA:…(1) △AECについて平行線の同位角は等しいから ∠FAD=∠…(2) 平行線の錯角は等しいから ∠DAC=∠…(3) 仮定によりADは∠Aの外角の二等分線だから ∠FAD=∠…(4) (2)(3)(4)により ∠ACE=∠…(5) △AECは両底角が等しいから二等辺三角形になり AE=…(6) (1)(6)より BD:DC=BA:…(証明終り) 採点するやり直すHelp	図８