ｎ進数の演算

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Aの「整数の性質…２進法，Ｎ進法」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓最大公約数,最小公倍数,互除法
↓１次不定方程式の整数解
↓センター試験.整数問題
↓ペル方程式

↓２進法,16進法,ｎ進法⇔10進法
↓２進数の演算

↓N進法
↓N進数の演算

↓N進法の小数

↓試験問題(素数,剰余類)

↓3n+1問題(コラッツ予想)
↓フェルマー予想,オイラー予想
連続整数の積

== ｎ進数の演算 ==

３進数

○３進数の２つの数の和差積商を求めるには

(A)

慣れないうちは
1) 初めに問題を10進数に書き換え
2) 次に10進数で計算して
3) 最後に答を３進数に戻す

という方法が考えられます．

(B)

慣れてきたら
３進数の演算表を作って，直接計算する

こともできます．

○３進数では，0,1,2の３種類の数字を使って表します．（３進法では3は使わず，3に相当する数は１つ位を上げて10で表します.）
　３進法で書かれた数（３進数）であることを示すために(3)を付けます．

３進法では
a×32+b×31+cをabc(3)と書きます．
a×33+b×32+c×31+dをabcd(3)と書きます．
………

（いずれもa,b,c,d,...は0,1,2のいずれかです．）

【例】

　10進数の3=1×31+0は，３進数では10(3)と書きます．
　10進数の4=1×31+1は，３進数では11(3)と書きます．
　10進数の5=1×31+2は，３進数では12(3)と書きます．
　10進数の6=2×31+0は，３進数では20(3)と書きます．

【例１】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
12(3)+11(3)

（解き方A）
1) 初めに問題を10進数に書き換えると
12(3)=3+2=5
11(3)=3+1=4
2) 次に10進数で計算すると
5+4=9
3) 最後に答を３進数に戻すと
9=1×32+0×31+0だから
100(3)

（解き方B）

あらかじめ右の演算表を作っておきます．

３進数の演算表

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

×	1	2
0	0	0
1	1	2
2	2	11

以下(3)は省略

+)11

１の位の計算：2+1=10→0を書いて(1)繰り上がる
３の位の計算：(1)+1+1=10→0を書いて(1)繰り上がる
９の位の計算：(1)→1を書く
結果　⇒　100(3)

【例２】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
210(3)×21(3)

（解き方A）
1) 初めに問題を10進数に書き換えると
210(3)=2×9+3+0=18+3=21
21(3)=2×3+1=6+1=7
2) 次に10進数で計算すると
21×7=147
3) 最後に答を３進数に戻すと
147=1×34+2×33+1×32+1×31+0だから
12110(3)

（解き方B）
以下(3)は省略

右のように計算できます．
結果　⇒　12110(3)

○３進数の引き算で引かれる方が小さいときは，上の位から借りてきます．
○その場合に，上の位で１のものは下の位では3=10(3)になります．

【例３】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
210(3)−22(3)

（解き方A）
1) 初めに問題を10進数に書き換えると
210(3)=2×9+3+0=18+3=21
22(3)=2×3+2=6+2=8
2) 次に10進数で計算すると
21−8=13
3) 最後に答を３進数に戻すと
13=1×32+1×31+1だから
111(3)

（解き方B）

右のように計算できます．
結果　⇒　111(3)

○割り算の中身は，掛け算と引き算です．

【例４】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
201(3)÷12(3)

10進数に直して計算することもできるが，ここでは省略する．

（解き方B）

右のように計算できます．
結果　⇒　10(3)余り11(3)

３進数の演算表

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

×	1	2
0	0	0
1	1	2
2	2	11

= = = ≪足し算≫ = = =
※以下，正しい選択肢の番号の部分をクリック

【問題１】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
221(3)+212(3) 　

11012(3) 21120(3) 31210(3) 42110(3)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

221(3)=2×9+2×3+1=18+6+1=25
212(3)=2×9+1×3+2=18+3+2=23
25+23=48
48=1×27+2×9+1×3+0=1210(3)

（B)　３進数で直接計算する場合
１の位の計算：1+2=10→0を書いて(1)繰り上がる
３の位の計算：(1)+2+1=11→1を書いて(1)繰り上がる
９の位の計算：(1)+2+2=12→2を書いて(1)繰り上がる
27の位の計算：(1)→1を書く
結果　⇒　1210(3)

→3

【問題２】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
2021(3)+222(3) 　

110010(3) 210020(3)

310120(3) 410210(3)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

2021(3)=2×27+0×9+2×3+1=54+0+6+1=61
222(3)=2×9+2×3+2=18+6+2=26
61+26=87
87=1×81+0×27+0×9+2×3+0=10020(3)

（B)　３進数で直接計算する場合
１の位の計算：1+2=10→0を書いて(1)繰り上がる
３の位の計算：(1)+2+2=12→2を書いて(1)繰り上がる
９の位の計算：(1)+0+2=10→0を書いて(1)繰り上がる
27の位の計算：(1)+2=10→0を書いて(1)繰り上がる
81の位の計算：(1)→1を書く
結果　⇒　10020(3)

→2

= = = ≪掛け算≫ = = =

【問題３】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
201(3)×12(3) 　

110102(3) 210112(3)

310122(3) 411012(3)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

201(3)=2×9+0×3+1=18+1=19
12(3)=1×3+2=3+2=5
19×5=95
95=1×81+0×27+1×9+1×3+2=10112(3)

（B)　３進数で直接計算する場合
右のように計算できます．

結果　⇒　10112(3)

→2

【問題４】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
122(3)×21(3) 　

110102(3) 211102(3)

312102(3) 412202(3)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

122(3)=1×9+2×3+2=9+6+2=17
21(3)=2×3+1=6+1=7
17×7=119
119=1×81+1×27+1×9+0×3+2=11102(3)

（B)　３進数で直接計算する場合
右のように計算できます．

結果　⇒　11102(3)

→2

【問題５】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
201(3)−112(3) 　

110(3) 211(3) 312(3) 421(3)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

201(3)=2×9+0×3+1=18+0+1=19
112(3)=1×9+1×3+2=9+3+2=14
19−14=5
5=1×3+2=12(3)

（B)　３進数で直接計算する場合
右のように計算できます．

結果　⇒　12(3)

→3

【問題６】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
110(3)−21(3) 　

110(3) 211(3) 312(3) 421(3)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

110(3)=1×9+1×3+0=9+3+0=12
21(3)=2×3+1=6+1=7
12−7=5
5=1×3+2=12(3)

（B)　３進数で直接計算する場合
右のように計算できます．

結果　⇒　12(3)

→3

【問題７】
　次の計算をして，結果を３進数で表してください．
121(3)÷22(3) 　

12(3)余り0(3) 22(3)余り1(3)

310(3)余り0(3) 411(3)余り1(3)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合は，16÷8=2となります．

（B)　３進数で直接計算する場合
右のように計算できます．

結果　⇒　2(3)余り0(3)

→1

８進数

○８進数の２つの数の和差積商を求めるには
(A) 慣れないうちは10進数で計算してから元に戻す方法もあります．
(B) 慣れてきたら８進数の演算表を作って，直接計算することもできます．

○８進数では，0,1,2,...,6,7の８種類の数字を使って表します．（８進法では8は使わず，8に相当する数は１つ位を上げて10で表します.）
　８進法で書かれた数（８進数）であることを示すために(8)を付けます．

８進法では
a×82+b×81+cをabc(8)と書きます．
a×83+b×82+c×81+dをabcd(8)と書きます．
………

（いずれもa,b,c,d,...は0,1,2,...,6,7のいずれかです．）

【例】

　10進数の10=1×81+2は，８進数では12(8)と書きます．
　10進数の70=1×82+0×81+6は，８進数では106(8)と書きます．

※　コンピュータの内部では２進数の計算が行われますが，このことと関連して４進数，８進数，16進数，32進数，... が他のｎ進法と比べると比較的よく登場します．
　というのは，他のｎ進数とは違って，

■これらは２進数を２桁ずつ，３桁ずつ，４桁ずつ，５桁ずつ，...束にしたものになっていて，
■２進数との書き換えが簡単にできるからです．

　Excelのワークシート関数には

２進数を８進数に直す関数 =BIN2OCT()
２進数を16進数に直す関数 =BIN2HEX()
８進数を２進数に直す関数 =OCT2BIN()
８進数を16進数に直す関数 =OCT2HEX()
16進数を２進数に直す関数 =HEX2BIN()
16進数を８進数に直す関数 =HEX2OCT()

があります．

【問題８】
　次の２進数を８進数に直してください．
11010111(2) 　

1225(8) 2327(8) 3653(8) 43113(8)

解説

３桁ずつ
11010111(2)
のように束にするとよいから
327(8)

→2

【問題９】
　次の計算をして，結果を８進数で表してください．
506(8)+17(8) 　

1523(8) 2524(8) 3525(8) 4526(8)

解説

(A) 10進数に直して計算する場合は

506(8)=5×:82+0×:81+6=320+6=326
17(8)=1×:81+7=8+7=15
326+15=341
341=5×:82+2×:81+5

⇒　525(8)
(B) ８進数のまま計算する場合は

→3

【問題10】
　次の計算をして，結果を８進数で表してください．
30(8)×15(8) 　

1450(8) 2455(8) 3470(8) 4475(8)

解説

(A) 10進数に直して計算する場合は

30(8)=3×:81+0=24
15(8)=1×:81+5=8+5=13
24×13=312
312=4×:82+7×:81+0

⇒　470(8)
(B) ８進数のまま計算する場合は，右の計算

→3

16進数

○16進数では，0,1,2,...,8,9,A,B,C,D,E,Fの16種類の数字を使って表します．（16進法では10進法での16に相当する文字Gは使わず，１つ位を上げて10で表します.）
　16進法で書かれた数（16進数）であることを示すために(16)を付けます．

16進法では
x×162+y×161+zをxyz(16)と書きます．
x×163+y×162+z×161+wをxyzw(16)と書きます．
………

（いずれもx,y,z,w,...は0,1,2,...,8,9,A,B,C,D,E,Fのいずれかです．）

【例】

　10進数の31=1×161+15は，16進数では1F(16)と書きます．
　10進数の239=14×161+15は，16進数ではEF(16)と書きます．

　16進数で直接足し算をするには，次のような演算表を作るとよいでしょう．（結果を逆にすると，引き算もできます．）

＋	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

　16進数で次のような掛け算の演算表を覚えるのは無理でしょう～（泣）．（困った時のExcel頼み =DEC2HEX(HEX2DEC( XX )*HEX2DEC( XX )) の XX印に16進数を入れると検算できます．）

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

【問題11】
　次の２進数を16進数に直してください．
10111101(2) 　

1BD(16) 2BE(16) 3CD(16) 4DE(16)

解説

4桁ずつ
10111101(2)
のように束にするとよいから
BD(16)

→1

【問題12】
　次の計算をして，結果を16進数で表してください．
AC(16)+4F(16) 　

1CE(16) 2DF(16) 3EC(16) 4FB(16)

解説

(A) 10進数に直す場合

AC(16)=10×16+12=172
4F(16)=4×16+15=79
172+79=251
251=15×16+11=FB(16)

(B) 16進数のまま行う場合

１の位：C+F=1B→Bを書いて1繰り上がる
16の位：(1)+A+4=F

→4

【問題13】
　次の計算をして，結果を16進数で表してください．
DC(16)−9F(16) 　

12E(16) 23D(16) 3A7(16) 4C8(16)

解説

(A) 10進数に直す場合

DC(16)=13×16+12=220
9F(16)=9×16+15=159
220−159=61
61=3×16+13=3D(16)

(B) 16進数のまま行う場合

１の位：CよりもFの方が大きいので，1借りてくる

1C−F=D

16の位：C−9=3
結果⇒3D(16)

→2

【問題14】
　次の計算をして，結果を16進数で表してください．
6(16)×A(16) 　

13C(16) 24D(16) 35E(16) 46A(16)

解説

(A) 10進数に直す場合

6(16)=6
A(16)=10
6×10=60
60=3×16+12=3C(16)

(*) Excelを使う場合

DEC2HEX(HEX2DEC("6")*HEX2DEC("A"))=3C 16進数としては文字型を入れます

→1

【問題15】
　次の計算をして，結果を16進数で表してください．
15F(16)÷D(16) 　

1E(16) 2F(16) 31A(16) 41B(16)

解説

(A) 10進数に直す場合

15F(16)=256+5×16+15=351
D(16)=13
351÷13=27
27=1×16+11=1B(16)

(*) Excelを使う場合

DEC2HEX(HEX2DEC("15F")/HEX2DEC("D"))=1B

→4

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｎ進数の演算について／17.5.21］

例３の解説(3)のところ２進数になってます。流れを汲めば躓くことはないですが一応
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｎ進数の演算について／17.1.17］

a＝d(n) ,b=e(n),c=f(n)とする。10進数で a×b=cのとき，d(n)×e(n)＝=f(n)は成り立つのか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．a(10)=d(n) ,b(10)=e(n),c(10)=f(n)と書いてあるのだから，a(10)×b(10)=c(10)のとき，d(n)×e(n)=f(n)が成り立つのは当然でしょう．
等しいものは等しいものに等しい．引っ越しは引っ越しの引っ越し．他に言うべきことは思いつかない．
（あなたもコンピュータ・プログラミングが好きな方かな = =）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ｎ進数の演算について／16.11.27］

素晴らしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります