２進法,３進法，n進法

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Aの「整数の性質…２進法，Ｎ進法」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓最大公約数,最小公倍数,互除法
↓１次不定方程式の整数解
↓センター試験.整数問題
↓ペル方程式

↓２進法,16進法,ｎ進法⇔10進法

↓２進数の演算

↓N進法
↓N進数の演算
↓N進法の小数

↓試験問題(素数,剰余類)

↓3n+1問題(コラッツ予想)
↓フェルマー予想,オイラー予想
連続整数の積

10進法

　小中学校以来使っている10進法は，次の例のように
たとえば，a×102+b×10+cをabcと書くものです．
　（10進法で表された数を10進数といいます．）

【10進数の例】
5×102+6×10+7を567と書く
9×103+8×102+0×10+7を9807と書く

　使える数字は，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10種類

　10進法では，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の順に大きい数字を使い，9の次は新しい数字は使わずに１つ上の桁に1を書いて10とします．

２進法

　コンピュータの内部で使われる２進法（on=1, off=0の区別しかないので，２種類の数字だけで表す）は，次の例のように
たとえば，a×22+b×2+cをabc(2)と書くものです．
　（２進法で表された数を２進数といいます．）

【２進数の例】
1×22+1×2+0を110(2)と書く
1×23+0×22+1×2+1を1011(2)と書く

　使える数字は，0,1の2種類

　２進法では，0,1の順に数字を使い，1の次は新しい数字は使わずに１つ上の桁に1を書いて10(2)とします．

　何進法で書かれているかを表すために末尾に小さくかっこうを付けて書きます．
101(2) → ２進法で書かれている数（２進数）
1201(3) → ３進法で書かれている数（３進数）
6107(8) → ８進法で書かれている数（８進数）
A1B3(16) → 16進法で書かれている数（16進数）

※　10進法で書かれているときだけは，末尾の(10)は省略できます．
578は578(10)のこと． → 10進法で書かれている数（10進数）

【例１】
　２進数で書かれた数字101(2)を10進数に直してください．

101(2)を10進数に直すには，1×22+0×2+1の計算を（普通に）10進法でやればよい．

（解答）
1×22+0×2+1=4+0+1=5

※　Excelではよく使われるｎ進数相互の間に変換関数が準備されています．［この頁の問題の検算に使えます］
　２進数（***）を10進数に直す関数は =BIN2DEC(***) です．（コンピュータ関連では，Exe to Binのtoを2で短縮してかつ空白文字を詰めるEXE2BINという面白い書き方があります．BIN2DEC は Binary to Decimal（２進数から10進数）の略でしょう．
【例】 BIN2DEC(11)=3, BIN2DEC(1010)=10
※　BIN2DEC(1203) のように２進数としては使用できない文字 2,3などを引数にすると #NUM!（定義域にない値を代入した）というエラーコードが返されます．

【問題１】
　２進数で書かれた数字1011(2)を10進数に直してください．　

19 211 319 421 529

解説

1×23+0×22+1×2+1=8+0+2+1

→2

【問題２】
　２進数で書かれた数字11100(2)を10進数に直してください．　

17 214 328 435 542

解説

1×24+1×23+1×22+0×21+0=16+8+4+0+0=28

→3

３進法

　３進法は，次の例のように
たとえば，a×32+b×3+cをabc(3)と書くものです．
　（３進法で表された数を３進数といいます．）

　３進法では，0,1,2の順に数字を使い，2の次は新しい数字は使わずに１つ上の桁に1を書いて10(3)とします．

【例２】
　３進数で書かれた数字2102(3)を10進数に直してください．

2102(3)を10進数に直すには，2×33+1×32+0×;3+2の計算を（普通に）10進法でやればよい．

（解答）
2×33+1×32+0×3+2=54+9+0+2=65

【３進数の例】
2×32+1×3+0を210(3)と書く
1×33+2×32+1×3+0を1210(3)と書く

　使える数字は，0,1,2の3種類

【問題３】
　３進数で書かれた数字1220(3)を10進数に直してください．　

117 251 373 491 5153

解説

1×33+2×32+2×31+0=27+18+6+0=51

→2

８進法

　８進法は，次の例のように
たとえば，a×82+b×8+cをabc(8)と書くものです．
　（８進法で表された数を８進数といいます．）

　８進法では，0,1,2,3,4,5,6,7の順に数字を使い，7の次は新しい数字は使わずに１つ上の桁に1を書いて10(8)とします．

※　Excelには８進数を10進数に変換する関数が準備されています．［この頁の問題の検算に使えます］
　８進数（***）を10進数に直す関数は =OCT2DEC(***) です．（Octal to Decimal）
【例】 OCT2DEC(7651)=4009
※　OCT2DEC(89) のように８進数としては使用できない文字 8,9などを引数にすると #NUM!（定義域にない値を代入した）というエラーコードが返されます．

【８進数の例】
7×82+6×8+5を765(8)と書く
1×83+0×82+6×8+7を1067(8)と書く

　使える数字は，0,1,2,3,4,5,6,7の8種類

【問題４】
　８進数で書かれた数字120(8)を10進数に直してください．　

110 266 380 4129 5640

解説

1×82+2×81+0=64+16+0=80

→3

16進法

　16進法は，次の例のように
たとえば，x×162+y×16+zをxyz(16)と書くものです．
　（16進法で表された数を16進数といいます．）

　16進数を表すためには，「１文字で10,11,12,13,14,15を表す」必要があり，このためにA,B,C,D,E,Fを使います．（Aは10進数の10，Bは10進数の11，...，Fは10進数の15に対応しています．）　16進法では，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,Fの順に数字を使い，Fの次は新しい数字は使わずに１つ上の桁に1を書いて10(16)とします．

※　Excelには16進数を10進数に変換する関数が準備されています．［この頁の問題の検算に使えます］
　16進数（***）を10進数に直す関数は =HEX2DEC(***) です．（Hexadecimal to Decimal）
【例】 HEX2DEC("AB0E")=43790 ←単にAB0Eと書くと変数やセル番地と解釈されるので，HEX2DEC()に渡す引数には「16進数を表す文字列」であることを示すためにダブルクォートで囲んで代入します．もしくは，他のセルに書かれた文字を参照します．

【例３】
　16進数で書かれた数字5A8C(16)を10進数に直してください．

5A8C(16)を10進数に直すには，5×163+A×162+8×16+Cの計算を（普通に）10進法でやればよい．ただし，Aは10進数の10，Bは10進数の11，...，Fは10進数の15を表すものとする．）

（解答）
5×163+10×162+8×16+12
=20480+2560+128+12=23180

【16進数の例】
7×162+A×16+Bを7AB(16)と書く
E×163+9×162+C×16+5をE9C5(16)と書く

　使える数字は，0,1,2,3,...,9,A,B,C,D,E,Fの16種類

※読者の質問として意外に多いのが F を16と思い込んでしまう場合です．16進数では最高で15を表す文字までしか使いません．Fは15に対応しています．

【問題５】
　16進数で書かれた数字C7(16)を10進数に直してください．　

1167 2183 3199 4215

解説

C×16+7=12×16+7=192+7=199

→3

【問題６】
　16進数で書かれた数字FF(16)を10進数に直してください．　

1238 2244 3255 4272

解説

F×16+F=15×16+15=240+15=255

→3

ｎ進法

　ｎ進数を表すためには，「ｎ種類の文字」が必要です．
　数学としてもコンピュータ処理としても256進数，...，32768進法などでも可能ですが，コンピュータの画面上に表示するには”コンピュータの１バイトで何種類の文字が表せるか”という別の都合を考えなければなりません．また，+-*/().など演算に使われる文字は紛らわしいので避ける必要があります．このような訳で，コンピュータの画面上に簡単に表現できるのは，0,1,2,...,9までの10種類の文字，これに英大文字A,B,...Zの26文字，英小文字a,b,..,zの26文字を追加して62進数まででしょう．（大文字⇔小文字の区別がなければ36進数まで）

※コンピュータは内部的には２進数で処理されていますが，２進数を束にして扱うことにより，８進数，16進数，32進数，64進数などがよく使われます．今はコンピュータの時代なので，16進数，32進数，64進数などに出合う機会が多くなりました．

■10進数をｎ進数に直すには

○　10進法で表された数を２進法で表すには，次の関係を用いると便利です．
　まず
　10111(2)=1×24+0×23+1×22+1×2+1=16+4+2+1=23
　を例にとって考えます．

23=1×24+0×23+1×22+1×2+1
=2(1×23+0×22+1×21+1)+1
=2(2(1×22+0×21+1)+1)+1
=2(2(2(1×21+0)+1)+1)+1
=2(2(2(2(1)+0)+1)+1)+1

のように変形すると，
　１．右端の位の数は23を２で割ったときの余りです
　　2(2(2(2(1)+0)+1)+1)+1　　　・・・・・→　1
　２．このときの商　2(2(2(1)+0)+1)+1 ・・・→　1
　　をさらに２で割った余りは右から２つ目の位の数です．
　３．このときの商　2(2(1)+0)+1 ・・・・・・→　1
　　をさらに２で割った余りは右から３つ目の位の数です．
　４．このときの商　2(1)+0 ・・・・・・・・・→　0
　　をさらに２で割った余りは右から４つ目の位の数です．
　５．このときの商　1 　　　・・・・・・・・・→　1
　　をさらに２で割った余りは右から５つ目の位の数です．

○　10進法で表された数を３進法，４進法，...など一般にｎ進法に直すには，ここの解説の２に変えて３，４，...，ｎを使うとよい．

Excelで10進数を２進数，８進数，16進数に直すには，各々 =DEC2BIN(), =DEC2OCT(), =DEC2HEX() という関数が利用できます．
【例】

DEC2BIN(51)=110011
DEC2OCT(98)=142
DEC2HEX(123)=7B

［小さな添え字は付いていません］

○

≪10進数を２進数に直す方法≫
　２で割った余りを上から下へ，右から左に書く．
（下から上へ，左から右に書くと覚えてもよい）

○　暗算でするには

23=1×24+0×23+1×22+1×2+1
=1×16+0×8+1×4+1×2+1

のように書くと，

16で取れるだけ取ってその係数にする（1）
残りの7から8で取れるだけ取ってその係数にする（取れないので0）
残りの7から4で取れるだけ取ってその係数にする（1）
残りの3から2で取れるだけ取ってその係数にする（1）
残りは1

※この「計算は必ず左から行う」

【例４】
　10進数で書かれた数字11を２進数に直してください．

（解答）
24=16, 23=8, 22=4, 21=2, 1を準備しておく

16は入らないので8から始める
8で取れるだけ取ってその係数にする（1）
残りの3から4で取れるだけ取ってその係数にする（取れないので0）
残りの3から2で取れるだけ取ってその係数にする（1）
残りは1

したがって，1011(2)

【問題７】
　10進数で書かれた数字36を２進数に直してください．　

11010(2) 21100(2) 311100(2) 4100100(2)

解説

25=32, 24=16, 23=8, 22=4, 21=2, 1を準備しておく

32で取れるだけ取ってその係数にする（1）
残りの4を16で取れるだけ取ってその係数にする（取れないので0）
残りの4を8で取れるだけ取ってその係数にする（取れないので0）
残りの4から4で取れるだけ取ってその係数にする（1）
もう残りはないから2の係数は0
最後の位も残りは0

したがって，100100(2)

順に2で割るときは，次図のようになります．

→4

【問題８】
　10進数で書かれた数字27を２進数に直してください．　

110011(2) 210101(2) 311011(2) 411100(2)

解説

25=32, 24=16, 23=8, 22=4, 21=2, 1を準備しておく

32は入らない
27を16で取れるだけ取ってその係数にする（1）
残りの11を8で取れるだけ取ってその係数にする（1）
残りの3から4で取れるだけ取ってその係数にする（取れないので0）
残りの3から2を取れるだけ取ってその係数にする（1）
最後の残りは1

したがって，11011(2)

→3

【問題９】
　10進数で書かれた数字70を３進数に直してください．　

11122(3) 21222(3) 32112(3) 42121(3)

解説

34=81, 33=27, 32=9, 31=3, 1を準備しておく

81は入らない
70を27で取れるだけ取ってその係数にする（2）
残りの16を9で取れるだけ取ってその係数にする（1）
残りの7から3で取れるだけ取ってその係数にする（2）
最後の残りは1

したがって，2121(3)
順に3で割るときは，次図のようになります．

→4

【問題10】
　10進数で書かれた数字135を８進数に直してください．　

1207(8) 2217(8) 3307(8) 4317(8)

解説

83=512, 82=64, 81=8, 1を準備しておく

512は入らない
135を64で取れるだけ取ってその係数にする（2）
残りの7を8で取れるだけ取ってその係数にする（とれないので0）
最後の残りは7

したがって，207(8)

→1

【問題11】
　10進数で書かれた数字188を16進数に直してください．　

1AB(16) 2AC(16) 3BA(16) 4BC(16)

解説

162=256, 161=16, 1を準備しておく

256は入らない
188を16で取れるだけ取ってその係数にする（11→B）
最後の残りは12→C

したがって，BC(16)

→4

【問題12】
　10進数で書かれた数字755を16進数に直してください．　

12E5(16) 22F3(16) 35E2(16) 45E3(16)

解説

162=256, 161=16, 1を準備しておく

755を256で取れるだけ取ってその係数にする（2）
残りの243を16で取れるだけ取ってその係数にする（15→F）
最後の残りは3

したがって，2F3(16)

→2

自由研究

　以下のツールでは，2進数から64進数までの数を相互に変換します．赤枠には2から64までの数字を書き込んでください．（例えば16進数は16進数と書き，G進数とは書きません．）
　各位の数は，
0123456789 ← 10文字
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ← 26文字
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ← 26文字
#% ← 2文字
の合計64文字までとし，英字の大文字と小文字を区別し，例えばAは１文字で10を表し，aは１文字で36を表すものとします．これで62文字まで表せますが，残り２文字をここでは#%とし，例えば，63を1つの文字で表すと%，62を1つ文字で表すと#とするので，4094=64×63+62を64進法で表すと，%#とする約束です．

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