２進数の演算

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Aの「整数の性質…２進法，Ｎ進法」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓最大公約数,最小公倍数,互除法
↓１次不定方程式の整数解
↓センター試験.整数問題
↓ペル方程式

↓２進法,16進法,ｎ進法⇔10進法
↓２進数の演算

↓N進法
↓N進数の演算
↓N進法の小数

↓試験問題(素数,剰余類)

↓3n+1問題(コラッツ予想)
↓フェルマー予想,オイラー予想
連続整数の積

== ２進数の演算 ==

○２進数で表された２つの数の和を求めるには

(A)

慣れないうちは
1) 初めに問題を10進数に書き換え
2) 次に10進数で計算して
3) 最後に答を２進数に戻す

という方法が考えられます．

(B)

慣れてきたら
２進数の演算表を作って，直接計算する

こともできます．

図１

【例１】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
1100(2)+1010(2)

（解き方A）
1) 初めに問題を10進数に書き換えると
1100(2)=8+4+0+0=12
1010(2)=8+0+2+0=10
2) 次に10進数で計算すると
12+10=22
3) 最後に答を２進数に戻すと
22=1×24+0×23+1×22+1×21+0だから
10110(2)

（解き方B）

あらかじめ次図２の演算表を作っておきます．
重要な箇所はピンクの背景色で示した１箇所だけです．
２進法では数字の0と1しか使わないので，1(2)+1(2)は１つ位が上がって10(2)になります．

図２

以下(2)は省略

1100

+)1010

この問題では，下３桁の計算は繰り上がりがありませんが，最高位の計算で繰り上がりがあります．

1100

+)1010

10110

１の位の計算：0+0=0
２の位の計算：0+1=1
４の位の計算：1+0=1
８の位の計算：1+1=10→0を書いて1繰り上げる
16の位の計算：（繰り上がってきた）1

※以下の問題では，正しい選択肢の番号のところをクリックしてください．

【問題１】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
1011(2)+1101(2) 　

110001(2) 210010(2)

310100(2) 411000(2)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

1011(2)=8+0+2+1=11
1101(2)=8+4+0+1=13
13+11=24
24=16+8+0+0+0=11000(2)

（B)　２進数で直接計算する場合

→4

【問題２】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
10101(2)+11111(2) 　

1100110(2) 2101100(2)

3110100(2) 4111000(2)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

10101(2)=16+0+4+0+1=21
11111(2)=16+8+4+2+1=31
21+31=52
52=32+16+0+4+0+0=110100(2)

（B)　２進数で直接計算する場合（かっこ内は繰り上がってきた数）

１の位の計算：1+1=10→0を書いて1繰り上げる
２の位の計算：(1)+0+1=10→0を書いて1繰り上げる
４の位の計算：(1)+1+1=11→1を書いて1繰り上げる
８の位の計算：(1)+0+1=10→0を書いて1繰り上げる
16の位の計算：(1)+1+1→1を書いて1繰り上げる
32の位の計算：(1)→1を書く

以上により，110100(2)

→3

○２進数で表された２つの数の差，積，商を求めるには

(A)

慣れないうちは
1) 初めに問題を10進数に書き換え
2) 次に10進数で計算して
3) 最後に答を２進数に戻す

という方法が考えられます．

(B)

慣れてきたら
２進数の演算表を作って，直接計算する

こともできます．

【例２】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
1101(2)
×) 1011(2)

（解き方A）
1) 初めに問題を10進数に書き換えると
1101(2)=8+4+0+1=13
1011(2)=8+0+2+1=11
2) 次に10進数で計算すると
13×11=143
3) 最後に答を２進数に戻すと
143=1×128+0×64+0×32+0×16+1×8+1×4+1×2+1
だから
10001111(2)

（解き方B）

２進数の掛け算は簡単で0を掛けたら何もなしになり，1を掛けたらそのまま同じものになります．（位どりには注意します）

以下(2)は省略
1101

×)1011

1101
1101
1101

10001111

【問題３】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
1001(2)×11(2) 　

110111(2) 211011(2)

311101(2) 411110(2)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

1001(2)=8+0+0+1=9
11(2)=2+1=3
9×3=27
27=16+8+0+2+1=11011(2)

（B)　２進数で直接計算する場合
以下(2)は省略
1011

×)11

1001
1001

11011
以上により，11011(2)

→2

【問題４】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
11011(2)×101(2) 　

110000111(2) 210001011(2)

310010011(2) 410100011(2)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

11011(2)=16+8+0+2+1=27
101(2)=4+0+1=5
27×5=135
135=128+0+0+0+0+4+2+1=10000111(2)

（B)　２進数で直接計算する場合
以下(2)は省略
11011

×)101

11011
11011

10000111
以上により，10000111(2)

→1

【問題５】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
111(2)×11(2) 　

110011(2) 210101(2)

311001(2) 411011(2)

解説

（A)　10進数に直して計算する場合

111(2)=7+2+1=7
11(2)=2+1=3
7×3=21
21=16+0+4+0+1=10101(2)

（B)　２進数で直接計算する場合
以下(2)は省略
111

×)11

111
111

10101
以上により，10101(2)

→2

【例３】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
101(2)
−) 11(2)

（解き方B）

以下の問題についても，10進数に直して計算することもできますが，解説はｎ進数で直接計算する方法だけ書いておきます．

以下(2)は省略
101

−)11

【例４】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
1100(2)
−) 101(2)

（解き方B）

　１の位を計算するときに，引かれる方が0で引く方が1なので，上の位から借りてきたいのですが，上の位にもないときはさらに上の位から借りてきます．
まず
100
をくずして
0100
にして，さらに
0110
にします．
これで，1の位が引けて1になる．
2の位はそのまま下ろしてくればよい．（1）

4の位の引き算をするときも，引かれる方が0で引く方が1なので，上の位から借りてくればよい．（今度は１つ上の位の1を借りたらよい）．
結果　⇒　111(2)

【問題６】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
110(2)−11(2) 　

110(2) 211(2) 3100(2) 4101(2)

解説

（B)　２進数で直接計算する場合
１の位が足りないので，上の位から借りてくる
1010

−)11

次に２の位も引く方が大きいので，上の位から借りてくる．
01010

−)11

→2

【問題７】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．
11000(2)−111(2) 　

110000(2) 210001(2)

310010(2) 410101(2)

解説

（B)　２進数で直接計算する場合
１の位が足りないので，3つ上の位から順繰りに借りてくる
11000
101000
101100
101110
これで引き算ができます
101110

−)111

10001

→2

【例５】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．

101(2)

)100011(2)

（解き方B）

○　割り算で，数字を立てるのはむしろ簡単で，入れば1，入らなければ0です．
○　掛けるときは，割る数の全部に書けます．
○　割り算の中では，引き算を行います．

結果　⇒　111(2)

【問題８】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．

11(2)

)10101(2)

　
1100(2) 2101(2) 3110(2) 4111(2)

解説

（B)　２進数で直接計算する場合（以下，添え字の(2)は略）

10には11は入らないから，その次の位に行く．
101には11が入るから1を立てる．
101−11=10
100←0を下ろしてくる
100には11が入るから1を立てる．
100−11=1
11←1を下ろしてくる
11には11が入るから1を立てる．
11−11=0

結果　⇒　111(2)

→4

【問題９】
　次の計算をして，結果を２進数で表してください．

101(2)

)110111(2)

　
11001(2) 21011(2) 31101(2) 41110(2)

解説

（参考）
　Excelで２進数で直接計算する方法は思いつきませんが，10進数経由ならば，次の方法で検算できます．
=BIN2DEC(110111)/BIN2DEC(101) によって10進数の結果11が得られるので，これを２進数に直して
DEC2BIN(BIN2DEC(110111)/BIN2DEC(101))=1011 となります．

結果　⇒　1011(2)

→2

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／18.8.18］

めちゃくちゃわかりやすかったです、参考になります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言葉とイラストだけで知的なモヤモヤを解消するには，どこから切り込んで，どのように展開すれば分かり易いか，読者は何分まで持ちこたえられるか？この問題をほとんど毎日考えています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／18.5.19］

二進数の割り算の筆算が、授業でも、テキストをみても、動画を見ても、まったく分からず困っていましたが、やっと理解できました。本当にありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.10.24］

実生活で2進数を使うことはなかなかありませんが、この頁で、2進数の使い勝手の良さや計算のしやすさが実感できました。唯、10進数を変換するのが面倒に感じます…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.10.18］

分かりやすい助かりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.8.17］

10-1は、 1 1 -1 として下の位に展開するのはどうでしょう？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．10=1+1なので，10-1=(1+1)-1=1という意味でしたら，その通りです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.5.15］

何を言っているか全然わかりませんでした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分からないことを分かるようにするにはどうすればよいか，という前向きの姿勢で臨むことが大切です．「分からないことが書いてありましたので数学を投げました」でよいのでしたらそれまでです．
前向きに言えば，二進数の「演算」以前の，中学校で習う二進数の「表記」からやり直すと解決するかもしれません．
このまま放置すると，さらにもっと破滅的な議論「そもそも能力的に問題が･･･」という風な話も出てきそうな文脈になっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2進数の演算について／17.4.13］

シンプルなページですが解けるようになりました、ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.1.27］

引き算以外なら、解けるようになりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２進数の演算について／17.1.17］

二進数の演算の例2の問題が1101×1011に対して、解き方A.Bの問題が1101×1010についての解き方になっています。あと、例2の解き方A（3）の最後にでてくる答え0が一つたりなかったです。最後に、質問なんですが… 回答Aの（3）にでてくる22＝っとなっている22は何処からきた22なのでしょうか？頑張って考えてるのですがわかりません。あと、ほんとーのほんとーに最後に。凄く分かりやすく大変ためになっています。こんなサイトを作ってくださりありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例２の解き方Aはいろいろと違っていました．というか，上の例１のコピペをしてから作業を始めようとして，コーヒーか何かを飲んでいるうちにその行を見失ったという辺りが真相かも

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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります