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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Aの「整数の性質…２進法，Ｎ進法」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓最大公約数,最小公倍数,互除法
↓１次不定方程式の整数解
↓センター試験.整数問題
↓ペル方程式
↓２進法,16進法,ｎ進法⇔10進法
↓２進数の演算
↓N進法
↓N進数の演算
↓N進法の小数
↓試験問題(素数,剰余類)
↓3n+1問題(コラッツ予想)
↓フェルマー予想,オイラー予想
連続整数の積

a, b, cが整数であるとき，
を満たす整数x, yを求める

（Ⅰ）具体的な値をx, yに代入してみて１つの解を見つけ，それを利用して一般解を求める方法
（Ⅱ）x, yのうちで係数が小さい方の変数について解くことを繰り返す方法
（Ⅲ）ユークリッドの互除法を使って１つの解を見つけ，（Ⅰ）に持ち込む方法

（Ⅰ）　具体的な値をx, yに代入してみて１つの解を見つけ，それを利用して一般解を求める方法

3x=4y（x, yは整数）…(2)

x=4n（nは整数）
y=3n

3(x−1)=4(y+2)（x, yは整数）…(3)

x−1=4n⇒
y+2=3n

x=4n+1（nは整数）
y=3n−2

3x−4y=5（x, yは整数）…(4)

3x−4y=5…(4)

−)3×3−4×1=5…(4')

【要約】
a, bが互いに素な整数であるとき，
を満たす整数解x, yを求めるには，１つの特別解x0, y0を見つけて，辺々引き算をすれば定数項を消去でき，次にa, bが互いに素という性質を使うと一般解が得られる．

【例題１】
　１次方程式5x+3y=1
を満たす整数x, yの一般解を求めてください．

−)5×2+3×(−3)=1

x=−3n+2（nは整数）…（答）
y=5n−3

※初めに偶然見つけた解が，x=−1, y=2の場合は
5x+3y=1
5(x+1)+3(y−2)=0
5(x+1)=−3(y−2)

x=−3m−1（mは整数）…（答）
y=5m+2
となって見かけは異なるが，n, mがすべての整数をとるとき，これらが表すものは同じになる．原点がずれているだけである．
（n=m+1になっている）

n	...	−2	−1	0	1	2	3	...
x	...	8	5	2	−1	−4	−7	...
y	...	−13	−8	−3	2	7	12	...

m	...	−3	−2	−1	0	1	2	...
x	...	8	5	2	−1	−4	−7	...
y	...	−13	−8	−3	2	7	12	...

【例題２】
　１次方程式3x+4y=30
を満たす正の整数x, yの組をすべて求めてください．

初めに整数の範囲で一般解を求めておき，
次にx>0, y>0の条件を満たすnの範囲を絞ります

−)3×2+4×6=30

x=−4n+2（nは整数）…（答）
y=3n+6

【問題１】
　１次方程式5x−7y=6
を満たす整数x, yの一般解を求めてください．

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【問題２】
　１次方程式7x+8y=11
を満たす整数x, yの一般解を求めてください．

→閉じる←

【問題３】
　１次方程式5x+8y=100
を満たす正の整数(x, y)の組は何通りありますか．

１つの解はx=20, y=0
5(x−20)+8y=0
5(x−20)=−8yより
x−20=−8n, y=5n
x=−8n+20, y=5n

次に，x>0, y>0となる条件を求めると
x=−8n+20>0 → $n<{\displaystyle \frac{20}{8}}=2.5$ → n≦2
y=5n>0 → n≧1
ゆえに，n=1, 2
(x, y)=(12, 5), (4, 10) → ２通り…（答）
→閉じる←

【問題４】
　１次方程式11x+13y=200
を満たす正の整数(x, y)の組は何通りありますか．

１つの解はx=−100, y=100
11(x+100)+13(y−100)=0
11(x+100)=−13(y−100)より
x+100=−13n, y−100=11n
x=−13n−100, y=11n+100

次に，x>0, y>0となる条件を求めると
x=−13n−100>0 → $n<-{\displaystyle \frac{100}{13}}=-7.6..$ → n≦−8
y=11n+100>0 → $n>-{\displaystyle \frac{100}{11}}=-9.0..$ → n≧−9
ゆえに，n=−9, −8
(x, y)=(17, 1), (4, 12) → ２通り…（答）
→閉じる←

（Ⅱ）x, yのうちで係数が小さい方の変数について解くことを繰り返す方法

3x−4y=1…(5)

※どこかの会社の参考書に「分数式は富士の山」と書いてある変形のこと
　商は整数となって独立できるが，余りは分子から逃げられない

x=4n−1（nは整数）…（答）
y=3n−1

【要約】
a, bが互いに素な整数であるとき，
を満たす整数解x, yを求めるには，
（Ａ）　x, yの係数のうち（絶対値が）小さい方の変数について解いた形に直す．
（Ｂ）　右辺の変数の部分を商と余りに分けて，分子を小さくする．
※１回の操作で分子の変数の係数が１にならなければ，以上の操作を繰り返します．

【例題１】
　１次方程式5x+3y=1
を満たす整数x, yの一般解を求めてください．

負の数を割ったときの余りはどうなるのかなどと難しく考えずに，気楽に正の数で考えるとよい
${\displaystyle \frac{5}{3}}=1+{\displaystyle \frac{2}{3}}$
だから
${\displaystyle \frac{-5x}{3}}=-x-{\displaystyle \frac{2x}{3}}$

これだけではまだ，xが整数という条件を満たしていない．（例えば，−2x+1=0, 6, ...ではxは整数にならない）
係数の小さい方が１になるまで繰り返す．（必要に応じて整数を表す文字をn,m,p,q,r,..などと増やしていく）

x=3m−1（mは整数）…（答）
y=−5m+2

この結果は上記の（Ⅰ）の答
と見かけ上は同じではないが，n, mが整数全体の値をとるとき
が表す値の全体とは一致している．（m=−n+1の関係で，符号と原点がずれているだけ）

【例題３】
　１次方程式5x−17y=13
を満たす整数x, yの一般解を求めてください．

定数項は気にしなくてもよいが，この答案のように「ついでに小さくしておく」こともできる．
結果を表す式の原点がずれるだけである

x=17m+23（mは整数）…（答）
y=5m+6

【例題４】
　１次方程式29x+13y=1000
を満たす正の整数解x, yは何通りありますか．

この問題のように，１つの特別解が簡単には見つからないときは，解法（Ⅱ）が有利になります

【問題５】
　１次方程式71x−11y=43
を満たす正の整数解(x, y)のうちでxの最小値を求めてください．

$y={\displaystyle \frac{71x-43}{11}}=6x-3+{\displaystyle \frac{5x-10}{11}}$
yは整数だから
5x−10=11n（nは整数）
とおける．
$x={\displaystyle \frac{11n+10}{5}}=2n+2+{\displaystyle \frac{n}{5}}$
xは整数だから
n=5m（mは整数）
とおける．
$x={\displaystyle \frac{11(5m)+10}{5}}=11m+2$
$y={\displaystyle \frac{71(11m+2)-43}{11}}=71m+9$
　次に，x, yが正の数となる条件を求める．
x=11m+2>0より$m>-{\displaystyle \frac{2}{11}}=-0...$
mは整数だからm≧0
y=71m+9>0より$m>-{\displaystyle \frac{9}{71}}=-0....$
mは整数だからm≧0
　したがって，m≧0
　xが最小となるのはm=0のときでx=2 (y=9)…（答）
→閉じる←

【問題６】
　１次方程式94x+29y=500
を満たす正の整数解(x, y)は何通りありますか．

$y={\displaystyle \frac{-94x+500}{29}}=-3x+17+{\displaystyle \frac{-7x+7}{29}}$
yは整数だから
−7x+7=29n（nは整数）
とおける．
$x={\displaystyle \frac{-29n+7}{7}}=-4n+1+{\displaystyle \frac{-n}{7}}$
xは整数だから
n=7m（mは整数）
とおける．
$x={\displaystyle \frac{-29(7m)+7}{7}}=-29m+1$
$y={\displaystyle \frac{-84(-29m+1)+500}{29}}=94m+14$
　次に，x, yが正の数となる条件を求める．
x=−29m+1>0より$m<{\displaystyle \frac{1}{29}}$
mは整数だからm≦0
y=94m+14>0より$m>-{\displaystyle \frac{14}{94}}=-0.14..$
mは整数だからm≧0
　したがって，x=1, y=14 (m=0)の1通り…（答）
→閉じる←

（Ⅲ）　ユークリッドの互除法を使う解き方

(1) 整数a, bの最大公約数をdとするとき，１次不定方程式ax+by=dには，整数解x, yが存在する．
(2) 特に，整数a, bが互いに素であるとき，１次不定方程式ax+by=1には，整数解x, yが存在する．

【例１】
19x−17y=1の１つの整数解を求めてください．

19÷17=1余り2 → 19=17×1+2…(1)
17÷2=8余り1 → 17=2×8+1…(2)
(2÷1=2余り0)

17−2×8=1

17−(19−17×1)×8=1

19×(−8)+17×(1+8)=1

19×(−8)−17×(−9)=1

19x−17y=1
− )19×(−8)−17×(−9)=1
19(x+8)−17(y+9)=0
19(x+8)=17(y+9)
x+8=17t, y+9=19t
x=17t−8, y=19t−9

【例２】
527x−403y=31の１つの整数解を求めてください．

527÷403=1余り124 → 527=403×1+124…(1)
403÷124=3余り31 → 403=124×3+31…(2)
(124÷31=4余り0)

403−124×3=31
403−(527−403×1)×3=31
527×(−3)−403×(−1−3)=31
527×(−3)−403×(−4)=31…（答）

527x−403y=31
− )527×(−3)−403×(−4)=31
527(x+3)−403(y+4)=0
17×31×(x+3)=13×31×(y+4)
x+3=13t, y+4=17t
x=13t−3, y=17t−4

【まとめ】
(1) ユークリッドの互除法を使って，2つの係数の最大公約数を求める．
(2) 求めた最大公約数が右辺の定数と一致することを確かめる．（一致しなければ解けない）
(3) ０でない最後の余りの式から逆にさかのぼって，途中経過の余りを消去すると１つの整数解が得られる．

(1)
　１次方程式47x−59y=1の１つの整数解を求めてください．

ユークリッドの互除法を使って，２つの係数47, 59の最大公約数を求める．
0よりも大きい最後の余りが最大公約数だから，最大公約数は1
（この値が，元の不定方程式の右辺になっていることを確認する．）
したがって
47×(−5)−59×(−4)=1
1つの解はx=−5, y=−4
（※1つの解だから，他に多くの答え方が可能です）

(2)
　１次方程式133x−301y=7の１つの整数解を求めてください．

ユークリッドの互除法を使って，２つの係数133, 301の最大公約数を求める．
0よりも大きい最後の余りが最大公約数だから，最大公約数は7
（この値が，元の不定方程式の右辺になっていることを確認する．）
1つの解はx=−9, y=−4
（※1つの解だから，他に多くの答え方が可能です）

【問題２】 　１次方程式7x+8y=11 を満たす整数x, yの一般解を求めてください． の問題で、x=－3,y=4を代入した結果、回答がx＝－8n－3,y=7n+4になりました。これも正解でいいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答，解説の本文でなく，傍論の参考の部分で定数項の符号が逆になっていましたので，訂正しました．

いつも分かりやすい解説をありがとうございます。お世話になっております。 問題5の答えについてですが、 m=0の時のyの値は9ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですのでで訂正しました．

問題4の答え違ってませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答としては違っていませんが，細かな訂正が幾つかありました．

整数x, yの一般解を求めてください．というのは整数解全てを求めなさいという言い方もできるのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．世間一般の言い方として，それら２つはほとんど同じ意味につかわれていると考えてもよいのですが，この頁では「解が無限個あって書き並べることができない場合に，一般解を求めよ」と述べ，「解が有限個になって書き並べることができる場合に，すべて求めよ」と述べています．

問題５の解説について １０行目が間違っているように思います。y=71m+9 では？ 解答には直接影響しないとは思いますが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに怪しい計算になっていましたので，訂正しました．

問題６の解答解説が間違っていませんか。 上から１０行目は y=94m+14 になります。 406ではなく406/29のはずです。 したがって問題の解答の方も、 -29m+1>0 94m+14>0 を共に満たすmが0のみですから、与式を満たす整数解は1つということになると思います。 ちなみに、同じく10行目の、-84という部分がありますが、これは-94の間違いでしょう。 検証して下さい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．長い答案になると最後の方で疲れが出てしまうようで，訂正しました．