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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Aの「整数の性質…２進法，Ｎ進法」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓最大公約数,最小公倍数,互除法
↓１次不定方程式の整数解
↓センター試験.整数問題
↓ペル方程式
↓２進法,16進法,ｎ進法⇔10進法
↓２進数の演算
↓N進法
↓N進数の演算
↓N進法の小数
↓試験問題(素数,剰余類)
↓3n+1問題(コラッツ予想)
↓フェルマー予想,オイラー予想
連続整数の積

【要点】
（以下，n, kは整数とする）
○連続する２つの整数の積は２の倍数になる．
○連続する３整数の積は3!=6の倍数になる．
○連続するｍ個の整数の積はm!の倍数になる．

(1) nが偶数（n=2kのとき）ならば，因数nがあるから，
n(n+1)=2k(2k+1)が２で割り切れることは明らか．
(2) nが奇数（n=2k+1のとき）ならば，因数n+1があるから，
n(n+1)=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)は２で割り切れる．
以上により，nが偶数であっても奇数であっても，n(n+1)は２で割り切れる．

(*) ２の倍数であることは上で示されている．
３の倍数であることは，次のようにして示される．
(1) nが３の倍数（n=3kのとき）ならば，因数nがあるから，
(n−1)n(n+1)=(3k−1)(3k)(3k+1)が３で割り切れることは明らか．
(2) n=3k+1のとき，因数n−1があるから，
(n−1)n(n+1)=3k(3k+1)(3k+2)は３で割り切れる．
(3) n=3k+2のとき，因数n+1があるから，(n−1)n(n+1)
=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3(3k+1)(3k+2)(k+1)は３で割り切れる．
以上により，nが整数のとき，(n−1)n(n+1)は３で割り切れる．
２でも３でも割り切れ，２と３は互いに素だから，６で割り切れる．

異なるn個のものからm個とってできる組合せの総数nCmは整数であるが，順列・組合せの公式によれば nCm=.n!m!(n−m)!nnnnnnnn=.n(n+1)(n+2)···(n+m−1)m!nnnnnnnnnnnnnnnnnnn

　めったに見ない公式でなければ，それが公式であることを示せば，黙って使ってよい．
　上記の公式はよく登場するので，証明なしに使っても構わない．

【例１】
nが整数のとき，n(n2+3n−4)は6で割り切れることを示してください．

とにかく，n(n−1)(n+1)を作る．残りのことは後で考える．

【問題１】
nが整数のとき，2n3+3n2+n+1について，次のうちで正しいものを選んでください．

16で割り切れる 26で割ると1余る
36で割ると2余る 46で割ると3余る
56で割ると4余る 66で割ると5余る
解説

　2n3+3n2+n+1=n(2n2+3n+1)+1
=n(n+1)(2n+1)+1=n(n+1){ n−1+n+2 }+1
=n(n+1)(2n+1)+1=n(n+1)(n−1)+n(n+1)(n+2)+1
ここで，n(n+1)(n−1)およびn(n+1)(n+2)はそれぞれ連続3整数の積だから６の倍数
したがって，n(n+1)(n−1)+n(n+1)(n+2)+1を６で割ると１余る

【問題２】
nが整数のとき，n5−nについて，次のうちで正しいものを選んでください．

15でも6でも割り切れない場合がある
2つねに5で割り切れるが，6では割り切れない場合がある
3つねに6で割り切れるが，5では割り切れない場合がある
4つねに30で割り切れる

解説

　n5−n=n(n4−1)
=n(n−1)(n+1)(n2+1)
=n(n−1)(n+1){ (n−2)(n+2)+5 }
=(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5(n−1)n(n+1)
　ここで(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)は連続５整数の積だから5!=120で割り切れる．
(n−1)n(n+1)は連続３整数の積だから3!=6で割り切れ，したがって5(n−1)n(n+1)は30で割り切れる．
　以上により，つねに30で割り切れる．

【問題４】
nが5で割り切れない整数のとき，n4−5n2について，次のうちで正しいものを選んでください．

15で割り切れる
25で割ると1余る
35で割ると2余る
45で割ると3余る
55で割ると4余る

解説

　n4−5n2=(n2−1)(n2−4)−4
=(n−2)(n−1)(n+1)(n+2)−5+1
ここで，n=5k±1, 5k±2のとき，(n−2)(n−1)(n+1)(n+2)が５で割り切れるから，全体では１余る．

【問題３】
nが整数のとき，n3+5nについて，次のうちで正しいものを選んでください．

16で割り切れる 26で割ると1または5余る
32か3のどちらかで割り切りれない場合がある
44で割り切れる

解説

　n3+5n=n(n2+5)
=n { (n−1)(n+1)+6 }
=n(n−1)(n+1)+6n
ここで連続３整数の積n(n−1)(n+1)は６で割り切れ，6nも６で割り切れるから，n3+5nは６で割り切れる．（2, 3は不可）
n=1のときn3+5n=6だから４で割り切れない．

【問題５】
nが2でも3でも割り切れない整数のとき，n2+3n+1について，次のうちで正しいものを選んでください．

16で割り切れる
26で割ると1余る
36で割ると2余る
46で割ると5余る

解説

2でも3でも割り切れない整数nはn=6k±1と書ける．（kは整数）
このとき
　n2+3n+1=(n2−1)+3n+2
=(n−1)(n+1)+3n+2
ここで，n=6k±1のとき，(n−1)(n+1)は６で割り切れる．
次に，3n+2=3(6k±1)+2=6(3k)+5, 6(3k)−1だから，５余る．

6で割りきれることの証明の（1）の3Kの代入がおかしかない？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにn(n+1)(n+2)の話になっていましたので訂正しました．

面白かった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は公開してから１年経過していないかも