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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Aの「整数の性質…２進法，Ｎ進法」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓最大公約数,最小公倍数,互除法
↓１次不定方程式の整数解
↓センター試験.整数問題
↓ペル方程式
↓２進法,16進法,ｎ進法⇔10進法
↓２進数の演算
↓N進法
↓N進数の演算
↓N進法の小数
↓試験問題(素数,剰余類)
↓3n+1問題(コラッツ予想)
↓フェルマー予想,オイラー予想
連続整数の積

○基本（根）ができなければ，応用問題（枝）もできず入試問題（葉）は解けませんが，基本問題だけをやっていても入試問題が解けるようにはなりません．
○しかしまた，数学Ａの整数問題という１つの単元に限っても，たとえば基本が10あるとして，これに対応する参考書の頻出問題はその１0倍，入試問題はさらにその10倍というように膨大な数になるので，あらゆる入試問題を前もって練習しておくことはできません．
○「参考書の頻出問題」や「入試問題」を”いくつか”解いてみる中で，それに対応する「基本」を思い浮かべてみると，問題が変わっても対応できるようになるのです．これは，公式を覚えるとは限らず，「やり方を身に付ける」という形になるでしょう．
○このように，膨大な数の入試問題から，それらを貫いている基本を「串刺しにする」ように見通していくと，膨大な量の暗記にはならず，基本の確認に絞ることができ，数学Ａの整数問題では１桁程度の「やり方を身に付ければ」何とかできるようになります．

【例題１】
a3−b3=65を満たす整数の組(a, b)をすべて求めよ．

※方針が決まったら，体力勝負になってもやるしかない

3b(b+3)=64
と変形して左辺は３の倍数，右辺は３の倍数でないと述べてもよい

a,bは正の整数とは書いてない
次のようなものも解になる
43−(−1)3=65

3b(b+13)=−164
と変形して左辺は３の倍数，右辺は３の倍数でないと述べてる方が大きな数字なるのを避けることができる

【押さえておきたいポイント】
○因数分解と素因数分解により各因数に分けて調べる
○整数でないことの証明には（判別式）が平方数でないことや（判別式）<0も使える

*** この解き方の印象 ***
方針が決まれば，後は理詰めの体力勝負になる．
正解できても，後に爽快感・充実感はあまり感じられない．･･･得点したければ突き進むしかないという感じ

※(3)(4)の判別式の計算は相当な難行苦行になる．これを避けるには，次のような方法も考えられるが，試験会場の現場対応でどちらが早いかは微妙．
M(=65)が与えられたとき
a−b=k
$a^2+ab+b^2={\displaystyle \frac{M}{k}}$
のとき，a,bが実数になるためのkの値の範囲を求めておくと
$(b+k{)}^2+(b+k)b+b^2={\displaystyle \frac{M}{k}}$
$3b^2+3kb+(k^2-{\displaystyle \frac{M}{k}})=0$
から，bが実数であるためには判別式が０以上でなければならない
$D=9k^2-12(k^2-{\displaystyle \frac{M}{k}})\geqq 0$
$-3k^2+{\displaystyle \frac{12M}{k}}\geqq 0$
k>0のとき，次の関係を満たすことがbの実数条件になる（aから計算しても同じ）
$k^3\leqq 4M$
(3)では
${13}^3=2197>4M=260$だからbの実数条件を満たさない
(4)では
${65}^3>4\times 65=4M$だからbの実数条件を満たさない

このようにk3−4Mの符号を調べると，酷な計算を逃れられる
（図解）
a−b=k
すなわち
b=a−k
のグラフは右図の赤で示したように傾き45°の直線を表し，切片が−k (k>0)のとき，原点からの最短距離は
${\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}}$

もう一方の
$a^2+ab+b^2={\displaystyle \frac{M}{k}}$
を$x=\cos \theta ,y=\sin \theta$により極座標表示に直すと
$r^2{\cos }^2\theta +r\cos \theta \cdot r\sin \theta +r^2{\sin }^2\theta =\frac{M}{k}$
$r^2(1+{\displaystyle \frac{\sin 2\theta }{2}})={\displaystyle \frac{M}{k}}$
図の緑で示したように傾き45°の直線に垂直な傾き$\theta ={135}^{\circ },-{45}^{\circ }$ のときは$\sin 2\theta =-1$となるから
${\displaystyle \frac{r^2}{2}}={\displaystyle \frac{M}{k}}$
$r^2={\displaystyle \frac{2M}{k}}$
$r=\sqrt{{\displaystyle \frac{2M}{k}}}$
これら２つのグラフが交点（共有点）を持つには
${\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}}\leqq \sqrt{{\displaystyle \frac{2M}{k}}}$
$k\sqrt{k}\leqq \sqrt{4M}$
すなわち
$k^3\leqq 4M$
が条件となる．
※ kの値があんまり大きいとこれらのグラフは交わらない（共有点を持たない）ということです

【類題1】
a3−b3=217を満たす整数の組(a, b)をすべて求めよ．

左辺を因数分解し，右辺を素因数分解すると
(a−b)(a2+ab+b2)=7×31…(1)
$a^2+ab+b^2=(a+{\displaystyle \frac{b}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}{b}^2\geqq 0$ だからa−b>0となるものを求める．
可能な組み合わせは次の表の通り．

	(1)	(2)	(3)	(4)
a−b	1	7	31	217
a2+ab+b2	217	31	7	1

(1)の場合，次の連立方程式を解く
a−b=1…(1.1)
a2+ab+b2=217…(1.2)
(1.1)よりa=b+1
これを(1.2)に代入
(b+1)2+(b+1)b+b2=217
3b2+3b−216=0
b2+b−72=0
(b+9)(b−8)=0
b=−9のときa=−8
b=8のときa=9
よって，(a,b)=(−8,−9),(9,8)
(2)の場合，次の連立方程式を解く
a−b=7…(2.1)
a2+ab+b2=31…(2.2)
(2.1)よりa=b+7
これを(2.2)に代入
(b+7)2+(b+7)b+b2=31
3b2+21b+18=0
b2+7b+6=0
(b+1)(b+6)=0
b=−1のときa=6
b=−6のときa=1
よって，(a,b)=(6,−1),(1,−6)

(3)の場合，次の連立方程式を解く
a−b=31…(3.1)
a2+ab+b2=7…(3.2)


313>31×31>4×7×31となってbの整数解はない．

(4)の場合，次の連立方程式を解く
a−b=217…(4.1)
a2+ab+b2=1…(4.2)
(3)と同様にk3, 4Mの大小を比較すると
2173>217×217>4×217 となってbの整数解はない．

(1)(2)(3)(4)から結局，(a,b)=(−8,−9),(9,8),(6,−1),(1,−6)…（答）

【例題２】
pを3以上の素数とする．４個の整数a,b,c,dが次の３条件
a+b+c+d=0, ad−bc+p=0, a≧b≧c≧d
を満たすとき，a,b,c,dをpを用いて表せ．

【考え方】
pが素数なのだから
(因数分解)=(素数)
の形を目指せば左辺の因数に分けて考えられます

a+b=p → b=p−a
a+c=1 → c=1−a
d=−a−b−c=−a−(p−a)−(1−a)=a−p−1
a≧bだから b≧cだから c≧dだから したがって
pが奇数で，aは整数だから

a+b=−1 → b=−a−1
a+c=−p → c=−a−p
d=−a−b−c=−a−(−a−1)−(−a−p)=a+p+1
このときd=a+p+1>aとなって仮定を満たさないから，この場合分けからは解は出ない

$a={\displaystyle \frac{p+1}{2}},b={\displaystyle \frac{p-1}{2}},c={\displaystyle \frac{1-p}{2}},d={\displaystyle \frac{-p-1}{2}}$…（答）

【押さえておきたいポイント】
○素数pを含む式が主役：(因数分解)=(素数)の形にする
○脇役a+b+c+d=0は変数を減らす材料に使う
○a≧b≧c≧dは順序を入れ換えた組を重複して数えなくてもよいようにするための親切 ※pを3以上としたのは何の役に立っているか ※図形的な意味などを深く考えず，式の変形だけの問題と割り切る方がよい

【類題2.1】
pを素数とする．３個の整数a,b,cが次の３条件
a+b+c=0, ab+c+1=p, a≧b≧c
を満たすとき，a,b,cをpを用いて表せ．

c=−a−bを代入すると
ab−a−b+1=p
(a−1)(b−1)=p
ここで，右辺は素数で，a−1≧b−1だから次の組合せが可能

	(1)	(2)
a−1	p	−1
b−1	1	−p

(1)のとき

【類題2.2】
(i) a+b≧a2−ab+b2を満たす正の整数の組(a, b)をすべて求めよ．
(ii) a3+b3=p3を満たす素数pと正の整数a, bは存在しないことを示せ．

(i)　２変数a, bの２次関数の取り得る値の範囲を求める基本は，まずbを固定してaの関数として頂点を求め，次にその各々についてbを動かして範囲を調べる．
$a^2-ab+b^2-a-b\leqq 0$…(1)となる正の整数a, bを求める．
$a^2-ab+b^2-a-b=a^2-(b+1)a+(b^2-b)$
$=(a-{\displaystyle \frac{b+1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{(b+1{)}^2}{4}}+(b^2-b)$
$=(a-{\displaystyle \frac{b+1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{3b^2-6b-1}{4}}$
$=(a-{\displaystyle \frac{b+1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{3b^2-6b-1}{4}}$
$=(a-{\displaystyle \frac{b+1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}(b-1{)}^2\leqq 1$
左辺の各項は２乗で０以上だから
${\displaystyle \frac{3}{4}}(b-1{)}^2\leqq 1$
$(b-1{)}^2\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$
$0\leqq b-1\leqq {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$
b=1, 2
ア）　b=1のとき(1)に代入すると
a2−2a≦0
a(a−2)≦0
0≦a≦2
aは正の整数だからa=1, 2
イ）　b=2のとき(1)に代入すると
a2−3a+2≦0
(a−1)(a−2)≦0
1≦a≦2
aは正の整数だからa=1, 2
以上より，(a, b)=(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)

(ii)
a+b≧a2−ab+b2のとき(i)の結果から
a3+b3=2, 9, 9, 16となっていずれも素数の３乗にはならない．

a+b<a2−ab+b2のとき
(a+b)(a2−ab+b2)=p3
のとき，右辺は素数の３乗だからこれを満たすa+b, a2−ab+b2の組合せは次の表のとおり

	a+b	a2−ab+b2
(1)	1	p3
(2)	p	p2

(1) a, bは正の整数だからa+b=1となることはない．

(2)
a+b=p…(*1)
a2−ab+b2=p2…(*2)
(*1)よりb=p−aを(*2)に代入すると
a2−a(p−a)+(p−a)2=p2
3a2−3ap=0
3a(a−p)=0
aは正の整数だから
a=p
このとき
b=0となって仮定に反する．
以上から，a3+b3=p3を満たす素数pと正の整数a, bが存在すると仮定すれば矛盾を生ずるから，背理法により示された．

【類題2.3】
a4+a2b2+b4=pを満たす素数pと正の整数a, bをすべて求めよ．

(a2−ab+b2)(a2+ab+b2)=p
と変形すると右辺は素数で，0<a2−ab+b2<a2+ab+b2だから
a2−ab+b2=1…(1)
a2+ab+b2=p…(2)
(1)より
$(a-{\displaystyle \frac{b}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}{b}^2\leqq 1$
${\displaystyle \frac{3}{4}}{b}^2\leqq 1$
$b^2\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$
したがって
b=1
(1)より
a2−a+1=1
a2−a=0
a(a−1)=0
a=0, 1
a>0だから
a=1
このとき(2)より
p=1+1+1=3
結局，a=1, b=1, p=3…（答）

【例題３】
三角形ABCにおいて，∠B=60°，Bの対辺の長さbは整数，他の2辺の長さa, cはいずれも素数である．このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ．

≪具体例でイメージ作り≫
(a,b,c)の順に書くものとして，
(A)　３辺が素数となる正三角形の例としては
がある．これは明らか．

(B)　a<cのときb2=c2+a2−caとなる三角形の例としては
があります．

(B)グループの三角形では，aを素数とすると，cは素数にならない．（a, cの立場を入れ換えても同様．）
したがって，a, cの両方とも素数とすれば(A)グループしかない．

(2)式の右辺は０になるから，
(b+a)(b−a)=0
ここでb+a>0だからb=a
したがって，a=b=cとなり，正三角形になる．

b+a, b−aのどちらもcの倍数にならないことを示せばよい

(2)式の右辺でcは素数だから
b+a, b−aの少なくとも一方はcの倍数でなければならない．
三角形の成立条件から
c<b+a…(4)
b−a<c…(5)
(1)より
c2−b2=ca−a2=a(c−a)>0
c>b…(6)
(3)(4)(6)より
c<b+a<c+c=2c
よってb+aはcの倍数でない．
(2)(5)より
0<b−a<c
よってb−aはcの倍数でない．
以上により，c>aのとき(1)が成り立つことはない．

【押さえておきたいポイント】
○因数分解すると素数の倍数になっているかどうかを各因数に分けて調べることができる．
○三角形の成立条件など使えるものは何でも使う．

上の具体例で
(a,b,c)=(3,7,8), (5,7,8), (5,19,21), (7,13,15), (7,37,40), (11,31,35), (13,43,48), ...
を見てみると
aが素数ならば，辺の長さはaが最小…(*1)
になるのではないかと想像できます．
aが最小ならば，aは素数(**1)
と述べているのではありません．(**1)が成り立たないのは，次の例を見れば明らかです．
(a,b,c)=(6,14,16), (10,14,16), (10,38,42), ...

※「aが素数ならば，辺の長さはaが最小になることを証明せよ」という問題にすると

【類題3.1】
三角形ABCにおいて，∠B=60°，b, cは整数，aは素数である．このときaは３辺の長さ中で最小となることを示せ

∠B=60°だからcosB=1/2
余弦定理により
b2=c2+a2−ca…(1)
b2−c2=a2−ca
(b+c)(b−c)=a(a−c)…(2)
(A) c=aのとき
(B) a>c…(3)のとき
(C) a<c…(7)のとき
結局(A)(B)(C)からaが最小

(a,b,c)の順に書くものとして，
b2=c2+a2+ca
が成り立つ例として があります．
bが最大になりますが，a,b,cとも素数となる組は先頭の１組だけのように見えます．そこでこれを証明しようという問題です

【類題3.2】
三角形ABCにおいて，∠B=120°，Bの対辺の長さをb，他の2辺の長さを整数a, c（ただしa≦c）とするとき，a,cがいずれも素数となるものをすべて書け．

∠B=120°だからcosB=−1/2
余弦定理により
b2=c2+a2+ca…(1)
b2−c2=a2+ca>0
b2−a2=c2+ca>0
以上から，
b>a, c
仮定と合わせると
0<a≦c<b…(2)

(1)から
b2=(c+a)2−ca
(c+a)2−b2=ca
(c+a+b)(c+a−b)=ca…(3)
ここで，a≦cは素数だから積acを２つ（小さい順）に分ける方法は
a, c…(4)
1, a×c…(5)
の２通り

(4)のとき
c+a−b=a
c+a+b=c →　a+b=0　これは三角形ができない

(5)のとき
c+a−b=1…(6)
c+a+b=ac
bを消去すると
2c+2a=ac+1
ac−2(a+c)+1=0
(a−2)(c−2)−4+1=0
(a−2)(c−2)=3
0≦a−2≦c−2だから
a−2=1→a=3
c−2=3→c=5
このとき(6)よりb=7 結局，a=3, b=7, c=5がただ１組の解になる…（答）

【例題４】
2以上の自然数nに対し，nとn2+2がともに素数となるのはn=3の場合に限ることを示せ．

≪小さい方から幾つか試して規則性をつかむ≫

n	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31
n2+2	6	11	27	51	123	171	291	363	531	843	963

上の表のようにn=3の場合以外はすべてn2+2が３の倍数になると予想できるので，それを証明すればよい．

nは素数だからn=3
このときn2+2=11も素数になる

n2+2=(3k+1)2+2=9k2+6k+3
=3(3k2+2k+1) (≧18)は３の倍数で18以上だから素数でない

n2+2=(3k+2)2+2=9k2+12k+6
=3(3k2+4k+2) (≧6)は３の倍数で6以上だから素数でない

【押さえておきたいポイント】
○小さい方から幾つか試して規則性をつかむ．
○ある整数pの倍数になることを証明するには，pの剰余類（pで割ったときの余りで分類したもの）を使って
n=kp, kp+1, kp+2, ...
に分けて調べるとうまくいく

【類題4.1】
2以上の自然数nに対し，nとn2−2n+3がともに素数となるようなnの値をすべて求めよ．

（解説）
(1)　n=2k（kは整数，k≧1）の場合
(2)　n=2k+1（kは整数，k≧1）の場合
以上により(1)のn=2だけが題意に適する

【類題4.2】
2以上の自然数nに対し，nとn2+3n+5がともに素数となるようなnの値をすべて求めよ．

（解説）
(1)　n=3k（kは整数，k≧1）の場合
(2)　n=3k+1（kは整数，k≧1）の場合
(3)　n=3k+2（kは整数，k≧0）の場合
以上により(1)のn=3だけが題意に適する