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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Aの「整数の性質…２進法，Ｎ進法」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓最大公約数,最小公倍数,互除法
↓１次不定方程式の整数解
↓センター試験.整数問題
↓ペル方程式
↓２進法,16進法,ｎ進法⇔10進法
↓２進数の演算
↓N進法
↓N進数の演算
↓N進法の小数
↓試験問題(素数,剰余類)
↓3n+1問題(コラッツ予想)
↓フェルマー予想,オイラー予想
連続整数の積

1. 用語の整理

(1) 三平方の定理（ピタゴラスの定理），ピタゴラス数

　三平方の定理は，中学校３年の数学で習う定理で，直角三角形の直角を挟む２辺の長さをa, b，斜辺の長さをcとするとき，$a^2+b^2=c^2$が成り立つことをいう．ピタゴラスの定理ともいう．
　三平方の定理が成り立つ三角形の辺の長さには
$3^2+4^2=5^2$･･･①
$5^2+{12}^2={13}^2$
のように「三辺とも正の整数」であるものや
$1^2+(\sqrt{3}{)}^2=2^2$･･･②
$(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2=(\sqrt{5}{)}^2$
のように「少なくとも１つの辺の長さが整数でない」ものもある．
　①のように三辺とも正の整数であるとき，これら３つの数の組をピタゴラス数という．ピタゴラス数は
$3^2+4^2=5^2$
$5^2+{12}^2={13}^2$
$7^2+{24}^2={25}^2$
$9^2+{40}^2={41}^2$
･･･
のように限りなくある．

(2) フェルマー予想（フェルマーの最終定理）

　フェルマー予想とは，nが3以上の整数であるとき
$a^n+b^n=c^n$
を満たす正の整数a, b, cは存在しないという予想のことをいう．この予想が正しいことは，1995年アンドリュー・ワイルスによって証明された．フェルマーの最終定理，フェルマーの大定理とも呼ばれる．

(3) オイラー予想

　オイラーは，フェルマー予想をk>3の場合に拡張して，m<kのとき
$x_1^k+x_2^k+\cdots +x_m^k=y^k$
を満たす正の整数$x_1,x_2,\cdots ,x_m,y$は存在しないと予想した．（1769年）
　20世紀になってから，この予想に対する反例が見つかった．

(4) ウェアリング問題

　ウェアリングは，1770年に
「すべての整数は４個以下の平方数の和として表せる」
「すべての整数は９個以下の立方数の和として表せる」
「すべての整数は19個以下の４乗数の和として表せる」
･･･
「すべての整数は$[({\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^k]+2^k-2$個以下のk乗数の和として表せる」（ただし，ガウス記号[x]は，xを越えない最大の整数を表す）ことを示した．
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$は任意の整数を表せる
$x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3+x_5^3+x_6^3+x_7^3+x_8^3+x_9^3$は任意の整数を表せる，など
　※このウェアリング問題では，与えられた乗数kに対して，フェルマー予想やオイラー予想で考える左辺の項の個数mが遥かに多いことに注意．すなわち
• $x_1^3+x_2^3=y^3$は解けなくても，
$x_1^3+x_2^3+x_3^3=y^3$
$x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=y^3$，･･･
のように左辺の項数を増やしていくと，解が見つかることがある．
• $x_1^4+x_2^4=y^4$は解けなくても，
$x_1^4+x_2^4+x_4^3=y^4$，$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=y^4$，･･･
のように左辺の項数を増やしていくと，解が見つかりやすい．
　このことを参考にすると，ディオファントス問題が全く解けないときは，左辺の変数の個数を増やすと少しやさしい問題に変わる傾向があるということが分かる．

(5) ディオファントス問題(k, m, n)

　与えられた正の整数k, m, nに対して
$x_1^k+x_2^k+\cdots +x_m^k=y_1^k+y_2^k+\cdots +y_n^k$
を満たす整数解を求める問題をディオファントス問題(k, m, n)という．
　ピタゴラス数，フェルマー予想，オイラー予想との関わりで，このページではn=1の場合，すなわち右辺が１つの数のk乗となっているもの
$x_1^k+x_2^k+\cdots +x_m^k=y^k$
のみ扱う．
　ピタゴラス数を求めることはディオファントス問題(2, 2, 1)であり，フェルマー予想はディオファントス問題(k, 2, 1) k=3, 4, 5, ･･･に対応し，オイラー予想はディオファントス問題(k, m, 1), k＞m に対応するが，以下のページでは，ピタゴラス数，フェルマー予想，オイラー予想は有名なのでそのまま使い，他の組合せはディオファントス問題(k, m, 1)と呼ぶことにする．

2. 問題の一覧表

3. パソコンと数学の役割分担

4. 個別の解

《2.2》 ピタゴラス数

$a^2+b^2=c^2$
$1\leqq a,b<c$，$a,b,c$は互いに素
を満たす整数解

【要約】
(1) すなわち，ピタゴラス数，もしくはディオファントス問題(2, 2, 1)の解は，無限に多く存在する．
(2)
　この解は，互いに素な正の整数m, nを用いて
$a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2$
と書ける．

=総当たりでピタゴラス数を求める(Pytho3のコード)=
とりあえず右辺の整数を50までとする
【例1】

import math #1
import datetime as dt #2
dt1 = dt.datetime
nt1 = dt1.now() #3
L1 = [(3,4,5)]
def is_pythagoras(x):
    global L1
    for a in range(1,x):
        for b in range(a, x):
            for c in range(b,x):
                if a**2+b**2 == c**2:
                    if math.gcd(math.gcd(a,b),c) == 1: #4
                        check1 = 0
                        for n in range(0, len(L1)):
                            if L1[n] == (a,b,c): #5
                                check1 = 1
                                break
                            else:
                                continue
                        if check1 == 0:
                            L1.append((a,b,c)) #6
for n in range(1, 51):#7
    is_pythagoras(n)
print(L1,len(L1))
nt2 = dt1.now() #8
print(nt2-nt1) #9

→
[(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37), (9, 40, 41)] 7
0:00:00.514971
#1→ 最大公約数の判定関数gcd()を使うために，mathモジュールをインポートする
#2→ 所要時間を調べるために，datetimeモジュールをインポートする
#3→ 初めの時刻を変数nt1に代入しておく
#4→ 互いに素な組合せだけを選ぶ
#5→ 同じものがあれば追加しない
#6→ 同じものがなければ，追加する

【要約1】
ピタゴラス数，すなわちディオファントス問題(2, 2, 1)の解は，無限に多く存在する．

【要約2】
ピタゴラス数，すなわちディオファントス問題(2, 2, 1)の解，互いに素である正の整数a, b, c (1≦a≦b<c)（a, cは奇数，bは偶数）が
$a^2+b^2=c^2$
を満たすならば
$a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2$
とおける

《2.3～2.5》ディオファントス問題

$a^2+b^2+c^2=d^2$･･･[1]
$a^2+b^2+c^2+d^2=e^2$･･･[2]
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=f^2$･･･[3]
$0\leqq a\leqq b\leqq c\leqq d\leqq e<f$，$a,b,c,d,e,f$は互いに素 を満たす整数解を求める．

【要約】
(1)　ディオファントス問題(2, 3, 1)
$a^2+b^2+c^2=d^2$
を満たす正の整数$1\leqq a,b,c<d$の組は無限にある．
(2)　この解は，次の媒介変数表示で表される．
$a^2+b^2+c^2=d^2\leftrightarrow \{\begin{array}{l}a=m^2+n^2-p^2-q^2\\ b=2mq+2np\\ c=2nq-2mp\\ d=m^2+n^2+p^2+q^2\end{array}$

【要約】
(1)$a^2+b^2+c^2+d^2=e^2$を満たす正の整数$1\leqq a,b,c,d<e$（$a,b,c,d,e$は互いに素）の組は無限にある．
(2)　上記の解について，

左辺の和は偶数になり，右辺$e^2$が偶数になるから，$e$も偶数になる．
この場合，$a,b,c,d,e$は互いに素という条件を満たさないから，ここからは解は求まらない．

$a=2k+1,b=2l,c=2m,d=2n$とおくと，
$a^2+b^2+c^2+d^2$
$=(2k+1{)}^2+(2l{)}^2+(2m{)}^2+(2n{)}^2$
$=4K+1$
　他方で，右辺は$e=2p+1$（$e$が奇数）に対して，$e^2=4p^2+4p+1=4P+1$となるから，両辺が等しくなる可能性はある．

$a=2k+1,b=2l+1,c=2m,d=2n$とおくと，
$a^2+b^2+c^2+d^2$
$=(2k+1{)}^2+(2l+1{)}^2+(2m{)}^2+(2n{)}^2$
$=4K+2$
　他方で，右辺は$e=2p,2p+1$に対して，$e^2=4P,4P+1$となるから，4で割って２余ることは起こらない．ここからは解は求まらない．

$a=2k+1,b=2l+1,c=2m+1,d=2n$とおくと，
$a^2+b^2+c^2+d^2$
$=(2k+1{)}^2+(2l+1{)}^2+(2m+1{)}^2+(2n{)}^2$
$=4K+3$
　他方で，右辺は$e=2p,2p+1$に対して，$e^2=4P,4P+1$となるから，4で割って3余ることは起こらない．ここからは解は求まらない．

$a=2k+1,b=2l+1,c=2m+1,d=2n+1$とおくと，
$a^2+b^2+c^2+d^2$
$=(2k+1{)}^2+(2l+1{)}^2+(2m+1{)}^2+(2n+1{)}^2$
$=4k(k+1)+4l(l+1)+4m(m+1)+4n(n+1)+4$
連続する２整数の積は，２の倍数になるから，$4k(k+1),4l(l+1),4m(m+1),4n(n+1)$はいずれも8の倍数になる．したがって
$a^2+b^2+c^2+d^2=8K+4$
他方で，右辺は
$e=8p,8p\pm 1,8p\pm 2,8p\pm 3$に対して，
$e^2=8P,8P+1,8P+4,8P+1$
となるから，$e=8p\pm 2$すなわち$e=8p+2,8p+6$，すなわち$e=4q+2$のとき，両辺が等しくなる可能性はある．
この場合，$e$は４で割って２余る数になる．

【要約】
(1)$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=f^2$を満たす正の整数$1\leqq a,b,c,d,e<f$（$a,b,c,d,e,f$は互いに素）の組は無限にある．
(2)　上記の解について，